1 理解空間直線 平面位置關(guān)系的定義 并了解四個公理及等角定理可作為理論依據(jù) 2 以立體幾何的定義 公理和定理為出發(fā)點(diǎn) 認(rèn)識和理解空間中線 面平行 垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理 3 能運(yùn)用公理 定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題 學(xué)案15點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系 1 2009 湖南 平行六面體abcd a1b1c1d1中 既與ab共面也與cc1共面的棱的條數(shù)為 a 3b 4c 5d 6解析如圖所示 用列舉法知符合要求的棱為bc cd c1d1 bb1 aa1 c 2 2009 湖南 正方體abcd a1b1c1d1的棱上到異面直線ab cc1的距離相等的點(diǎn)的個數(shù)為 a 2b 3c 4d 5解析如圖所示 棱bc的中點(diǎn)m到異面直線ab cc1的距離都等于棱長的一半 點(diǎn)d b1到異面直線ab cc1的距離都等于棱長 棱a1d1的中點(diǎn)到異面直線ab cc1的距離都等于棱長的倍 c 3 平面 平面的一個充分條件是 a 存在一條直線a b 存在一條直線a c 存在兩條平行直線a b d 存在兩條異面直線a b 解析故排除a 故排除b 故排除c d 4 已知兩條直線m n 兩個平面給出下面四個命題 其中正確命題的序號是 a b c d 解析 中 m n有可能是異面直線 中 n有可能在上 都不對 故選c c 題型一空間點(diǎn) 線 平面之間的位置關(guān)系 例1 如圖所示 平面abef 平面abcd 四邊形abef與abcd都是直角梯形 bad fab 90 g h分別為fa fd的中點(diǎn) 1 證明 四邊形bchg是平行四邊形 2 c d f e四點(diǎn)是否共面 為什么 3 設(shè)ab be 證明 平面ade 平面cde 方法一 1 證明由題意知 fg ga fh hd 所以所以四邊形bchg是平行四邊形 2 解c d f e四點(diǎn)共面 理由如下 g是fa的中點(diǎn)知 所以ef bg 由 1 知bg ch 所以ef ch 故ec fh共面 又點(diǎn)d在直線fh上 所以c d f e四點(diǎn)共面 3 證明連接ec 由ab be 及 bag 90 知abeg是正方形 故bg ea 由題設(shè)知fa ad ab兩兩垂直 故ad 平面fabe 因此ea是ed在平面fabe內(nèi)的射影 根據(jù)三垂線定理 bg ed 又ed ea e 所以bg 平面ade 由 1 知ch bg 所以ch 平面ade 由 2 知ch 平面cde 得平面ade 平面cde 方法二由題設(shè)知fa ab ad兩兩互相垂直 如圖 以a為坐標(biāo)原點(diǎn) 以射線ab為x軸正方向 以射線ad為y軸正方向 以射線af為z軸正方向 建立直角坐標(biāo)系a xyz 1 證明設(shè)ab a bc b be c 則由題設(shè)得a 0 0 0 b a 0 0 c a b 0 d 0 2b 0 e a 0 c g 0 0 c h 0 b c 所以 0 b 0 0 b 0 于是又點(diǎn)g不在直線bc上 所以四邊形bchg是平行四邊形 2 解c d f e四點(diǎn)共面 理由如下 由題設(shè)知f 0 0 2c 所以 a 0 c a 0 c 又c ef h fd 故c d e f四點(diǎn)共面 3 證明由ab be 得c a 所以 a 0 a a 0 a 又 0 2b 0 因此即ch ae ch ad 又ad ae a 所以ch 平面ade 故由ch 平面cdfe 得平面ade 平面cde 探究拓展 要證明四邊形bchg是平行四邊形 只要證明即可 要證明c d e f共面 可通過證明四邊形cdef中至少有一組對邊平行或兩邊的延長線相交即可 要證明面面垂直通常轉(zhuǎn)化成為證明線面垂直 變式訓(xùn)練1在正方體abcd a1b1c1d1中 e f分別為棱aa1 cc1的中點(diǎn) 則在空間中與三條直線a1d1 ef cd都相交的直線 a 不存在b 有且只有兩條c 有且只有三條d 有無數(shù)條解析如圖所示 在平面add1a1內(nèi)延長de與d1a1的延長線相交于一點(diǎn)h 則dh為所求直線 在平面dcc1d1內(nèi)延長d1f與dc的延長線相交于點(diǎn)g 則d1g為滿足條件的直線 取ef的中點(diǎn)o 則a1c一定經(jīng)過o 這樣就找到了滿足條件的三條直線 若取dc的中點(diǎn)k oe的中點(diǎn)m a1h的中點(diǎn)n 則k m n三點(diǎn)共線 下面證明這個結(jié)論 以d1為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè)正方體的棱長為2 則k 0 1 2 e 2 0 1 o 1 1 1 n 3 0 0 m是oe的中點(diǎn) kn km mn k m n三點(diǎn)共線 即直線kn滿足條件 這已找到了四條滿足題意的直線 同理還可以找到更多與三條直線a1d1 dc ef相交的直線 答案d 題型二線線 線面位置關(guān)系 例2 2009 江蘇 如圖 在直三棱柱abc a1b1c1中e f分別是a1b a1c的中點(diǎn) 點(diǎn)d在b1c1上 a1d b1c 求證 1 ef 平面abc 2 平面a1fd 平面bb1c1c 證明 1 由e f分別是a1b a1c的中點(diǎn)知ef bc 又ef 平面abc bc 平面abc 所以ef 平面abc 2 因?yàn)槿庵鵤bc a1b1c1為直三棱柱 所以bb1 面a1b1c1 bb1 a1d 又a1d b1c bb1 b1c b1 所以a1d 面bb1c1c 又a1d 面a1fd 所以平面a1fd 平面bb1c1c 探究拓展 證明線面平行 通常用線面平行的判定定理或由面面平行證明線面平行 證明線面垂直 常用線面垂直的判定定理 在解決線線平行 線面平行的問題時 若題目中出現(xiàn)了中點(diǎn) 往往可考慮中位線來進(jìn)行證明 變式訓(xùn)練2 2009 海南 如圖所示 四棱錐s abcd的底面是正方形 每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍 p為側(cè)棱sd上的點(diǎn) 1 求證 ac sd 2 若sd 平面pac 求二面角p ac d的大小 3 在 2 的條件下 側(cè)棱sc上是否存在一點(diǎn)e 使得be 平面pac 若存在 求的值 若不存在 試說明理由 1 證明連結(jié)bd 設(shè)ac交bd于o 由題意so ac 在正方形abcd中 ac bd 所以ac 平面sbd 所以ac sd 2 解設(shè)正方形邊長為a 則sd 又od 所以 sdo 60 連結(jié)op 由 1 知ac 平面sbd 所以ac op 且ac od 所以 pod是二面角p ac d的平面角 由sd 平面pac 知sd op 所以 pod 30 即二面角p ac d的大小為30 3 解在棱sc上存在一點(diǎn)e 使be 平面pac 由 2 可得pd 故可在sp上取一點(diǎn)n 使pn pd 過n作pc的平行線與sc的交點(diǎn)即為e 連結(jié)bn 在 bdn中 知bn po 又由于ne pc 故平面ben 平面pac 得be 平面pac 由于sn np 2 1 故se ec 2 1 方法二 1 證明連結(jié)bd 設(shè)ac交于bd于o 由題意知so 平面abcd 以o為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別為x軸 y軸 z軸正方向 建立坐標(biāo)系o xyz 如圖所示 設(shè)底面邊長為a 則高so 故oc sd 所以ac sd 2 解由題設(shè)知 平面pac的一個法向量平面dac的一個法向量設(shè)所求二面角為所求二面角p ac d的大小為30 3 解在棱sc上存在一點(diǎn)e使be 平面pac 由 2 知是平面pac的一個法向量 即當(dāng)se ec 2 1時 而be不在平面pac內(nèi) 故be 平面pac 題型三面面位置關(guān)系 例3 2009 天津 如圖 在五面體abcdef中 fa 平面abcd ad bc fe ab ad m為ec的中點(diǎn) af ab bc fe ad 1 求異面直線bf與de所成的角的大小 2 證明 平面amd 平面cde 3 求二面角a cd e的余弦值 方法一 1 解由題設(shè)知 bf ce 所以 ced 或其補(bǔ)角 為異面直線bf與de所成的角 設(shè)p為ad的中點(diǎn) 連結(jié)ep pc 又fa 平面abcd 所以ep 平面abcd 而pc ad都在平面abcd內(nèi) 故ep pc ep ad 由ab ad 可得pc ad 設(shè)fa a 則ep pc pd a cd de ec a 故 ced 60 所以異面直線bf與de所成的角的大小為60 2 證明因?yàn)閐c de且m為ce的中點(diǎn) 所以dm ce 連結(jié)mp 則mp ce 又mp dm m 故ce 平面amd 而ce 平面cde 所以平面amd 平面cde 3 解設(shè)q為cd的中點(diǎn) 連結(jié)pq eq 因?yàn)閏e de 所以eq cd 因?yàn)閜c pd 所以pq cd 故 eqp為二面角a cd e的平面角 由 1 可得 ep pq eq pq 于是在rt epq中 cos eqp 所以二面角a cd e的余弦值為 方法二如圖所示 建立空間直角坐標(biāo)系 點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)ab 1 依題意得b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 2 0 e 0 1 1 f 0 0 1 1 解 1 0 1 0 1 1 于是所以異面直線bf與de所成的角的大小為60 2 證明因此ce am ce ad 又am ad a 故ce 平面amd 而ce 平面cde 所以平面amd 平面cde 3 解設(shè)平面cde的法向量為u x y z 則令x 1 可得u 1 1 1 又由題設(shè) 平面acd的一個法向量v 0 0 1 因?yàn)槎娼莂 cd e為銳角 所以其余弦值為 探究拓展 本小題要考查異面直線所成的角 平面與平面垂直 二面角等基礎(chǔ)知識 考查用空間向量解決立體幾何問題的方法 考查空間想像能力 運(yùn)算能力和推理論證能力 變式訓(xùn)練3如圖所示 矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直 be cf bcf cef 90 ad ef 2 1 求證 ae 平面dcf 2 當(dāng)ab的長為何值時 二面角a ef c的大小為60 方法一 1 證明過點(diǎn)e作eg cf交cf于g 連結(jié)dg 可得四邊形bcge為矩形 又四邊形abcd為矩形 所以從而四邊形adge為平行四邊形 故ae dg 因?yàn)閍e 平面dcf dg 平面dcf 所以ae 平面dcf 2 解過點(diǎn)b作bh ef交fe的延長線于h 連結(jié)ah 由平面abcd 平面befc ab bc 得ab 平面befc 從而ah ef 所以 ahb為二面角a ef c的平面角 在rt efg中 因?yàn)閑g ad ef 2 所以 cfe 60 fg 1 又因?yàn)閏e ef 所以cf 4 從而be cg 3 于是bh be sin beh 因?yàn)閍b bh tan ahb 所以當(dāng)ab為時 二面角a ef c的大小為60 方法二如圖所示 以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn) 以cb cf和cd所在直線分別作為x軸 y軸和z軸 建立空間直角坐標(biāo)系c xyz 設(shè)ab a be b cf c 則c 0 0 0 a 0 a b 0 0 e b 0 f 0 c 0 1 證明 0 b a 0 0 0 b 0 所以從而cb ae cb be 所以cb 平面abe 因?yàn)閏b 平面dcf 所以平面abe 平面dcf 故ae 平面dcf 2 解因?yàn)?c b 0 b 0 所以e 3 0 f 0 4 0 設(shè)n 1 y z 與平面aef垂直 又因?yàn)閎a 平面befc 0 0 a 所以當(dāng)ab為時 二面角a ef c的大小為60 題型四折疊問題 例4 如圖1 e f分別是矩形abcd的邊ab cd的中點(diǎn) g是ef上的一點(diǎn) 將 gab gcd分別沿ab cd翻折成 g1ab g2cd 并連接g1g2 使得平面g1ab 平面abcd g1g2 ad 且g1g2 ad 連接bg2 如圖2 1 證明 平面g1ab 平面g1adg2 2 當(dāng)ab 12 bc 25 eg 8時 求直線bg2和平面g1adg2所成的角的正弦值 方法一 1 證明因?yàn)槠矫鎔1ab 平面abcd 平面g1ab 平面abcd ab ad ab ad 平面abcd 所以ad 平面g1ab 又ad 平面g1adg2 所以平面g1ab 平面g1adg2 2 解過點(diǎn)b作bh ag1于點(diǎn)h 連接g2h 由 1 的結(jié)論可知 bh 平面g1adg2 所以 bg2h是bg2和平面g1adg2所成的角 因?yàn)槠矫鎔1ab 平面abcd 平面g1ab 平面abcd ab g1e ab g1e 平面g1ab 所以g1e 平面abcd 故g1e ef 因?yàn)間1g2 ad ad ef 所以可在ef上取一點(diǎn)o 使eo g1g2 又因?yàn)間1g2 ad eo 所以四邊形g1eog2是矩形 由題設(shè)ab 12 bc 25 eg 8 則gf 17 所以g2o g1e 8 g2f 17 of 15 g1g2 eo 10 因?yàn)閍d 平面g1ab g1g2 ad 所以g1g2 平面g1ab 從而g1g2 g1b 62 82 102 200 bg2 又ag1 由bh ag1 g1e ab 得bh 故sin bg2h 即直線bg2與平面g1adg2所成的角的正弦值為 方法二 1 證明因?yàn)槠矫鎔1ab 平面abcd 平面g1ab 平面abcd ab g1e ab g1e 平面g1ab 所以g1e 平面abcd 從而g1e ad 又ab ad 所以ad 平面g1ab 因?yàn)閍d平面g1adg2 所以平面g1ab 平面g1adg2 2 解由 1 可知 g1e 平面abcd 故以e為原點(diǎn) 分別以直線eb ef eg1為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示 由題設(shè)ab 12 bc 25 eg 8 則eb 6 ef 25 eg1 8 相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是a 6 0 0 d 6 25 0 g1 0 0 8 b 6 0 0 所以 0 25 0 6 0 8 設(shè)n x y z 是平面g1adg2的一個法向量 故可取n 4 0 3 過點(diǎn)g2作g2o 平面abcd于點(diǎn)o 因?yàn)間2c g2d 所以oc od 于是點(diǎn)o在y軸上 因?yàn)間1g2 ad 所以g1g2 ef g2o g1e 8 設(shè)g2 0 m 8 0 m 25 由172 82 25 m 2 解得m 10 所以g2 0 10 8 所以 0 10 8 6 0 0 6 10 8 設(shè)bg2和平面g1adg2所成的角是即直線bg2與平面g1adg2所成的角的正弦值為 探究拓展 解決折疊問題的關(guān)鍵是弄清折疊前后的不變量和變化量 一般情況下 線段長度是不變量 而折痕同側(cè)的各種關(guān)系不發(fā)生變化 折痕兩側(cè)的位置關(guān)系將發(fā)生變化 抓住不變量是解決問題的關(guān)鍵 變式訓(xùn)練4已知等腰梯形pbcd中 如圖1 pb 3 dc 1 pd bc a是pb邊上一點(diǎn) 且ad pb 現(xiàn)將 pad沿ad折起 使平面pad 平面abcd 如圖2 1 證明 平面pad 平面pcd 2 試在棱pb上確定一點(diǎn)m 使截面amc把幾何體分成兩部分的體積比vpdcma vmacb 2 1 3 在點(diǎn)m滿足 2 的條件下 判斷直線pd是否平行于平面amc 并說明理由 1 證明由題意知 cd ad 又平面pad 平面abcd 所以cd 平面pad 又cd 平面pcd 所以 平面pad 平面pcd 2 解由 1 知pa 平面abcd 所以平面pab 平面abcd 在pb上取一點(diǎn)m 作mn ab于n 則mn 平面abcd 設(shè)mn h 則vm abc s abc h 要使vpdcma vmacb 2 1 解得h 即m為pb的中點(diǎn) 3 解連接bd交ac于點(diǎn)o 因?yàn)閍b cd ab 2 cd 1 由三角形相似得bo 2od 所以o不是bd的中點(diǎn) 又m為pb的中點(diǎn) 所以在平面pbd中 直線om與pd相交 所以直線pd與平面amc不平行 考題再現(xiàn) 2009 山東 如圖 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd為等腰梯形 ab cd ab 4 bc cd 2 aa1 2 e e1 f分別是棱ad aa1 ab的中點(diǎn) 1 證明 直線ee1 平面fcc1 2 求二面角b fc1 c的余弦值 1 證明在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 取a1b1的中點(diǎn)f1 連接a1d c1f1 cf1 因?yàn)閍b 4 cd 2 且ab cd 所以所以四邊形a1f1cd為平行四邊形 所以cf1 a1d 又因?yàn)閑 e1分別是棱ad aa1的中點(diǎn) 所以ee1 a1d 所以cf1 ee1 又因?yàn)閑e1 平面fcc1 cf1 平面fcc1 所以直線ee1 平面fcc1 6分 2 解因?yàn)閍b 4 bc cd 2 f是棱ab的中點(diǎn) 所以bf bc cf bcf為正三角形 取cf的中點(diǎn)o 則ob cf 又因?yàn)橹彼睦庵鵤bcd a1b1c1d1中 cc1 平面abcd 所以cc1 bo 所以ob 平面cc1f 過o在平面cc1f內(nèi)作op c1f 垂足為p 連接bp 則 opb為二面角b fc1 c的一個平面角 9分在 bcf為正三角形中 ob 在rt cc1f中 opf cc1f 在rt opb中 bp cos opb 11分所以二面角b fc1 c的余弦值為12分 1 解決平行問題的常用方法 證線線平行的問題常用方法 利用定義 利用公理4 利用線面平行的性質(zhì)定理證明 利用線面垂直的性質(zhì)定理證明 利用面面平行的性質(zhì)定理證明 證明線面平行問題的常用方法 利用定義證明 利用線面平行的判定定理證明 利用面面平行的重要結(jié)論證明 證明面面平行的常用方法 利用定義證明 利用面面平行的判定定理證明 利用線面垂直的重要結(jié)論證明 特別提醒 在平行問題中 平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化是重要的數(shù)學(xué)思想 在應(yīng)用中 應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)悟 線線平行 線面平行 面面平行 這三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化 2 解決垂直問題的常用方法 線線垂直問題 利用定義 利用線面垂直的定義 線面垂直 利用線面垂直的定義 反證法或向量法 線面垂直的判定定理 利用線面垂直的判定定理的推論證明 利用面面垂直的性質(zhì)定理證明 利用面面平行的重要結(jié)論證明 面面垂直 利用定義證明 利用面面垂直的判定定理 3 空間角問題的常見解法 直線與平面所成角 作出直線與平面所成的角 關(guān)鍵是作垂線 找射影 兩異面直線所成的角 平移法 補(bǔ)形法 向量法 二面角的常用方法 定義法 利用線面垂直關(guān)系來確定二面角的平面角 一 選擇題1 給定空間中的直線l及平面 條件 直線l與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直 是 直線l與平面垂直 的 a 充分非必要條件b 必要非充分條件c 充要條件d 既非充分又非必要條件解析由線面垂直的判定定理知是充要條件 c 2 2009 全國 已知二面角為60 動點(diǎn)p q分別在面內(nèi) p到的距離為 q到的距離為則p q兩點(diǎn)之間距離的最小值為 a b 2c d 4解析如圖 過p作pe 交于e 在平面內(nèi)過點(diǎn)e作ef l 則 pfe 60 由p到的距離為知pe pf 2 同理可求平面內(nèi)的點(diǎn)q到棱l的距離為4 當(dāng)將二面角展開 p q的連線與l垂直時 p q兩點(diǎn)之間 的距離最短 此時在二面角內(nèi) p q應(yīng)是二面角平面角邊上的兩點(diǎn) 其最小值應(yīng)為d2 4 16 2 4 2 cos60 12 d 答案c3 已知m n是兩條不同直線 是三個不同平面 下列命題中正確的是 a b c d 解析由線面的位置關(guān)系可知b正確 b 4 2009 江西 如圖 正四面體abcd的頂點(diǎn)a b c分別在兩兩垂直的三條射線ox oy oz上 則在下列命題中 錯誤的為 a o abc是正三棱錐b 直線ob 平面acdc 直線ad與ob所成的角是45 d 二面角d ob a為45 解析將原圖補(bǔ)為正方體不難得出b錯誤 故選b b 5 已知三棱柱abc a1b1c1的側(cè)棱與底面邊長都相等 a1在底面abc內(nèi)的射影為 abc的中心 則ab1與底面abc所成角的正弦值等于 a b c d 解析設(shè)棱柱的側(cè)棱與底面邊長均為a o為 abc的中心 如圖 連接ao 則ao a1o 平面abc a1o 又在三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 平面abc 點(diǎn)b1到平面abc的距離為d 連接ab1 a1b bo 設(shè)a1b與ab1交點(diǎn)為h 在rt a1bo中 a1b a 四邊形aa1b1b為菱形 a1h ab1 設(shè)ab1與底面abc成的角為答案b 6 2009 海南 如圖所示 正方體abcd a1b1c1d1的棱長為1 線段b1d1上有兩個動點(diǎn)e f 且ef 則下列結(jié)論中錯誤的是 a ac beb ef 平面abcdc 三棱錐a bef的體積為定值d 異面直線ae bf所成的角為定值 解析由正方體的性質(zhì)可知 ac 平面bb1d1d 則ac be 所以a正確 易知b正確 因b到直線b1d1的距離是1 而ef 點(diǎn)a到平面bb1d1d的距離為常量所以三棱錐a bef的體積va bef 所以c正確 答案d 二 填空題7 2009 江蘇 在平面上 若兩個正三角形的邊長比為1 2 則它們的面積比為1 4 類似地 在空間中 若兩個正四面體的棱長比為1 2 則它們的體積比為 解析 兩個正三角形是相似的三角形 它們的面積之比是相似比的平方 同理 兩個正四面體是兩個相似幾何體 體積之比為相似比的立方 所以它們的體積比為1 8 1 8 8 2008 海南 寧夏 一個六棱柱的底面是正六邊形 其側(cè)棱垂直于底面 已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上 且該六棱柱的高為 底面周長為3 那么這個球的體積為 解析 正六棱柱的底面周長為3 正六棱柱的底面邊長為 又正六棱柱的高為 正六棱柱的體對角線長為 正六棱柱的外接球半徑為1 v球 9 2009 浙江 如圖 在長方形abcd中 ab 2 bc 1 e為dc的中點(diǎn) f為線段ec 端點(diǎn)除外 上一動點(diǎn) 現(xiàn)將 afd沿af折起 使平面abd 平面abc 在平面abd內(nèi)過點(diǎn)d作dk ab k為垂足 設(shè)ak t 則t的取值范圍是 解析如圖 在平面adf內(nèi)過d作dh af 垂足為h 連結(jié)hk 過f點(diǎn)作fp bc交ab于點(diǎn)p 設(shè) fab 則設(shè)df x 則1 x 2 dk 平面abc dh af 則ah hk 在rt adf中 adh和 apf都是直角三角形 pf ad rt adh rt apf ah ap x 答案 10 2008 全國 已知菱形abcd中 ab 2 a 120 沿對角線bd將 abd折起 使二面角a bd c為120 則點(diǎn)a到 bcd所在平面的距離等于 解析如圖所示 取bd中點(diǎn)e 連接ae ce abd bcd均為等腰三角形 ae bd ce bd bd 平面aec aec為二面角a bd c的平面角 aec 120 在平面aec內(nèi)過a作ce的垂線ah 垂足為h 則h在ce的延長線上 bd 平面aec bd ah 又ah ce ah 平面bcd bad 120 bae 60 cos bae ae 1 又 aeh 60 ah 即點(diǎn)a到面 bcd的距離為答案 三 解答題11 2009 湖北 如圖 四棱錐s abcd的底面是正方形 sd 平面abcd sd 2a ad 點(diǎn)e是sd上的點(diǎn) 且de a 0 2 1 求證 對任意的 0 2 都有ac be 2 設(shè)二面角c ae d的大小為 直線be與平面abcd所成的角為 若求的值 方法一 1 證明如圖 連結(jié)be bd 由底面abcd是正方形可得ac bd sd 平面abcd bd是be在平面abcd上的射影 圖 ac be 2 解如圖 由sd 平面