摘要 本文討論了第二類c a r t a n h a r t o g s 域與單位超球間的極值問題，其主要結(jié)果 是得到了從第二類c a r t a n - h a r t o g s 域到單位超球的c a r a t h 6 0 d o r y 極值映照，并得 到了c a r a t h 6 0 d o r y 極值和極值距離的計算公式。其中第二類c a r t a n - h a r t o g s 域的 形式如下： ( ；p ；j f ) ：= 州c ，z 瓣盯( 蘆) ：| i 枷1 1 2 耳 0 其中m = d 掣 接著，根據(jù)在不同情況下y n ( n ；p ；k ) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球的具體形式 得到了以下結(jié)論t 當(dāng)0 p 時，以下映照是從域m ( v ，p ，k ) 到單位超球b ”+ ”的c a r a t h 6 0 d o r y 極值映照： 其中 ，：，( ，p ，k ) + b + m ，l ( ( ，z ) ) = 瓦砷f t = 1 ，2 ，一，v ( ( ，z ) ) = 佤。“= 1 ，2 ，一，p ；u = 1 ，2 ，一，p ；u 咖= 盟票掣 一 2 n + 0 + 1 ) bo 2 2 。( 。2 。n 。+ p 2 + p ) k 當(dāng)k p 時，c a r a t h 6 0 d o r y 極值為 k c 螂p 腳，= 咩韉等葶 m j ( ；p ；k ) 與單位超球b + 村的極值距離是 p ( 巧，( ，p ik ，、，b u + m ) = 礪1 1 0 8 面k p k p ( 兩p + x ) 砸( 2 n 而+ 面p 2 + 再p ) 可2 n k 而+ k p 麗( f i i 而) 關(guān)鍵詞：極值問題c a r t a n - h a r t o g s 域最小外切h e r m i t i a n 橢球 摘要 i i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ee x t r e m a lp r o b l e mb e t w e e nt h es e c o n dt y p eo fc a f t a n - h a r t o g sd o m a i na n dt h eu n i th y p e r b a l l w eg e tt h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a lm a p - p i n g sf r o mt h es e c o n dt y p co fc a f t a n - h a r t o g sd o m a i nt ot h eu n i th y p e r b m l ，a n dt h e e x p l i c i tf o r m u l a sf o rc o m p u t i n gt h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a lv a l u e sa n dt h ee x t r e m a l d i s t a n c e s h e r ei st h ef o r mo ft h es e c o n dt y p eo fc a r t a n h a r t o g sd o m a i n ： m ( ；p ；j f ) ：= 訓(xùn)c ，z 瓣) ：0 t c j l l 2 k 0 ， w h e r e m = 掣 t h e na c c o r d i n gt ot h ec o n c r e t ef o r mo ft h em i n i m a lc i r c u m s c r i b e dh e r m i t i a n e l l i p s o i do fh r n ；p ；k ) i nd i f f e r e n ts i t u a t i o n s ，w eg e tt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： w h e n0 p ，t h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a lv a l u ei s k c 珊m 臚協(xié)群韉等籌 a n dt h ee x t r e m a ld i s t a n c eb e t w e e n ，( ；p ；k ) a n dt h eu n i th y p e r b a l lb + 肘i s 刪，b 州，= 護(hù)1s 齋篙黯麓鬻 8 6 8 9 7 7 首都師范大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨 立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論 文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的 研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人 完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名：走之聽 日期：2 剜年歲月日 首都師范大學(xué)學(xué)位論文授權(quán)使用聲明 本人完全了解首都師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，學(xué) 校有權(quán)保留學(xué)位論文并向國家主管部門或其指定機構(gòu)送交論文的電 子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論 文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn) 行檢索。有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要匯編出版。保密的學(xué)位論文在 ， 解密后適用本規(guī)定。 黜姍繇挪 嗍刎夠月日 序言 在單復(fù)變函數(shù)論中，r i e m a n n 映射定理具有重要的理論及應(yīng)用意義，它解決 了復(fù)平面上單連通區(qū)域的分類問題找到 s u pi ，7 ( 幻) l ( 2 , o n ) ，膏( 1 ) 這樣的極值問題中的極值函數(shù)是證明r i e m a n n 映射定理的關(guān)鍵步驟其中， n 是c 上至少有兩個邊界點的連通區(qū)域， ，是把n 映到單位圓盤的全純函數(shù)且 l ，( ：) l 1 如q ) ，f ( q ) 表示所有這樣的函數(shù)的集合。在多復(fù)變函數(shù)論中，r i e m a n n 映射定理不再成立，但類似的極值問題仍有重要的研究價值t 設(shè)m 是p 中的一 個域，q 是m 中的個點，我們把這樣的域點對( 川，口) 稱為。點域。，且記( m ，口) 為m 。對于兩個點域m 。和m 。，記h o i ( a a 。 么) 為由所有將m 映入 廠，且將 點q l 映為點啦的全純映照所組成的集合對于一個映照，h 0 1 ( m 。毛) ，如果 成立 d e t d ) i = s u p id e t d g ( p ) i ：g h o l ( m m 。) ) 則稱，為c a r a t h 6 0 d o r y 極值映照，而稱id e t d ，( p ) i 為c a r a t h 6 0 d o r y 極值，且分別簡 稱為c - 極值映照與。極值這個經(jīng)典的極值問題可以看作是復(fù)平面上的s c h w a 弓f 理在高維的個推廣鵜 解決c n 中的兩個域之間的c a r a t h 6 0 d o r y 極值問題，其核心是要找到這兩個 域問的c 一極值映照和。極值的計算公式+c a r a t h 6 0 d o r y 首先研究了這個問題， 并于1 9 3 2 年得到了從多圓柱到單位超球伊的。極值 1 1 k u b o t a 利用級數(shù)展開 的方法得到了從c a r t a n 域到單位超球b n 的c - 極值【2 1 ，并進(jìn)一步對所有有界對稱 域上的這類問題做了討論 3 1 m ad a o w e i 給出了復(fù)橢球與b “問的g 極值映照與 c 一極值f 6 】 根據(jù)c 一極值映照可以定義兩個“點域”間的極值距離： p m 。) = 一1 0 9 1 d e t d ( o0 f ) ( q 1 ) 2 序盲 其中m m 。是c n 中的兩個“點域”，h o i ( m q ， 名) ，g h o l 0 乞，m q 。) 均 為c - 極值映照 m ad a - o w e i 得到了復(fù)橢球與b “| 6 1 ，強擬凸域與b “i s l 間的極值距離在估計 上的域的k o b a y a s h i 度量，c a r a t h 6 0 d o r y 度量，s i b o n y 度量和e i s c n m a n 體積形 式的研究中，極值距離是一個有力的工具 1 9 9 8 年，殷慰萍和g r o o s 構(gòu)造了四類域稱為c a r t a n h a r t o g s 域【7 1 ，其中第二 類c a r t a n h a r t o g s 域為： 巧j ( ；p ；k ) ：= ( c n , z 耽j ( p ) ：i i | | 2 耳 d e t ( i z 男) ) 其中字母與符號的意義見摘要c a r t a n - h a r t o g s 域既不是齊性域也不是r e i n h a r d t 域 蘇簡兵把經(jīng)典的極值問題推廣到這類域上，給出了第一類c a r t a n - h a r t o g s 域到 單位超球伊的。極值映照和( 3 - 極值及當(dāng)k 1 時這兩個域間的極值距離【8 】本 文討論了第= 類c a r t a n - h a r t o g s 域與單位超球問的c a r a t h 6 0 d o r y 極值同題，第一 章敘述了本文所要用到的重要定義與定理，第二，三章分情況討論了第二類c a r t a n - h a r t o g s 域的最小外切h e r m i t i a n 橢球的形式，第四章根據(jù)第三章的結(jié)果及第一章 中給出的定理得到了從第二類c a r t a n - h a r t o g s 域到單位超球的g 極值映照，o 極值和極值距離的計算公式一般情況下，g 極值映照并不是唯一的，我們只是 求出其中的一個線性映照 第一章預(yù)備知識 對于兩個點域m 。，如c c “，設(shè) 厶。( 朋。 k ) = s u p ld e t d g ( p ) | ：g h o l ( m 。m ，) ) ， 顯然， 蘆。 乞) = 一l o g 【厶。( m 。 乞) 矗一( m ：，m a 。) 】 如果m ，都包含原點0 ，我們記 如。( m ，= ( m 。，虬) ，p ( m ，) = p ( m 。，m ) 命題l i 6 1 如果d 1 ，d 2 是c “中的兩個b a l a n c e d 域( 即當(dāng)c c ，l e i 1 ， 而z d ；“= 1 ，2 ) 時，c z d t ) ，若d 2 是一個全純域，貝d 對任一全純映照 ，h o l ( ( d 1 ，o ) ，( d 2 ，o ) ) ，必有d ，( o ) ( d 1 ) cd 2 證明：見參考文獻(xiàn) 6 】 由命題1 ， 靠。( d l ，d 2 ) = s u p i d e t i i ：z 復(fù)線性映照，l ( d 1 ) c d 2 ) 定義2 6 1 一個h e r m i t ia f n 橢球是指如下形式的域； z c “：q i 勺氟 1 ) j ，= 1 這里( q i ) 是一個正定的h e r m i t i a n 矩陣 n 命題3 h e r m i t i a n 橢球s = 2 ：ea j i z j g k 0 ，且c z = ( c z ) ，從而c z 蹌仃( p ) 進(jìn)一步得到 d e t ( i z z ) d e t ( i c z - a z ) ， 從而 l j c 們1 1 2 k i i 叫j | 2 k d e t ( i z 動d e t ( i c z i 牙) 綜上所述，( ；糾k ) 是b a l a n c e d 域 第二章y i i ( n ；p ；k ) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球的形式 引理8 1 “設(shè)a ，b 是兩個n 階正定的h e r m i t i a n 矩陣，如果 ( z 9 ：z a 2 。 1 ) = 彳e “：z b - 2 。 0 i i e n t 對于( 叫，z ) y h ( n ，p ，k ) ，記 = ( u l ，w 2 ，一， ) ，z = ( i 籬) 1 島， 虢( p ) ，m 女如說明中的定義 我們考慮如下的映照： 1 矗：y i i ( n ，p ，k ) - - - - 4y h ( n ，p ，k ) 7 = l ， t 如”一q w 6 h w 66 = 1 ，1 1 ，7 十1 ， zh ： 8 第二章 m d n ；p ；k ) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球的形式 2 乳。：k ( ，p ，k ) - + y ，f ( ，p ，k ) 1 “ u u h w ”d ”w 66 = l ，且j “，u zhz 3 聊：l ( g ，p ，k ) 一巧，( ，p ，k ) r = 1 ，一，p z z 【a x a ，弛 a ，= ，一2 k ，其中j 為p 階單位陣，。為第m 行第n 列的元素為1 ，其余元素 為0 的p 階矩陣 a ，a k 表示方陣a 的對稱直乘積1 4 設(shè)a = ( ) ，。，把指標(biāo)組( 汀) ( c f ) ，( d w ) ( d u ) 均按確定的次序( 1 ，1 ) ，( 1 ，2 ) ，( 1 ，p ) ，( 2 ，2 ) ，( 2 ，p ) ，白，p ) 排列， a a 】。的第( c t ) 行( 如) 列的元素p ( 。) ( 由) 定義為 其中 日( c r ) ( 血) = p e r p 凼( 8 + 口r d ) ，c 下，d u f 老 阽2 1 【1 1 4 ，口：y h ( n ，p ，k ) 一i ( g ，p ，k ) 其中 c t 1 a 口p zh z a ?？趚 a 。z ： a o b = i i 。：一i o b 七i q b + i 陸 第= 章 h ( ；p ；k ) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球的形式 顯然，這些映射島，。，町r ，口g l ( n + m ，c ) ： 島( 礙，) = 坼，( 7 = 1 ，一，) ，矗。( y n ) = ( 1 “) ，聃( h ，) = m f ( 7 = 1 ，t ，j ，) ，臻韜( y 0 ) = 礙，( 1 。 p p ) 設(shè)s ( a ，b ) 為域h ，的最小外切h e r m i t i a n 橢球，由命題5 及h j 的最小外 切h e r m i t i a n 橢球的唯一性，矗( s ( o ，6 ) ) = s ( a ，b ) n = l ，) ，矗。( s ( n ，6 ) ) = s ( ，b ) ( 1 “ u ) ，町，( s ( o ，6 ) ) = s ( a ，b ) ( r = l ，- ，p ) ，卵?？? s ( o ，6 ) ) = s ( a ，b ) ( 1 o 盧p ) 設(shè)s ( a ，b ) 的形式為： 其中 s c 。，。，= t c w ，z ，c 十掰：c ”，z ，( ；三) c 面，萄。 0 引理1 0 “設(shè)a 1 ，0 2 ，n 。一1 ，并且它們中的所有非零數(shù)的符號相同，則 ( 1 + 0 1 ) ( 14 - g 2 ) ( 14 - a 。) 14 - - ( a l4 - a 2 + + a , o 、1， _ 篁曼叢塑坐迪墅世墜型塑墮壁塑塑 “ 命題1 1 當(dāng)1 4 1 時，單位超球b v + ”是( m 弘片) 的最大內(nèi)切球 證明：首先證明b “+ ”cy r ( _ v ，p ，k ) 我們需要證明當(dāng)v ( ，z ) o b ”+ ”即枷j | 2 + t r ( z 動= l 時陋為p 階對稱矩 陣) ，一z z 0 ，且| | 叫j j 2 k d e t ( i z 牙) ， 由于對任意p 階對稱矩陣z ，都存在酉矩陣u ，使得 其中a 見( ) 式因此 z = u o a u t r ( z 蠆) = t r u 。五2 功= t r ( 驢u 。j 【2 ) = 磚+ + 霹 由釅+ t r ( 歷) = l t 有t r ( z z ) 1 ，推出1 跫憨霹0 ，進(jìn)而 i z i 0 由i l 甜1 1 2 = 1 一( 工i + + 五；) ，則當(dāng)k 1 時，由引理1 0 i w l l 2 耳l l ”l i 2 = 1 一( 礙+ + 鄙) - 5 o ，b 0 ) ，則0 o 從而 0 髦定p l 囂 1 那么有 t r ( z z ) = t r ( u 。五2 - ) = i ：+ + 霹 0 ) ，則 口i l 0 2 0 1 1 協(xié)0 2 + b t r ( z z - - ) 1 ， b t r ( z z ) o l l w l l 2 + b t r ( z 乏) 1 ， 所以0 1 - 設(shè)a 。 o ，1 ) ，使得9 ( a ，( h ) 2 m 刨a 川xg t 。，時( a ) 此時取與充分性證明中相同的 ( o ，z o ) ，貝4 1 w o f l 2 = d e t ( i z o z o ) ，即( o ，z o ) a h ，( ，p ，自) 此時n l l u o 儼+ b t r ( z o z o ) = g 【。6 ) ( a o ) 1 ，這與y i i ( n ，p ，k ) cs ( a ，b ) 矛盾 ( 2 ) 假設(shè)m a x l i g 、。 1 - 取( 面，z ) o y i i ( n , p ，k ) n o s ( a ，6 ) ，即i i 西0 2 ”= d e t ( i 一2 2 ) ，且n 0 面0 2 + 6 t r ( 牙牙) = 1 r 但是口2 + b t r ( 船) ) ( a ) m a x l l g ( 、n 州 l ，矛盾 由( 1 ) ( 2 ) 必要性得證 如果y u ( n ，p ，k ) cs ( a ，6 ) ，且y n ( n ，p ，k ) 與s ( a ，b ) 相切，貝s j , - i 稱s ( a ，b ) 是 m j ( v ，p ，k ) 的外切域 以下討論m ，( ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球在不同情況下的具體形式t ( i )k = p 引理1 4 當(dāng)k = p 時。s ( a ，b ) 是巧( ，p ，k ) 的外切域當(dāng)且敘當(dāng)b = ；1 ，0 口1 ，或者n = 1 ，0 b ；1 證明；當(dāng)k = p ，9 ( n ，6 ) ( a ) = a ( 1 一a ) + 切a = a + ( b p n ) a 【0 ，1 1 ) ( 1 ) 0 b p ，a = 1 時9 缸，”( a ) 取到最大值， 從而b = ；，0 0 ，a = 0 時9 ( 。，6 ) ( a ) 取到最大值， 而0 b ：，口= 1 此時批m 1 0 1 j a xg ：、a ，刪= b p 2 1 ， 此時 m e i a 。x ，1 i g f ，a ，砷( a ) 2n = 1 ，從 由引理1 2 ，1 3 知結(jié)論成立 定理1 5 當(dāng)k = p 時，巧，( ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球是 f ( 伽，：) c u + m lm 2 + ；11 硎2 0 又由命題3 ，h e r m i t i a n 橢球s ( o ，b ) 的體積是 v ( s ( a ，6 ) ) = a - n b 一吖u v + m 崮此，由引理1 4 。：蜀翌；，哪( 刪= y ( s ( ，三p 1 1 = 帕；6 = ；，o p 引理1 6 當(dāng)k p ，s ( o ，b ) 是y u ( n ，p ，k ) 的外切域當(dāng)且僅當(dāng)b p + b ( k p ) ( 景) 尚= 1 ，0 0 證明；當(dāng)k p ，軋6 ) ( a ) = n ( 1 一 ) 囂+ 幼an 【0 ，1 ) 容易驗證g ( 訕) ( a ) 【0 ，1 ) 是連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)a 1 時可微： ) ( a ) = 一詈( 1 一a ) 磷+ 印( a 1 ) 令g ) ( a ) = o ，解得 枷，一( 去) 南 ( 1 ) 當(dāng)a b k 0 ，a o = 0 由k p ，一1 6 p ，所以 m l o ，1 j a x 9 r 、a ，”( a ) 2 “ ( 2 ) 當(dāng)0 p ，b ( k p ) ( 雨a ) 耳彳 0 ，則9 ( 鼬) ( 凡) b p 所以 川m a x 州( a ) 銣礎(chǔ)州= 幼+ 6 ( 一p ) ( 面a ) 焉 因此，由引理1 2 ，1 3 知結(jié)論成立 定理1 7 ，當(dāng)k p ，h j ( ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球是 卜肘：鯉裂蔫跡忡曠+ 兩2 n k + 怕o , + 刪i ) k 砂臚 - 證明：因為y h ( n ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球的體積是 v ( s ( a 扣) ) = a - n b m u + m ， 則求y n ( n ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球需考慮如下函數(shù)的最小值 t ( 8 ，b ) ：= a - n b 一 ( 1 ) 當(dāng)0 0 ，且由限制條件幼+ 6 一p ) ( 壺) 篩= 1 ，知功 0 ，當(dāng)0 b b o 時，t ) 0 ，t ( b ) 單調(diào)遞減；當(dāng)b o 0 ，考慮如下函數(shù)的最小值 此時，0 0 ) 的單調(diào)性t ，( 。) ：( 1 + 。) ( + l ( 簍二二! 掣) ( 。 o ) ； 其中令9 ( 。) = $ 一l o g ( 1 - i - 。) 扛 o ) ，因為礦( 立) = 1 一南 0 ，且9 ( o ) = 0 ， 得到g ( z ) 0 ( z o ) ，即z l o g ( 1 + 。) 從而，( z ) 0 ( 2 7 o ) ，即f ( x ) 在f 0 ，+ c o ) 單調(diào)遞增 由于掣 掣，精掰 p ，= a o ，b = b o 時，y ( s ( ，6 ) ) 達(dá)到最，j 、；s ( a o ，b o ) = ( ，= ) c ”+ m ：l l w l l 2 + b o l l z l l 2 1 ) 是y i i ( n ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球 ( i i i ) 0 k p 引理1 8 當(dāng)0 k p 時，s ( a ，b ) 是m j ( ，p 】k ) 的外切域當(dāng)且僅當(dāng)幼= 1 ， 0 0 第三章 y h ( n ；p ；k ) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球 讓明： 鯫，6 ) ( a ) = a ( 1 一a ) 囂+ 助a ， ) ( a ) = 一等( 1 一a ) 警+ b p ( a 1 ) 令9 ；。，( a ) = 0 ，解得= 1 一( 警) 淼 ( 1 ) 當(dāng)0 o b k 時，站，b ) ( 柚0 ( a 【o ，1 ) ) ，則g ( n 6 ) ( a ) 在【o ，1 ) 單調(diào)遞 增，且當(dāng)a 【0 ，1 ) ，g r 。( a ) g f 。( 1 ) 所以 【0 m & x l 】吣2g ( 州1 ) = 幼 ( 2 ) 當(dāng)n b k 時，0 知 1 ，當(dāng)a o ，a o 】，9 b ) ( a ) 0 ，此時9 ( a ) ( a ) 單調(diào) 遞減，當(dāng)入i a o ，1 ) ，9 ) ( a ) 0 ，此時g ( n ) ( ) 單調(diào)遞增，則g ( 。j ) ( a ) 在a o 處取極 小值因此 i j 譬黲g ( 。，6 ) ( a ) = m “ 9 ( 。砷( o ) ，g 。 ) ( 1 ) ) = m “和，印) 當(dāng)6 p ， m 刪a xg ( “a ) 5 帥) ( 0 ) = 。； 當(dāng)b k 。b p ， m 圳a xg ( 洲a ) 2 ( 1 ) 2 蛔 所以，當(dāng)0 p ，綜合( 1 ) ，( 2 ) 由引理1 3 ，當(dāng)0 0 時，s ( o ，6 ) 是y h ( n , p ，k ) 的外切域當(dāng)且僅當(dāng)a = 1 定理1 9 當(dāng)0 k p 時，磁j ( ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a a 榷球是 沁。) ec 】v + m ：2 + 渺i i ) 證明；由命題3 ，h e r m i t i a n 橢球s ( a ，6 ) = ( ，z ) c + 肼：a m 2 + b l i z l l 2 1 ) 的體積是 y ( s ( o ，6 ) ) = a 一6 一m 0 2 n + m 則 卻：m 。，。i 。n 。；。v ( sc 。，= y ( s ( ，；) ) = p m c g n + m 2 0 第三章h ( ；p ；) 的最小外切h e r m i t i a n 橢球 。：器驄；：y ( s ( 。，6 ) ) = y ( s ( ，1 1 1 = p m c d n + m p d = l ，o 峰： 因此，當(dāng)。= 1 ，52 ；1 時，s 0 ，；) = 似，z ) c + ”：1 1 w l l 2 + 洲z i l 2 1 是 0 k p 時h ，( ，p ，k j 的最小外切h c r m i t i a n 橢球 綜合( i ) ，( i i ) ，( i i i ) ，且由命題6 ，當(dāng)0 k p 時，s ( 1 ，) = ( m ，2 ) c ”+ 吖：l j 訓(xùn)j 2 + ：l l z l l 2 p ，s ( a o ，b o ) = ( ，z ) c ”+ m ：口o i i 1 1 2 + b o i i zj 1 2 1 ) ( a o ，b o 見命題1 7 中 ( i i ) ，( i i i ) 式) 是h ，( ，p ，k ) 唯一的最小外切h e r m i t i a n 橢球 第四章極值( 映照) 問題 定理2 0 當(dāng)0 k p 時，以下映照是從域y i i ( n ，p ，k ) 到單位超球b “+ ” 的c 一極值映照： f ：h j ( ，p ，k ) b ”+ ” ( ( ，z ) ) = u 3 i i = 1 ，2 ，- ， ( ( w ，z ) ) = ( ；) 。u = 1 ，2 ，i p j ”= 1 ，2 ，p ；u 證明：因為域y i i ( n ，p ，k ) 和b ”+ ”都是b a l a n c e d 全純域，則由命題1 ，vf h o l ( 圻j ( ，p ，k ) ，b ”+ ”) ，滿足d l ( o ) ( b j ( | ，p ，k ) ) cb ”+ ”，所以從h ( ，p ，k ) 到b ”+ ”的c 一極值映照，是如下極值問題的一個解： s u p id e t d l ( 0 ) | ：d l ( o ) 是復(fù)線性映照，d l ( 0 ) ( h ，( ，p ，k ) ) cb ”+ m ) 由命題1 9 ，當(dāng)0 k p 時，m ，( p ，k ) 唯一的最小外切h