中文摘要 本文主要研究關(guān)于b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 型捕食系統(tǒng)和具有年齡結(jié)構(gòu)的帶有 時(shí)滯的捕食系統(tǒng)問(wèn)題 全文共分為五章： 第一章為前言，主要介紹所研究問(wèn)題的一些相關(guān)背景，以及本文所要研究解 決的問(wèn)題 第二章主要介紹本文所應(yīng)用到的一些基礎(chǔ)知識(shí) 第三章主要研究了一個(gè)b e d d i n g t o n - d ea n g e t i s 型的捕食系統(tǒng) l 害= 如( 1 一蚤) 一衛(wèi)a + b x + - y y ， 害= 可( 一d + 衛(wèi)a + b x + w v 、 iz ( o ) = x o 0 ，y ( 0 ) = y 0 0 ， 討論系統(tǒng)平衡點(diǎn)的局部和全局穩(wěn)定性，運(yùn)用p o n t r y a g i n 極大值原理尋求一種漁業(yè) 保護(hù)的最優(yōu)稅收政策 第四章主要研究一個(gè)捕食者具有年齡結(jié)構(gòu)的帶有時(shí)滯的捕食系統(tǒng) i 象= u ( a 一乩) 一，毗， 。 警= 弛( 一7 ) 2 ( t r ) 一( m + e ) 口1 ， 【警= m v l e v 2 討論了系統(tǒng)的解，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，及h o p f 分支的存在性、方向、穩(wěn)定性和周期 解等問(wèn)題 第五章為結(jié)束語(yǔ)，總括全文的工作 關(guān)鍵詞：b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 型捕食系統(tǒng)； 穩(wěn)定性；最優(yōu)稅收政策；年齡 結(jié)構(gòu)；時(shí)滯；周期解；h o p f 分支 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，ab e d d i n g t o n - d ea n g e l i sp r e d a t o r - p r e ym o d e la n das t a g e - s t r u c t u r e d p r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t ht i m ed e l a yw i l lb ec o n s i d e r e d t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w et a l ka b o u tt h eb a c k - g r o u n do ft h i sp r o b l e m ，a n dm a k ep l a n sf o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e m s n e x ts e c t i o nm a i n l yi n t r o d u c e ss o m ee l e m e n t a r yk n o w l e d g et h i sp a p e ra p p l i e s t h et h i r ds e c t i o no ft h ep a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e sab e d d i n g t o n - d ea n g e l i sp r e d a t o r p r e ym o d e l i 魯= 如( 1 一景) 一。+ 觸s x y + w ， 害= 可( 一d + 衛(wèi)a + 口x + t y 、j ， 【z ( o ) = ：g o 0 ，y ( o ) = y o 0 ， s t u d yt h ee q u i l i b r i a sl o c a la n dg l o b a ls t a b i l i t yo ft h es y s t e m ，o p t i m a lt a xp o l i c yi s d i s c u s s e du s i n gp o n t r y a g i n sm a x i m u mp r i n c i p l ef o rc o n s e r v a t i o no ft h ef i s h e r y t h ef o u r t hs e c t i o nm a i n l yi n v e s t i g a t e sas t a g e - s t r u c t u r e dp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t h t i m ed e l a y , l 客= u ( a 一阮) 一，刪2 ， 等= 一r ) v 2 ( t 一7 - ) 一( m + e ) 口1 ， 【紐d t 2 m 口l e v 2 s o l u t i o n so ft h es y s t e m ，s t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m ，a n dt h ee x i s t e n c e ，d i r e c t i o n ，s t a b i l i t y , p e r i o d i cs o l u t i o n so fh o p fb i f u r c a t i o na x ed i s c u s s e d a tl a s t ，w es u m m a r i z et h er e s u l t so f t h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：b e d d i n g t o n - d ea n g e l i sp r e d a t o r - p r e ym o d e l ；s t a b i l i t y ；o p t i m a lt a x a - t i o n ；s t a g e - s t r u c t u r e ；d e l a y ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；h o p fb i f u r c a t i o n 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝之處外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表 或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不包含為獲得丞盜盤(pán)堂或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證 書(shū)而使用過(guò)的材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均己在論文中 作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。 學(xué)位論文作者躲杰砰一飆加口7 年6 月產(chǎn)日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了解苤鲞盤(pán)塋有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定。 特授權(quán)墨盜盤(pán)鱟可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢 索，并采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編以供查閱和借閱。同意學(xué)校 向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤(pán)。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)說(shuō)明) 學(xué)位論文儲(chǔ)潞加乎 簽字日期：切呷年6 月 葉日 導(dǎo)師虢呂彩夏 簽字日期：叼年月午日 第一章前言 第一章前言 捕食一被捕食模型是一種很重要的種群模型，它已經(jīng)被很多學(xué)者研究 過(guò)并得到了許多有用的結(jié)果 1 中指出，近年，與功能性反應(yīng)函數(shù)相關(guān)的捕 食模型已經(jīng)引起了應(yīng)用數(shù)學(xué)家和生態(tài)學(xué)家的極大興趣特別是依賴(lài)于食餌 密度的功能性反應(yīng)函數(shù)，即功能性反應(yīng)函數(shù)被作為食餌密度的一種線(xiàn)性或 飽和的函數(shù)而執(zhí)行例如，著名的h o l l i n g 型功能性反應(yīng)函數(shù)而基于比率的 功能性反應(yīng)函數(shù)不僅依賴(lài)于食餌的密度，還依賴(lài)于捕食者的密度，但是這種 功能性的反應(yīng)函數(shù)在低密度下的單一行為引起了很多爭(zhēng)議b e d d i n g t o n d e a n g e e s 型的功能性反應(yīng)函數(shù)與基于比率型的有一些相同的功能特征，但是 它避免了基于比率型在低密度下的一些單一行為 自然資源是人類(lèi)的衣食之源，由于缺乏科學(xué)的管理，自然資源被過(guò)度 開(kāi)發(fā)，受到了不同程度的破壞，對(duì)人類(lèi)產(chǎn)生了嚴(yán)重的不良后果如何對(duì)自然 資源進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋Ｗo(hù)和合理的開(kāi)發(fā)，防止資源的進(jìn)一步減少和環(huán)境惡化， 已成為人類(lèi)亟待解決的問(wèn)題之一由【2 】2 中可知，管理機(jī)構(gòu)通常采取稅收、 執(zhí)照費(fèi)、出賣(mài)財(cái)產(chǎn)權(quán)，季節(jié)性收獲等手段作為資源管理的控制手段，但是相 對(duì)于其它方法來(lái)說(shuō)，征稅由于其靈活性以及能比其它方法更能使系統(tǒng)保持 平衡的優(yōu)點(diǎn)更多的引起了經(jīng)濟(jì)學(xué)家的注意第三章中我們主要以漁業(yè)保護(hù) 為例，研究以稅收作為控制手段，利用最優(yōu)控制理論探討了漁業(yè)開(kāi)發(fā)的最 優(yōu)稅收政策在這一章中我們研究了如下帶有b e d d i n g 噸o n - d ea n g e l i s 型功能 性反應(yīng)函數(shù)的捕食系統(tǒng)： l 害= 如( 1 一蚤) 一鼎， 害= ! ，( 一d + 焉) ， 【z ( o ) = z o 0 ，y ( o ) = y o 0 這里利用t a p a nk u m a rk a r 【3 】中的方法，通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性近似 方程的系數(shù)矩陣的特征根情況分析了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，以及構(gòu)造 合適的l y a p o t m o v 函數(shù)，得到了正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的充分條件；然后利用 p o n t r y a g i n 最大值原理的表達(dá)式h a m i l t n i a x a 函數(shù)，使其在最優(yōu)控制下取到最 大值，從而討論了漁業(yè)的最優(yōu)稅收收獲策略 生物種群具有年齡結(jié)構(gòu)是一種自然現(xiàn)象，通常情況下我們把種群的年 第一章前言 齡階段分為兩種，即幼年和成年例如，哺乳動(dòng)物和某些兩棲動(dòng)物年齡結(jié) 構(gòu)對(duì)研究種群的影響是不可忽略的第四章中我們把捕食者分為成年和幼 年兩個(gè)階段，并且假設(shè)幼年的捕食者不捕食食餌，因?yàn)樗鼈兇蠖加沙赡甑?捕食者來(lái)喂養(yǎng)，對(duì)于一些哺乳動(dòng)物來(lái)說(shuō)這似乎是比較合理的，而且幼年的 捕食者對(duì)于食餌的攻擊以及對(duì)繁殖率的影響是可以被忽略的時(shí)滯在自然 界中是經(jīng)常發(fā)生的現(xiàn)象，時(shí)滯對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響是數(shù)學(xué)研究的一個(gè) 重要課題這里由于捕食者在捕食了食物以后不是立即進(jìn)行繁殖，因?yàn)樗?的懷孕會(huì)需要一些時(shí)間因此，第四章中我們討論了如下一個(gè)帶有時(shí)滯的 捕食者具有年齡結(jié)構(gòu)的捕食模型： l 鬻= u ( a 一阮) 一f u v 2 ， 等= c u 一7 - ) 口2 ( t 一7 - ) 一( m + e ) v l ， 【警：m ，一e 玨 本文結(jié)合了【4 】和【5 中的方法，首先分析了系統(tǒng)的正解及其有界性，從而說(shuō) 明了種群存在的持續(xù)性和有限的資源對(duì)種群生長(zhǎng)的一種限制；運(yùn)用r o u t h - h u r w i t z 定理討論了沒(méi)有時(shí)滯情況下平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，得到了正平衡點(diǎn)穩(wěn)定 的充要條件，即說(shuō)明了在沒(méi)有時(shí)滯時(shí)種群能夠共存的條件；利用b u t l e r 引 理，分析了時(shí)滯不為零時(shí)，正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性；然后證明了h o p f 分支的存 在性；由n y q u i s t 標(biāo)準(zhǔn)得到了平衡點(diǎn)保持穩(wěn)定的時(shí)滯區(qū)間；最后一部分利用 正規(guī)形理論和中心流形定理確定了h o p f 分支在+ 處發(fā)生的方向、穩(wěn)定性 以及周期解的一些性質(zhì) 2 第二章基礎(chǔ)知識(shí) 第二章基礎(chǔ)知識(shí) 2 1 基本理論 在本節(jié)中，我們首先介紹一下本文中涉及到的一些基本概念和定理 具體的內(nèi)容請(qǐng)參考文獻(xiàn)【2 【6 】 7 】， 8 】，【9 】，【l o 定義2 1在指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角等方程中，未知數(shù)和一些常數(shù)不僅施行 有限次代數(shù)運(yùn)算，而且還要實(shí)行有限次指數(shù)、次數(shù)、三角函數(shù)等運(yùn)算，這樣 的方程叫做超越方程 定理2 1( 比較定理) 設(shè)有c a u c h y 問(wèn)題 慧嬰 慧? 其中，與f 均在域g r xr 內(nèi)連續(xù)，滿(mǎn)足局部l i p s c h i t z 條件， 并設(shè)( 2 1 ) 與( 2 2 ) 的解均在閉區(qū)間 a ，6 i 上存在，分別記作 y = 秒( z ) ，y = y ( z ) ，asz b 若 ，( z ，y ) f ( x ，可) ，v ( x ，可) g ， 則 y ( x ) y ( z ) ，x o z b ， y ( x ) y ( z ) ，a z x 0 3 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 跏，y o ) g ， 第二章基礎(chǔ)知識(shí) 定理2 2( r i e s z 表示定理) 設(shè)日是h i l b e r t 空間，是日上任意有界線(xiàn)性泛函，則存在唯一的y l 日， 使得對(duì)每一個(gè)z 日有 ，( z ) = ( z ，y 1 ) ， 并且 i i l l i = i l y ，1 1 定理2 3( n y q u i s t 標(biāo)準(zhǔn)) 若l 是圍繞右半平面的一條曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)度，那么曲線(xiàn)，( l ) 圍繞原點(diǎn) 的圈數(shù)等于在右半平面上p a l ) 的極點(diǎn)和零點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)之差 代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)就是一般所說(shuō)的r o u t h - t i u r w i t z 判據(jù)，利用特征方程式的 各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部特征根為負(fù)實(shí)部的條件，以此來(lái)判斷系 統(tǒng)是否穩(wěn)定設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 c h 入n + c h 一1 a n 一1 + + a l a - i - a o20 ， 定理2 4( r o u t h - h u r w i t z 定理) 上面這個(gè)特征方程的根有負(fù)實(shí)部的充要條件是： 1 ：口l o ，2 ：i 口1 印i ， n 30 2 t i = n 1a o 00 口3 口2n l 0 a 2 n - 1 口n 這里當(dāng)8 n 。則a 8 = 0 = n l a n 0 2 2 最優(yōu)控制理論 最優(yōu)控制理論特別是l s p o n t r y a g i n 于1 9 6 2 年發(fā)表的著名的最大值原 理，是經(jīng)典變分法求泛函極值的擴(kuò)充最大值原理是求出當(dāng)控制向量受到 4 第二章基礎(chǔ)知識(shí) 約束時(shí)的最優(yōu)控制的必要條件本節(jié)主要是簡(jiǎn)單介紹一下本文中所應(yīng)用到 的關(guān)于最優(yōu)控制的理論及最大值原理設(shè)微分方程 象= ，m 札( t ) 】o t t ( 2 3 ) 及初始條件 x ( o ) = x 0 ( 2 4 ) 其中f ( z ，t ，讓) 是z 、t 和亂的已知連續(xù)可微函數(shù)變量z = x ( t ) 稱(chēng)為狀態(tài)變 量，方程( 2 3 ) 稱(chēng)為狀態(tài)方程，終止時(shí)間t 稱(chēng)為時(shí)間界限給定一個(gè)特定的 控制u ( t ) ，0 t t ，方程( 2 3 ) 相應(yīng)的解x ( t ) 稱(chēng)為響應(yīng)容許控制類(lèi)u 定 義為所有規(guī)定在0 t 范圍的分段連續(xù)的實(shí)函數(shù)u ( t ) ，并滿(mǎn)足 廿( t ) 阢，( 2 5 ) 其中仉是一個(gè)給定區(qū)間( 可以是無(wú)限的) ，稱(chēng)為控制集 我們引入一個(gè)目標(biāo)泛函 。 ，i r ， 亂) = 9 【z ( ) ，t ，u ( t ) d t ， ( 2 6 ) 其中g(shù) ( x ，t ，u ) 是已知的連續(xù)可微函數(shù)最優(yōu)控制理論中的基本問(wèn)題是求使 j u ) 達(dá)到最大值的可行控制札( t ) ，這樣的控制如果存在的話(huà)稱(chēng)為最優(yōu)控制 最大值原理最方便的公式稱(chēng)為h a m i l t o n i a n 函數(shù)： 日陋( ) ，t ，亂( ) ；a ( t ) 】= 9 【z ( t ) ，t ，( t ) 】+ a ( ) ，k ( t ) ，t ，讓( t ) 】，( 2 7 ) 這里a ( t ) 是一個(gè)附加的未知函數(shù)，稱(chēng)為伴隨變量如果札( t ) 是最優(yōu)控制，z ( ) 是相應(yīng)的響應(yīng)，則最大值原理斷言，存在滿(mǎn)足下述方程的伴隨變量x ( t ) ： 甕= 一籌= 一瓦o g 一椰) 墓， ( 2 8 ) 一= 一一= 一一一 ir i 一 z - 出a z阮一”7 如 7 日p ( t ) ，t ，u ( t ) ；a ( ) 】蘭緊日p ( t ) ，t ，亂；a c t ) ， ( 2 9 ) t t u t 對(duì)所有的t 成立，0 t t 微分方程( 2 8 ) 稱(chēng)為伴隨方程強(qiáng)調(diào)一下這些 方程涉及最優(yōu)控制u ( t ) ，相應(yīng)的響應(yīng)x ( t ) 以及相應(yīng)的伴隨變量a ( t ) ，它們是 最優(yōu)控制和響應(yīng)必須滿(mǎn)足的必要條件方程( 2 9 ) 斷言，在每個(gè)給定的時(shí)間 t ，最優(yōu)控制牡( t ) 值必須是滿(mǎn)足控制約束( 2 5 ) 的一切。容許”值中的一個(gè)， 5 第二章基礎(chǔ)知識(shí) 并使h a m i l t o n i a n 函數(shù)取得最大值注意：如果最優(yōu)控制u ( t ) 碰巧位于控制區(qū) 間阢的內(nèi)部( 即如果控制約束沒(méi)有約束力) ，則( 2 9 ) 意味著 o 百h ：0 ( 2 1 0 ) a 札 一”7 當(dāng)最優(yōu)控制亂( t ) 的系數(shù)為零時(shí)，h a m i l t o n i a n 變成與u 無(wú)關(guān)，所以最大值原理 不能確定最優(yōu)控制的值當(dāng)u ( t ) 的系數(shù)在某一個(gè)大于零的區(qū)間上都等于零 時(shí)，出現(xiàn)一最重要的情況，成為奇異情況當(dāng)( t ) 取極限值的控制稱(chēng)為崩一 崩控制最大值原理表明，對(duì)于線(xiàn)性問(wèn)題的最優(yōu)控制必須是奇異控制和崩 一崩控制的結(jié)合 2 3 正規(guī)形理論和中，d 流形定理 正規(guī)形理論的基本思想是在奇點(diǎn)( 或不動(dòng)點(diǎn)) 附近經(jīng)過(guò)光滑變換把向量 場(chǎng)( 或微分同胚) 化成( 在一定意義下) 盡可能簡(jiǎn)單的形式，以便于研究 微分方程在奇點(diǎn)附近的正規(guī)形考慮以z = 0 為奇點(diǎn)的伊微分方程 p 3 ) ，它在z = 0 附近可表示為 j 麗a x = a x + ，2 ( z ) + + ，r 一1 ( z ) + o ( 1 = 1 7 ) ， ( 2 1 1 ) 其中z 艫( 或c 竹) ，a 是線(xiàn)性部分矩陣，七( z ) h 七n ，h 七n 為n 元佗維k 次齊 次向量多項(xiàng)式所成的空間，k = 2 ，r 一1 定理2 5 設(shè)x x r ( r ”) ( 或( c n ) ) ，x ( 0 ) = 0 ，d x ( o ) = a ，并且x 有表達(dá) 式( 2 1 1 ) ，則在原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)存在一系列變換 z = y + h k ( 剪) ，k = 2 ，7 一1 ， 其中h k ( 剪) h n ，經(jīng)過(guò)這一系列變換( 每次變換后把y 換回z ) ，可以把( 2 1 1 ) 變成如下形式 魯= 止( 卅w 一( 卅o ( i 捫i ， ( 2 1 2 ) 其中g(shù) k ( z ) g k , 臚是渺：= 乳( a d k a ) 在h 七n 中的補(bǔ)空間，算子a d k a 由下式定義 a d 七a ：h 七t l h 七n ，a d 七a ( h 知( z ) ) = d h ( z ) 以z a 。( z ) ， k = 2 ，r 一1 6 第二章基礎(chǔ)知識(shí) 定義2 2微分方程( 2 1 2 ) 的j 次截取式( 2 j r 一1 ) 面d x = a z + 9 2 ( z ) + + 9 j ( z ) ， 其中礦( z ) ，i = 2 ，j ，稱(chēng)為方程( 2 1 1 ) 的j 次正規(guī)形 映射在不動(dòng)點(diǎn)附近的正規(guī)形?？紤]以z = 0 為不動(dòng)點(diǎn)的c 7 映射p 3 ) ， 它在z = 0 附近可表示為 f ( z ) = a x + ，2 ( z ) + + f - i ( z ) + o ( i z i ) ，( 2 1 3 ) 其中。艫( 或c n ) ，a 是線(xiàn)性映射( 我們把它在某組基下的矩陣仍記為a ) ， ，七( z ) h n ，h 七n 為仡元禮維k 次齊次向量多項(xiàng)式所成的空間，k = 2 ，r 一1 定理2 6 設(shè)f d i f f ( 儼) ( 或d i f ，r ( c “) ) ，并且有表達(dá)式( 2 1 3 ) ，則在原 點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)存在一系列變換 一z = y + h k ( 可) ，k = 2 ，r 一1 ， 其中臚( 剪) h 七n ，經(jīng)過(guò)這一系列變換( 每次變換后把y 換回z ) ，可以把( 2 1 3 ) 變成如下形式 g ( z ) = a x + 9 2 ( z ) w + g r - 1 ( z ) + o ( i z l r ) ，( 2 1 4 ) 其中9 七( z ) 臚，臚是噼：= 跪( 砂a ) 在日知。中的補(bǔ)空間，算子臚a 由下式定義 l 七a ：h 知n _ h 七竹，l k a ( h 膏( z ) ) = d h 七( z ) 缸一a h 七( z ) ， k = 2 ，r 一1 定義2 3映射( 2 1 4 ) 的j 次截取式( 2 j r 一1 ) a x + 9 2 ( z ) + + 一p ) ， 其中擴(kuò)( z ) ，i = 2 ，歹，稱(chēng)為方程( 2 1 3 ) 的j 次正規(guī)形 中心流形定理考慮方程 童2 聃f ( 而們， ( 2 1 5 ) 【家= 勵(lì)+ g ( z ，耖) ， 。 第二章基礎(chǔ)知識(shí) 其中z 儼，y r m ，a 和b 分別是nx 佗和m m 階常數(shù)矩陣，且a 的所有特 征值均具有零實(shí)部，b 的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部f 和g 分別是從r n + m 到r n 和i v 的映射，滿(mǎn)足 o ( 入 o ) ，( 2 1 7 ) 在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)有漸進(jìn)穩(wěn)定的閉軌 r 第二章基礎(chǔ)知識(shí) 研究一些有實(shí)際背景的微分方程模型的h o p f 分支時(shí)，一般是先求出模 型的奇點(diǎn)，在奇點(diǎn)將模型線(xiàn)性化，得到線(xiàn)性化系統(tǒng)的系數(shù)矩陣恰有一對(duì)純 虛根和一個(gè)負(fù)實(shí)根所對(duì)應(yīng)參數(shù)的臨界值，考查參數(shù)在臨界值附近變化時(shí)特 征值的變化是否滿(mǎn)足上述定理的條件再利用中心流形定理驗(yàn)證參數(shù)取臨 界值時(shí)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性后就可以從定理得到模型的h o p f 分支 引理2 1( g j b u t l e r 引理) 設(shè)某系統(tǒng)的平衡點(diǎn)e 對(duì)應(yīng)的特征方程為 a 2 一( h + r ) a + h r l v q e 7 a = 0 ， 設(shè)日+ r n q ，那么當(dāng)丁 0 ，是使特征方程有零實(shí)部的根的最小值 在上面的特征方程中，設(shè)a = 弘+ i v ，分離實(shí)部與虛部，我們可以得到超 越方程： p 2 一 2 一( h + r ) p + h r n q e 一 r g c 0 8 t v = 0 ， 2 # v f 日+ r ) v + n q e 一1 肛s i n t v = 0 我們有一個(gè)分支定理： 定理2 9設(shè)日+ r 0 ，n q 0 ，有m = m ( r ) 0 ，使當(dāng)i z o | | 0 ， 這里的o l ，屈1 ，6 ，8 ，d ，叩和k 都是正常數(shù)，z ( t ) 和y ( ) 分別表示食餌和捕食者 在t 時(shí)刻的種群密度，6 是食餌的固有增長(zhǎng)率，k 是食餌在沒(méi)有被捕食時(shí) 的環(huán)境負(fù)載容量捕食者消耗食餌為b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 型的功能性反應(yīng) 函數(shù)s z 可( q + 觸+ 7 籮) ，從而捕食者的生長(zhǎng)率為卵s x y ( a + 觸+ 7 ) 常數(shù)d 是捕食者的死亡率，y 是兩者互利的生存常數(shù)系統(tǒng)( 3 1 ) 中的函數(shù)反應(yīng)是 由【2 3 】和【2 4 分別提出來(lái)的 1 2 第三章通過(guò)最優(yōu)稅收進(jìn)行漁業(yè)保護(hù)：一個(gè)b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 捕食系統(tǒng) 為了簡(jiǎn)單，我們把系統(tǒng)( 3 1 ) 作變量代換，令 那么我們可以得到 th ，x l kh z ，yhy ， 害= x ( 1 一z ) 一且a + x + m y ， 客= 剪( 一七+ 南) ， ( 3 2 ) x ( o ) = x o 0 ，u ( o ) = y o 0 ， 其中 6 = 赤，= 器，七= 等，口= 殺，m = 去 觀察系統(tǒng)( 3 2 ) ，若o 0 ，m = 0 ，就變成了帶有m i c h a e l i s - m e n t e n ( 或者 h o m n gt y p ei i ) 函數(shù)反應(yīng)的k o l m o g e o r o v 型捕食系統(tǒng)模型( 1 5 ， 2 2 】) ： f 害= x ( 1 一z ) 一虹a + x ， 害= r 鱸( 一后+ 南) ， iz ( o ) ：z 。 o ， 3 ，( o ) ：加 o ， 甓簍，喪扎 在【3 】中討論了以征稅為控制手段的基于比率的捕食漁業(yè)系統(tǒng)的有選擇性的 收獲問(wèn)題 基于比率的形式也具體表現(xiàn)捕食者之間的相互干擾，但是它在低密度 下的一些單一行為以及其它方面引起了一些爭(zhēng)議f 2 5 】做了一些數(shù)學(xué)方面的 分析和【2 1 是生物學(xué)家們關(guān)于比率依賴(lài)性的爭(zhēng)論的一些方面b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 形式的功能性的反應(yīng)函數(shù)與基于比率形式的有一些相同的性質(zhì)特征， 但是它避免了基于比率的模型在密度方面的一些行為引起的爭(zhēng)論假設(shè)只 收獲捕食者種群為了保護(hù)種群，管理機(jī)構(gòu)在每單位生物量上強(qiáng)加了一種 稅收r 0 0 0 ， y ( o ) 0 ， e ( o ) 0 ， 這里q 表示捕食者種群的可捕系數(shù)捕捉率函數(shù)q e y 是根據(jù)【1 2 】中的c p u e ( 單 位收獲量成本) 假設(shè)，p 是所收獲的單位生物量的價(jià)格，c 是單位收獲量成 本常數(shù)q o 是衡量私人努力量的反應(yīng)強(qiáng)度的強(qiáng)度系數(shù) 本論文討論了一個(gè)b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 型漁業(yè)捕食系統(tǒng)的動(dòng)力反應(yīng)模 型，這里假設(shè)只有捕食者被收獲通過(guò)強(qiáng)加征稅方案威段漁民，阻止?jié)O業(yè)資 源被過(guò)度開(kāi)采的一種方式本文的主要目的是在捕食者表現(xiàn)滅絕時(shí)通過(guò)收 獲尋找一個(gè)對(duì)生物群落帶來(lái)最好利益的合適的稅收政策討論了可能的穩(wěn) 定狀態(tài)的存在性和局部穩(wěn)定性，通過(guò)構(gòu)造l y a p u n o v 函數(shù)討論了系統(tǒng)的全局 穩(wěn)定性，運(yùn)用p o n t r y a g i n 極大值原理討論了最佳稅收政策首先，我們研究 一下非負(fù)平衡點(diǎn)的存在性以及它們的穩(wěn)定性 3 2 平衡點(diǎn)分析 通過(guò)計(jì)算我們可以知道系統(tǒng)( 3 3 ) 有四個(gè)非負(fù)平衡點(diǎn)島( o ，0 ，o ) ，p l ( 1 ，0 ，o ) ，b ( 蠆，玩0 ) 和b ( 礦，y ，e + ) 顯然蜀和只是存在的下面我們討論一下其他兩個(gè)點(diǎn)的 存在性 b ( 蠆，可，0 ) 的存在性：這里的蠆和可是下面兩個(gè)方程的正解： 1 一z 一 墮 ：0 a + z + m y k + i 毛：0 ， a + z + m y 假設(shè)p 2 ( x ，可，0 ) 是存在的，那么有 z2 顯然的蠆是正的， 2 m 要使哥為正，必有 o 。， 的一m y + 一a 。 同樣的，要使 只要 礦= + 擊) o ， 口、口+ z + 竹l 蘭： 后 a + z + + m y 于是我們可以得到下面的結(jié)論： ( 3 4 ) ( 3 5 ) 定理3 1若條件p 丁，( 3 4 ) 和( 3 5 ) 都成立，那么系統(tǒng)( 3 3 ) 存在唯一 的正平衡點(diǎn)b ( 礦，y ，e + ) 3 3 局部穩(wěn)定性 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性可以通過(guò)討論它們所對(duì)應(yīng)線(xiàn)性近似方程的系數(shù)矩 陣的特征值的各種情況而得到下面就是這些平衡點(diǎn)的線(xiàn)性穩(wěn)定性情況t 1 5 第三章通過(guò)最優(yōu)稅收進(jìn)行漁業(yè)保護(hù)：一個(gè)b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 捕食系統(tǒng) 1 p o ( o ，0 ，0 ) 是一個(gè)鞍點(diǎn)，其中沿弘方向是局部不穩(wěn)定流形，在y e 空 間存在局部穩(wěn)定流形 2 若1 ( 1 + a ) p c 口且b 雪( a + 蠆+ m _ ) 2 1 + r m 可( a + 蠆+ 咖) 2 ，則平衡點(diǎn) 懇( _ ，可，0 ) 在z y e 空間是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的 4 平衡點(diǎn)b ( 礦，y ，e + ) 的特征方程可以表示為 入3 + a 1 a 2 + a 2 入+ a 3 = 0 ， 其中 a = z 一百_ f ；b _ x * 干y 研* + i = i f r ；m f x 干* 研y * ， =瓦r麗rnx*2y*高為+aoq2a2 - 4 -a o q ( 。p r 一) y 只 2 百i i 研石再i 研 一 占 a 3 = a o q 2 ( p 一丁) 可f 礦一兩了x * 再y 砰i j 由r o u t h - h u r w i t z 定理可知，當(dāng)b y ( 口+ 礦+ m y + ) 2 i n ( 1 + z ) x ( 1 + z ) 可得) 1 6 第三章通過(guò)最優(yōu)稅收進(jìn)行漁業(yè)保護(hù)：一個(gè)b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 捕食系統(tǒng) 求y 的沿著( 3 3 ) 的解的全導(dǎo)數(shù)，然后通過(guò)一系列代數(shù)代換，我們可以 得到 警- - ( x - - , t * ) 2 一萬(wàn)等群等+ 再老籍 b x + ( z z + ) ( 秒一y ) 1 ，r r m x 4 ( ! ，一可) 2 一百- f ；j 面另i - f ：_ 干石歷可j 十a(chǎn) l 【一i i f i 了丐兩萬(wàn)石- f 孑_ 麗 a r ( x z + ) ( 可一y 4 ) t o r y + ( z z ) ( 可一y + ) 。( a + z + m 秒) ( n + z + + m y + ) 1 ( a + z + m y ) ( a + z + m y + ) - q ( y 一可) ( e e 4 ) i + d 2 a o q ( p 一7 ) ( 一可+ ) ( e e ) = 【一x - - 2 7 * ) 2 一i 竺罟主= = 芋?；稍贫? i - i ；_ = f b y 石* 函( 2 7 可鬲- j x _ * i ) 2 麗】 jr r m x ( 可一) 2 r ( n + m y ) ( z z ) ( 可一y ) 十“一石_ f ；j i 元罰i _ f ；_ 干；萬(wàn)萬(wàn)十i i f ；了i 鬲萬(wàn)石_ f ；f f 磊石可 - q ( y 一礦) ( e e + ) 】+ d 2 a o q ( p 一7 ) ( 耖一礦) ( e e + ) 】 取d l = b ( a + 2 7 * ) r ( a + m y ) ，d 2 = b ( a + z ) q o r ( p 一下) ( 口+ m y ) ，貝0 可得 dv：一(zz)2+dt 2 一【z z 廠+ 的( z 一2 7 * ) 2 ( a + z + m y ) ( a + z + m y m b x + ( o + 2 7 * ) ( 剪一曠) 2 + m y + ) ( 口+ z + m y ) ( a + 2 7 + + m y ) 。)( a 顯然上式中( y 一礦) 2 的系數(shù)為負(fù)，而 一2 7 * ) 2 的系數(shù)為 1 妒 1 。( n + z + m y ) ( a + z + + m y ) 從而可得d v d t 小于零的一個(gè)充分條件 砌廣 卅外m y 再a 孑幸而 十z + 十m 若滿(mǎn)足上面這個(gè)條件，則平衡點(diǎn)島( 礦，礦，p ) 是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的 進(jìn)一步考慮，我們注意到，當(dāng) 0 塵! 墮止逛蘭型墮堂， 時(shí)，島在整個(gè)第一象限都是穩(wěn)定的 1 7 第三章通過(guò)最優(yōu)稅收進(jìn)行漁業(yè)保護(hù)：一個(gè)b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 捕食系纏 3 5 最優(yōu)稅收政策 在這部分我們討論被管理機(jī)構(gòu)所采用的最優(yōu)稅收政策，他們計(jì)劃把從 漁業(yè)得到的折扣的凈收入最大化，利用對(duì)捕澇上來(lái)的魚(yú)征稅作為控制手段 引入的目標(biāo)泛函，為 j = o 丌。，y ，e ，t ) e 一以出， 其中7 r ( z ，y ，e ，t ) = ( m y c ) e ，仃表示貼現(xiàn)的瞬時(shí)年率我們的目的就是將 確定一種稅收政策r = r ( t ) ，在t m 饑rs 丁仃眥的限制下，使服從系統(tǒng)( 3 3 ) 的現(xiàn)值j 取得最大這個(gè)控制問(wèn)題的h a m i l t o n i a n 函數(shù)是 h = e - a t 。g 可一c ) e + a 1 p ( 1 一z ) 一i f b z x 十ym ! ， + a 2 【r 可( 一七+ i 南) - q e y + 入3 q o e 【一r ) q y q ，。 ( 3 6 ) 其中入l ，a 2 和入3 是伴隨變量h a m i l t o n i a n 函數(shù)( 3 6 ) 應(yīng)該在下【梳n ，龜眥】上 取得最大值 假設(shè)那個(gè)最優(yōu)解不是在丁= t m 饑或啪取得，【2 】給出了奇異控制 籌砘( 刪) 0 0 e 0 虬_ 0 ( 3 7 ) 伴隨方程為 塵d t = 一等一m 1 - 2 x - 揣h z 器】， ( 3 8 ) 等= 一籌= 【e 卅p g e 再b x 而( a + x 研) 訛 _ r 南+ 篇書(shū)( 3 9 ) 嘗= 一差- 【e 刊卅咄捌o ( 3 1 0 ) 由( 3 1 0 ) 可得 a 2 ( ) = e 刮白一云) ( 3 m ) 為了得到最優(yōu)的平衡解，通過(guò)考慮內(nèi)部平衡我們把e q ( 3 8 ) 寫(xiě)成下面的形式 i d ) q a i a l ：一a 2 e - 礬， 1 8 第三章通過(guò)最優(yōu)稅收進(jìn)行漁業(yè)保護(hù)：一個(gè)b e d d i n g - t o n - d ea n g e l i s 捕食系統(tǒng) 其中 a - = z 一面孑b x 研* y * ， 伽。一導(dǎo)，篇等蒜 上面這個(gè)線(xiàn)性微分方程的一個(gè)解為 州歸熹e 一 同樣的我們可以得到 m 歸魯e ， 其中這里 b - = 面萬(wàn)r m 研x * y * ， b 2 = p q e * - 而a 2 石b 再x * 巧( a - 研b x * ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 把( 3 1 1 ) 中a 2 的值代入方程( 3 1 3 ) 可以得到 ，? d - j o 一季) 2 百而2 ( 3 1 4 ) 現(xiàn)在把第2 節(jié)中礦，y 和e 的值代入方程( 3 1 4 ) 我們可以得到關(guān)于7 的方 程若這個(gè)方程有解，我們?cè)O(shè)這個(gè)解為而利用丁= 7 a 這個(gè)值我們可以得 到最優(yōu)的平衡解z = z ，y = y a 和e = 易 這里我們已經(jīng)建立了滿(mǎn)足極大值原理的最優(yōu)平衡解存在的必要條件 【1 2 】中指出，我們很難找到一種包括崩一崩控制和非平衡態(tài)奇異控制的組合 的最優(yōu)途徑在【1 2 】中，甚至在研究一個(gè)簡(jiǎn)單的含有兩個(gè)獨(dú)立的魚(yú)類(lèi)種群的 模型時(shí)，都面臨了這個(gè)難題當(dāng)前的這個(gè)模型要比c l a r k 前述的模型復(fù)雜的 多由于這些難題，我們只考慮了一個(gè)最優(yōu)平衡解 由上面的分析我們可以觀察到： 1 從方程( 3 7 ) ，( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 中我們注意到九( z = 1 ，2 ，3 ) ，其中凡是 伴隨變量，在最佳平衡時(shí)保持常量，所以當(dāng)t 一。o 時(shí)它保持有界性 1 9 第三章通過(guò)最優(yōu)稅收進(jìn)行漁業(yè)保護(hù)：一個(gè)b e d d i n g t o n - d ea n g e l i s 捕食系統(tǒng) 2 考慮內(nèi)部平衡，方程( 3 1 0 ) 可以寫(xiě)為 a a q y = 產(chǎn)印卅= e 刮蠢 這意味著收獲每單位努力的總使用者成本與在穩(wěn)定狀態(tài)努力水平下的未來(lái) 價(jià)格的貼現(xiàn)價(jià)值是相等的 3 由方程( 3 1 1 ) 和( 3 1 3 ) 我們可以得到 p q y 釘= 器訓(xùn)，a 8 它表示社會(huì)的純經(jīng)濟(jì)收入，丌( z ，y o o ，e o o ) = 0 這表示，無(wú)限折扣率導(dǎo)致了 經(jīng)濟(jì)收入的消散我們也注意到零貼現(xiàn)率時(shí)j 獲得最大值 第四章分析一個(gè)具有年齡結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性和h o p f 分支 第四章分析一個(gè)具有年齡結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定 性和h o p f 分支 4 1引言 在自然界中，有很多種群一生中都會(huì)經(jīng)歷兩個(gè)年齡階段，即幼年和成 年例如哺乳動(dòng)物和某些兩棲動(dòng)物在本文的捕食系統(tǒng)中我們把捕食者分成 了幼年和成年，這種具有結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)已經(jīng)被很多學(xué)者研究過(guò)了在 2 6 】 中分析了由幼年和成年個(gè)體組成的具有年齡結(jié)構(gòu)的單一種群的生長(zhǎng)【2 7 】進(jìn) 一步假設(shè)了從幼年到成年的時(shí)間是由種群自身的狀態(tài)決定的這里，我們 把捕食者分類(lèi)為幼年和成年個(gè)體并假設(shè)幼年的捕食者不捕食食餌這對(duì)于 一些哺乳動(dòng)物來(lái)說(shuō)似乎是比較合理的，因?yàn)槲从啄瓴妒痴叨际怯筛改竵?lái)喂 養(yǎng)；它們對(duì)食餌的攻擊以及對(duì)繁殖率的影響都可以被忽略 捕食者具有年齡結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)由h a s t i n g s 在 2 8 ，2 9 】中提出，如下所 示： 其中，t ( t ) ，v l ( t ) 和v 2 ( t ) 分別是食餌，幼年和成年的捕食者在時(shí)間t 時(shí)的種 群密度，a 時(shí)食餌的出生率，捕食者由幼年個(gè)體轉(zhuǎn)化為成年個(gè)體與現(xiàn)有幼 年個(gè)體的密度成比例，比率為仇，這里我們假設(shè)幼年和成年的捕食者有相 同的死亡率e ，食餌的密度是受限制的，b 就是食餌種群內(nèi)部的競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)， 捕食者消耗食餌率為f ，c 是捕食者在捕食了食餌以后的繁殖率，其中a b 決 定了食餌的承載容量，成熟率m 決定了幼年期的平均長(zhǎng)度，a ，b ，f ，c ，m 和e 都是正常數(shù) 捕食者捕食了食餌并不是立即就繁殖，因?yàn)椴妒痴叩膽言袝?huì)需要一些時(shí) 間。我們?cè)O(shè)這個(gè)滯后的時(shí)間為r 且我們假設(shè)食餌種群的滯后時(shí)間在【一丁，0 】 2 1 坦 鈔 眥d ， + ， ”書(shū)一 一 您 1 忙 眥 = = = 如面機(jī)百垃出 第四章分析一個(gè)具有年齡結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性和h o p f 分支 i 面d u = 仳( 口一地) 一f u r 2 ， 魯= 側(cè)( 一1 - ) v 2 ( t r ) 一( 仇+ e ) v l ， ( 4 2 ) i i 警= 舢1 一e v 2 以h 芒，一b 亂h 牡1 ，u 1h 讓2 ，噸h 讓3 ， 一u l ( 1 一札1 ) 一q u l u 3 ， 觸1 一r ) t 幻 一7 ) 一( 8 + 1 ) u 2 ， ( 4 3 ) 8 t 2 一i t 3 ， 其中 ，y ：一a ，q ：，p ：t a c ，8 ：竺，y2 一， q = 一，p2t ， 2 一 eee de 系統(tǒng)( 4 3 ) 滿(mǎn)足初始條件s u l ( 0 ) 札2 ( 口) u 3 ( o ) l ( 臼) 0 ，p 【- 7 - ，o ) ，1 ( o ) 0 ， 九( p ) 0 ，口【一f ，o ) ，屯( o ) 0 ， ( 4 4 ) 3 ( 0 ) 0 【3 0 討論了系統(tǒng)( 4 1 ) 帶有時(shí)滯的情況，那篇文章的主要特點(diǎn)是研究具有年 齡結(jié)構(gòu)的兩個(gè)種群系統(tǒng)的漸進(jìn)行為，然后尋找沒(méi)有時(shí)滯具有年齡結(jié)構(gòu)的模 型與帶有時(shí)滯的模型之間的不同現(xiàn)在我們討論的是稍簡(jiǎn)單一點(diǎn)的同一個(gè) 模型帶有時(shí)滯的情況本文的結(jié)構(gòu)安排情況是這樣的；第二節(jié)討論了系統(tǒng) ( 4 3 ) 的正解及其有界性，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及在正平衡點(diǎn)h o p f 分支的存在 性在第三節(jié)得到了討