基于小波的水下圖像去噪研究摘要眾所周之，二十一世紀(jì)是海洋開(kāi)發(fā)時(shí)代，對(duì)于人口眾多、陸地資源有限、環(huán)境日趨惡化的中國(guó)來(lái)說(shuō)，豐富的海洋資源可以在一定程度上緩解中國(guó)目前所面臨的諸多困境，所以開(kāi)發(fā)海洋是一項(xiàng)意義重大、影響深遠(yuǎn)的工程。但現(xiàn)在人們對(duì)海洋的了解還是很少的，因此如何合理有效地利用這個(gè)潛能無(wú)限的寶藏是擺在科學(xué)工作者面前的一個(gè)難題。由于水下環(huán)境復(fù)雜，成像條件惡劣，從水下拍攝到的圖像往往淹沒(méi)在各種噪聲中。本文的目的是嘗試對(duì)真實(shí)水下圖像中提取出來(lái)的噪聲，利用小波這個(gè)新興工具進(jìn)行去噪，力求提高圖像的對(duì)比度，改善圖像質(zhì)量。首先，本文研究了小波變換的基本理論，分析了小波變換的特點(diǎn)，隨之對(duì)小波域?yàn)V波去噪的三種主要方法進(jìn)行了闡述比較分析，重點(diǎn)介紹了小波域閾值去噪方法，對(duì)其中的幾種經(jīng)典閾值估計(jì)方法給出了詳細(xì)說(shuō)明；其次對(duì)水下圖像背景噪聲的性質(zhì)做了簡(jiǎn)要分析，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)“層層獨(dú)立閾值”思想，結(jié)合各種準(zhǔn)則下的經(jīng)典閾值估計(jì)方法，對(duì)含水下噪聲的圖像進(jìn)行去噪，并提出一種新噪聲方差估計(jì)方法用于確定閾值，實(shí)驗(yàn)對(duì)比了兩種方法的去噪效果，分析討論了原因；最后對(duì)基于廣義交叉確認(rèn)( g c v ) 準(zhǔn)則的閾值確定方法進(jìn)行了研究，同樣是建立在“層層獨(dú)立閾值 思想之上，將該方法用于含水下噪聲圖像的去噪，并針對(duì)正交小波變換不具備線性相位、不具有平移不變性的缺陷，將廣義交叉確認(rèn)( g c v ) 準(zhǔn)則和冗余小波變換與雙正交冗余小波變換分別結(jié)合用于去噪。實(shí)驗(yàn)表明后兩種方法在去噪效果上要優(yōu)于原方法，但需要更多的計(jì)算時(shí)間和更高的內(nèi)存要求。關(guān)鍵詞：水下圖像；小波變換；層層獨(dú)立閾值；廣義交叉確認(rèn)t h er e s e a r c ho fu n d e r w a t e rim a g ed e n oisin gb a s e do nw a v eie t sa b s t r a c ti ti sw e uk n o w nt h a tt h e2 1 nc e n u l r yi st h ea g ef o ro c e a n s d e v e l o p m e n t f o rc h i n aw i t hl a r g ep o p u l a t i o n ，l i m i t e dl a n ds o u r c e sa n dw o r s ea n dw o r s ee n v i r o n m e n t , t oae x t e n t , a b u n d a n to c e a n $s o u r c e sc a nl a r g e l ya l l e v i a t ev a r i o u sp r e d i c a m e n t sc o n f r o n t e db yc h i n aa tp r e s e n t , s oi ti sap r o j e c tw i t hi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ea n dp r o f o u n di m p a c tt od e v e l o ps e a s h o w e v e r , n o w a d a y sp e o p l eu n d e r s t a n do c e a n sv e r yl i t t l e t h e r e f o r e ，h o wt oe x p l o i tt h et r e a s u r eo fu n l i m i t e dp o t e n t i a l i t yr e a s o n a b l ya n de f f e c t i v e l yi sad i f f i c u l t yp r o b l e mp l a c e di nf r o n to fs c i e n t i s t s b e c a u s eo fc o m p l i c a t e du n d e r w a t e re n v i r o n m e n ta n db a di m a g i n gc o n t i t i o n s ，i m a g e sf r o mu n d e r w a t e rt e n dt ob ef l o o d e di na l lk i n d so fn o i s e t h ep a p e r sg o a li st ot r yt ou s ew a v e l e t , t h er i s i n gt o o l ，t od e n o i s ef o rn o i s ep i c k e du pf r o mt r u eu n d e r w a t e ri m a g e s ，i no r d e rt o 婦i m a g e s c o n t r a s tr a t i oa n di m p r o v ei m a g e s q u a l i t y f i r s t l y , t h ep a p e rs t u d i e st h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo fw a v e l e tt r a n s f o r m ，a n a l y s e sw a v e l e tt r a n s f o r m sc h a r a c t e r i s t i c sa n dl a t e re x p o u n d sa n dc o m p a r e st h r e em a i nm e t h o d sf o rd e n o i s i n gi nw a v e l e td o m a i n t h ep a p e re m p h a s i s e st h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d si nw a v e l e td o m a i n ，a m o n gw h i c hs e v e r a lc l a s s i c a lo n e , st h a te s t i m a t et h r e s h o l d sa r ei n d i c a t e di nd e t a i l s e c o n d l y , t h ep a p e ra n a l y s e sb r i e f l yt h ep r o p e r t yo fu n d e r w a t e ri m a g e s b a c k g r o u n dn o i s e o nt h eb a s i so ft h i s ，a c c o r d i n gt ot h ei d e ao f “l(fā) e v e l - i n d e p e n d e n tt h r e s h o l d i n g , c l a s s i c a lm e t h o d sf o re s t i m a t i n gt h r e s h o l d su n d e ra l lk i n d so fs t a n d a r d sa r ec o m b i n e da n di m a g e sw i t hu n d e r 、) l r a t c rn o i s ea r ed e n o i s e d t h ep a p e rp r o p o s e san e wm e t h o df o re s t i m a t i n gn o i s ev a r i a n c et od e t e r m i n et h r e s h o l d s d e n o i s i n ge f f e c t so ft w om e t h o d sa r cc o m p a r e da n dt h er e a s o ni sd i s c u s s e d f i n a l l y , t h em e t h o do ff i x i n gt h r e s h o l d sb a s e do ng e n e r a l i z e dc i o s sv a l i d a t i o ns t a n d a r di ss t u d i e d a sw e l la sb u i l to nt h eb a s i so ft h ei d e ao f “l(fā) e v e l i n d e p e n d e n tt h r e s h o l d i n g , t h em e t h o di su s e dt od e n o i s ei m a g e sw i t hu n d e 刑a t e rn o i s e b e c a u s eo r t h o g o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mh a st h es h o r t c o m i n go fl a c ko fl i n e a rp h a s ea n dt r a n s l a t i o ni n v a r i a n t , g e n e r a l i z e dc r o 鸛v a l i d a t i o nw i t hr e d u n d a n tw a v e l e tt 工a n s f o r ma n db i o r t h o g o n a lr e d u n d a n tw a v e l e tt r a n s f o r ma r er e s p e c t i v e l yc o m b i n e dt od e n o i s e e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h ed e n o i s i n ge f f e c t so ft h et w ol a t t e rm e t h o d sa r eb e t t e rt h a nt h eo n eo ft h ef o r m e rm e t h o d k e y w o r d s ：u n d e r w a t e ri m a g e s ；w a v e l e tt r a n s f o r m ；l e v e l - i n d e p e n d e n tt h r e s h o l d i n g ；g e n e r a l i z e dc r o s sv a l i d a t i o ni i獨(dú)創(chuàng)聲明本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果，也不包含未獲得( 洼! 墊遺查墓絲置墨搜別直鰻鮑：奎攔互窒或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書使用過(guò)的材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示謝意。學(xué)位論文作者簽名：劐象簽字日期：瑚年1 5 r 月厶日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)學(xué)校可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。同時(shí)授權(quán)中國(guó)科學(xué)技術(shù)信息研究所將本學(xué)位論文收錄到中國(guó)學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)，并通過(guò)網(wǎng)絡(luò)向社會(huì)公眾提供信息服務(wù)。( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書)學(xué)位論文作者簽名：莉蒙導(dǎo)師簽字：訓(xùn)掰簽字日期：加孑年參月易日簽字日期：冶諺年占月占日基于小波的水下圖像去噪研究海洋覆蓋了地球表面面積的7 1 ，蘊(yùn)藏著巨量的資源和能源。隨著地球上人口的激增，陸上資源的不斷消耗，海洋逐漸成為人類賴以生存的發(fā)展新空間。人類在對(duì)海洋進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)時(shí)，往往采取水下攝像的方式獲取有價(jià)值的信息。但由于水下環(huán)境復(fù)雜，水中生物、懸浮物等的存在，使拍攝到的水下圖像受到太多干擾而疊加了嚴(yán)重的噪聲，水下成像的困難和水下圖像的污染嚴(yán)重影響了人們對(duì)海洋的研究。因此對(duì)水下圖像進(jìn)行有效地去噪處理，反映出較清晰真實(shí)的水下信息是深海研究中關(guān)鍵性的課題之一。1 2 課題背景i 2 1 水的光學(xué)特性及其對(duì)水下成像的影響水對(duì)光有強(qiáng)烈的衰減作用，衰減方式主要有水對(duì)光的選擇吸收和對(duì)光的散射兩種。水對(duì)光的選擇吸收可以造成相當(dāng)一部分光能量的損失，這使得水下彩色攝影、攝像變得困難，通常只能在距離目標(biāo)很近的地方( 1 2 m ) 進(jìn)行拍攝，才能避免色彩的丟失，所以如果對(duì)水下中遠(yuǎn)距離目標(biāo)攝像，成像系統(tǒng)多采用黑白圖像的方式。水對(duì)光的散射是指光在水中傳播時(shí)，受到介質(zhì)微粒的作用，偏離原來(lái)直線傳播的方向。光的水中散射有兩種，即純水本身產(chǎn)生的散射和由懸浮粒子所引起的散射。散射方式主要有前向散射和后向散射。水對(duì)光的這些散射，對(duì)水下成像影響極大。通常表現(xiàn)為使整個(gè)影像呈現(xiàn)霧化效果，且散射光影響影像襯度，使圖像對(duì)比度大幅度降低。此外，水體的流動(dòng)，水中存在的微粒、浮游生物等，都使水下圖像的噪聲增強(qiáng)，引起圖像質(zhì)量惡化，這為圖像處理工作帶來(lái)更多困難。1 2 2 水下圖像特點(diǎn)典型的水下圖像( 非水槽內(nèi)圖像) 有以下主要特點(diǎn)嘲：( 1 ) 照明光由探照燈發(fā)出，為會(huì)聚光照明。成像光線的強(qiáng)弱分布呈現(xiàn)較大差異，以照明光最強(qiáng)點(diǎn)為中心，徑向逐漸減弱，反映到圖像上就是背景灰度不均；( 2 ) 由于水體對(duì)光的吸收效應(yīng)、散射效應(yīng)和卷積效應(yīng)使得水下圖像產(chǎn)生較嚴(yán)重的基于小波的水下圖像去噪研究非均勻亮度和細(xì)節(jié)模糊，而且圖像信噪比很低，圖像對(duì)比度顯著變差；( 3 ) 不良的照明條件使水下圖像出現(xiàn)假細(xì)節(jié)，如自陰影，假輪廓等。1 3 小波去噪的研究概況及發(fā)展現(xiàn)狀1 3 1 研究概況由于人類生活環(huán)境和自然環(huán)境的復(fù)雜性，通常采集到的圖像都是含有一定噪聲的，需要對(duì)這些圖像進(jìn)行后續(xù)處理，才能應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。在小波分析方法應(yīng)用到圖像去噪領(lǐng)域之前，傳統(tǒng)意義上的去除噪聲，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是將噪聲視為高頻分量，通過(guò)一個(gè)低通濾波器將其濾去。但圖像中目標(biāo)的邊緣也屬于高頻分量，濾除噪聲的同時(shí)也會(huì)使整幅圖像的細(xì)節(jié)部分變得模糊。2 0 世紀(jì)9 0 年代以來(lái)，小波理論迅速發(fā)展，小波分析方法以其時(shí)頻局部化特性、多分辨率特性、解相關(guān)特性和選基靈活性等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于信號(hào)去噪領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)上，小波去噪問(wèn)題的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)逼近問(wèn)題，即如何在由小波母函數(shù)伸縮和平移所展開(kāi)的函數(shù)空間中，根據(jù)提出的衡量準(zhǔn)則，尋找對(duì)原信號(hào)的最佳逼近，以完成原信號(hào)和噪聲信號(hào)的區(qū)分跚。這一問(wèn)題用數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表述為：夕一a r 笆吵臚( ，) 一圳晝?nèi)铡眆 嚶| p 哪( f 、)，0 ) = 九( f ) + 厶( f ) ，、( 1 1 )，一 廠i 辟實(shí)際信號(hào) 形一印冊(cè)協(xié)：，比，伊礦，z 一協(xié)l 盧是歹_ 矽的函數(shù)空間映射其中，o p t 代表最優(yōu)解，氕( f ) 是原信號(hào)，厶o ) 是噪聲信號(hào)。由此可見(jiàn)，小波去噪方法也就是尋找從實(shí)際信號(hào)空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，以便得到原信號(hào)的最佳恢復(fù)。從信號(hào)學(xué)的角度看，可以說(shuō)，小波去噪是一個(gè)信號(hào)濾波問(wèn)題。然而，盡管在很大程度上小波去噪可看成是低通濾波，但由于小波變換的多分辨率性，在去噪后能成功地保留信號(hào)的細(xì)節(jié)特征，因此在這一點(diǎn)上又優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器舊。由此可見(jiàn)，小波去噪實(shí)際上是特征提取和低通濾波功能的綜合，其流程框圖如圖1 - 1 所示：2基于小波的水下圖像去噪研究1 3 2 發(fā)展現(xiàn)狀圖1 - 1 小波去噪流程小波分析是研究非線形科學(xué)的主要工具之一。世界從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是非線性的，線性是非線性的特殊情況。以非線性為特征的非線性科學(xué)是一門跨學(xué)科的綜合性基礎(chǔ)科學(xué)，旨在揭示非線性系統(tǒng)的共同性質(zhì)、基本特征和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。當(dāng)前研究非線性科學(xué)的主要工具除小波分析外，還有分形理論、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、f o u r i e r 分析等。其中f o u r i e r 分析發(fā)展早而得到廣泛應(yīng)用。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家f o u r i e r 于1 8 2 2 年提出f o u r i e r 分析理論，其后，1 9 6 5 年美國(guó)b e l l 實(shí)驗(yàn)室的c o o l y e和t u k e y 提出快速f o u r i e r 變換即f f t ，兩者相結(jié)合使得一個(gè)時(shí)期內(nèi)f o u r i e r 分析成為理論分析和數(shù)值計(jì)算最完美的工具。但f o u r i e r 分析的致命缺點(diǎn)是不能作局部分析，為克服f o u r i e r 分析的不足，由科學(xué)家、工程師和數(shù)學(xué)家們共同提出了小波分析。小波分析有兩個(gè)最大特點(diǎn)：一是“自適應(yīng)性 ，它能根據(jù)被分析的對(duì)象自動(dòng)調(diào)整有關(guān)參數(shù)；二是具有“數(shù)學(xué)顯微鏡性質(zhì)啪1 ，小波變換在高頻處窗口高而窄，可以精確地確定突變信號(hào)的位置；在低頻處窗口矮而寬，適應(yīng)分析緩變信號(hào)，這種特性被稱為“變焦”。小波分析最早應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)壓縮，以后在圖像處理、故障診斷等方面取得了其他傳統(tǒng)方法無(wú)法達(dá)到的效果。現(xiàn)在小波分析已滲透到自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域。近年來(lái)，小波去噪這一概念不斷出現(xiàn)在有關(guān)信號(hào)與圖像處理的文獻(xiàn)之中，這標(biāo)志著一種新的圖像去噪思想已經(jīng)形成。在早期的多尺度信號(hào)處理工作中，人們已經(jīng)注意到信號(hào)與噪聲在不同尺度有著不同的表現(xiàn)，并試圖有效地利用這些特征。小波變換的出現(xiàn)為這一思想提供了較為理想的工具，使信號(hào)與圖像的多尺度處理技術(shù)得到了迅速發(fā)展餾1 。基于小波分析和子帶分解的邊緣檢測(cè)與濾除噪聲的方法最早是由l uj i a n 和s m a l l a t 提出的口1 。w i t k i n 首先引入了利用尺度空間相關(guān)性對(duì)信號(hào)濾波的思想。s m a u a t 把數(shù)學(xué)上的l i p s c h i t z 系數(shù)與小波變換的模極大值聯(lián)系起來(lái)n 們。隨后，在1 9 9 4 年，d o n o h o 和j o h n s t o n e 提出了小波域閾值萎縮方法( v i s u s h r i n k ) n ，3基于小波的水下圖像去噪研究給出了t 。a q 2 i n n 的閾值估計(jì)，并從漸進(jìn)意義上證明了v i s u s h r i n k 的最優(yōu)性。接著d o n o h o 等又在s u r e ( s t e i n su n b i a s e dr i s ke s t i m a t i o n ) 準(zhǔn)則下提出了另一種小波域閾值萎縮方法( s u r e s h r i n 蛐n 鉑。幾乎在同時(shí)，k r i m 等人運(yùn)用r i s s a n e n的m d l ( m i n i m u md e s c r i p t i o nk n 昏h ) 準(zhǔn)則也得到了相同的閾值公式。此后小波域閾值萎縮方法被應(yīng)用于各種去噪過(guò)程中，取得了很大成功，對(duì)高斯白噪聲的處理效果尤為明顯。但是d o n o h o 等給出的閾值估計(jì)公式有嚴(yán)重的“過(guò)扼殺 小波系數(shù)傾向，因此其它學(xué)者對(duì)閾值的選擇作了進(jìn)一步的研究，提出了多個(gè)不同的閾值確定方法n 鉑n 鄹，對(duì)于閾值函數(shù)的選擇也形成了幾種不同的方式n 6 兒玎1 ，比如有軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)、半軟閾值函數(shù)等。但所提出的閾值確定方法應(yīng)用于非高斯、有色噪聲場(chǎng)合時(shí)，去噪效果卻不夠理想，其最主要原因是由于這些方法是從d o n o h o 等給出的理論發(fā)展而來(lái)，因而它們最后的去噪效果也只能依賴于噪聲服從獨(dú)立同正態(tài)分布的假設(shè)。所以，j o h n s t o n e 等于1 9 9 7 年給出一種相關(guān)噪聲去除的小波閾值估計(jì)器n 引。隨后m a a r t e nj a n s e n 等又提出了基于廣義交叉確認(rèn)( g e n e r a l i z e dc r o s sv a l i d a t i o n ，g c v ) 準(zhǔn)則的具有尺度適應(yīng)性的閾值選取方法n 引，該方法無(wú)需知道噪聲方差的大小( 仃) 的先驗(yàn)信息，甩以解決有色噪聲( 相關(guān)噪聲) 的小波去噪問(wèn)題，而另外一些學(xué)者則研究了在比白噪聲更重要的噪聲情況下的小波去噪問(wèn)題，并給出了顯式的閾值公式。n o w a k 等人1 9 9 9 年提出了針對(duì)光子圖像系統(tǒng)的小波域?yàn)V波算法 5 l 】，用于去除圖像的p o i s s o n 噪聲。h s u n g 等人于1 9 9 9 年提出一種基于奇異性檢測(cè)的去噪方法啞1 ，這種方法與m a l l a t 的模極大值原理去噪方法類似，但它是通過(guò)計(jì)算一個(gè)影響錐內(nèi)小波系數(shù)模的和來(lái)估計(jì)信號(hào)的局部正則性，從而對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行濾波，該方法幾乎不需要噪聲的先驗(yàn)信息，并易于推廣到二維圖像的去噪。c h a n g 等在2 0 0 0 年提出b a y e s s h r i n k 閾值公式啪1 ，所選閾值可隨圖像本身的統(tǒng)計(jì)特性而作自適應(yīng)地改變，取得了較好的去噪效果；他們還提出了一種針對(duì)圖像的空域自適應(yīng)小波閾值去噪與壓縮相結(jié)合的量化方法，把去噪和壓縮較好地結(jié)合起來(lái)。小波去噪方法的發(fā)展大致可以分成以下三個(gè)階段乜婦幽1 ：第一階段，最初的去噪方法主要是利用小波變換去相關(guān)性的特點(diǎn)，在小波分解后的不同層采用不同的閾值，代表方法有v i s u s h r i n k 方法叭1 和s u r e s h r i n k方法1 2 1 等；第二階段，根據(jù)小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)建立各種先驗(yàn)?zāi)Ｐ停瑢?duì)小波系數(shù)的萎縮自適應(yīng)進(jìn)行變化，即每個(gè)小波系數(shù)所采用的閾值都各不相同。采用局部領(lǐng)域估計(jì)方法對(duì)原圖像小波系數(shù)作出方差估計(jì)，代表方法有a d a p t b a y e s s h r i n k 方法嘲、l a w m l s h r i n k 方法等；第三階段，主要關(guān)注如何利用層間和層內(nèi)小波系數(shù)的相關(guān)性。提出了二元或多元小波閾值函數(shù)。思考在去噪的同時(shí)如何盡可能地保留邊緣、紋理等細(xì)節(jié)，并4基于小波的水下圖像去噪研究對(duì)小波變換和其他方法結(jié)合去噪等課題開(kāi)展深入研究。代表方法有b i v a s h r i n k方法強(qiáng)鍆、小波的馬爾可夫方法洶1 和復(fù)數(shù)小波去噪方法嘶3 等。近年來(lái)，對(duì)小波域閾值去噪方法的研究仍然非常活躍，新方法不斷出現(xiàn)，而且，主要的研究方向已經(jīng)轉(zhuǎn)為如何最大限度地獲得信號(hào)的先驗(yàn)信息田1 嘲，并利用這些信息來(lái)確定更合適的閾值，以達(dá)到更好地去噪。另外，除了閾值萎縮方法外，j o h n 和x u 等人還提出了不同的去噪方法1 ，如利用i , i p s c h i t z 指數(shù)方法和基于最大后驗(yàn)概率( m a x i m u m a p o s t e f i o f i ，m a p ) 的比例萎縮法等，這些方法的出現(xiàn)都極大豐富了小波去噪的內(nèi)容。小波去噪方法已成為目前圖像去噪方法的重大分支和主要研究方向之一。1 4 應(yīng)用前景小波理論的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，已經(jīng)拓展到：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號(hào)分析、圖像處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別；音樂(lè)與語(yǔ)言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷：地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如：在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等；在信號(hào)分析領(lǐng)域，用以濾波、去噪聲、傳遞等；在圖像處理領(lǐng)域，用于圖像壓縮、分類、識(shí)別與診斷、去污等；在醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域，已用來(lái)減少b 超、c t 、核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率?！熬唧w來(lái)說(shuō)，小波理論的應(yīng)用在以下幾個(gè)方面有廣闊前景：( 1 ) 由于小波變換可以將信號(hào)或圖像分層次按小波基展開(kāi)，所以可以根據(jù)圖像信號(hào)的性質(zhì)以及事先給定的圖像處理要求確定到底要展開(kāi)到哪一級(jí)為止，從而不僅能有效地控制計(jì)算量，滿足實(shí)時(shí)處理的需要，而且可以方便地實(shí)現(xiàn)通常由子頻帶、層次編碼技術(shù)實(shí)現(xiàn)的累進(jìn)傳輸編碼；( 2 ) 利用小波變換的放大、縮小和平移的“數(shù)學(xué)顯微鏡 功能，可以方便地產(chǎn)生各種分辨率的圖像，從而適應(yīng)不同分辨率的圖像i 0 設(shè)備和不同傳輸速率的通訊系統(tǒng)；( 3 ) 利用小波變換能夠比較精確地進(jìn)行圖像拼接，因此對(duì)較大的圖像可以進(jìn)行分塊處理后，再進(jìn)行拼接，從而使圖像的并行處理取得突破性進(jìn)展；，( 4 ) 基于零樹(shù)小波的圖像壓縮算法，在非常寬的比特率范圍內(nèi)具有很高的編碼效率，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)任意形狀目標(biāo)的編碼，并且空間和質(zhì)量都具有可縮放性。1 5 本論文主要工作及章節(jié)安排本文在分析了水下圖像特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用小波理論對(duì)水下圖像去除后向散射噪聲進(jìn)行了初步的研究，各章內(nèi)容如下：5基于小波的水下圖像去噪研究第一章緒論主要介紹了本文的研究背景，水下成像的特點(diǎn)，小波去噪的研究概況、發(fā)展現(xiàn)狀和應(yīng)用前景；第二章小波變換的基本理論介紹連續(xù)小波變換、離散小波變換、小波框架、正交小波、多分辨率分析和經(jīng)典m a u a t 算法的內(nèi)容；第三章經(jīng)典小波域圖像去噪方法介紹了模極大值重構(gòu)濾波、空域相關(guān)濾波和小波域閾值濾波等三種方法，對(duì)小波域閾值濾波方法作了重點(diǎn)說(shuō)明，描述了幾種經(jīng)典小波域閾值估計(jì)的方法，對(duì)不同方法的特征進(jìn)行了比較；第四章基于噪聲方差估計(jì)的小波域閾值方法去除水下圖像噪聲研究根據(jù)水下圖像中噪聲的特點(diǎn)，將經(jīng)典小波域閾值估計(jì)方法擴(kuò)展應(yīng)用于有色噪聲，對(duì)小波分解后的每一層每一方向進(jìn)行閾值估計(jì)進(jìn)行去噪，并提出一種新的去噪方法，用兩種方法處理同一水下圖像，比較了實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并進(jìn)行了討論分析；第五章基于廣義交叉確認(rèn)( g c v ) 準(zhǔn)則的小波域閾值方法去除水下圖像噪聲研究簡(jiǎn)要介紹了冗余小波變換和雙正交冗余小波變換的基本原理，然后將這兩種變換和廣義交叉確認(rèn)( g c v ) 準(zhǔn)則相結(jié)合，用于水下圖像中噪聲的去除，比較了實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并進(jìn)行了討論分析；第六章總結(jié)和展望對(duì)本文的主要研究工作進(jìn)行了總結(jié)，分析了存在的不足，明確了進(jìn)一步工作的努力方向。6基于小波的水下圖像去噪研究第2 章小波變換基本理論2 1 小波變換2 1 1 連續(xù)小波變換如果函數(shù)矽( f ) 滿足容許性條件：c 礦。摯p 1 ，則妒o ) 被稱為基本小波( b a s i cw a v e l e t ) 或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) ，它一般是時(shí)域上以t 一0 為中心的帶通函數(shù)，在時(shí)域和頻域都具有局部化( 緊支撐) ，且均值為零，即：j = = 妒( o a t10( 2 。2 )事實(shí)上，任何均值為零( 即f o ) 班一o ) 且在頻率增加時(shí)以足夠快的速度減少到零( 空間局域化特征) 的帶通濾波器的沖激響應(yīng)( 傳遞函數(shù)) ，都可以作為一個(gè)基本小波。設(shè)廠p ) 是平方可積函數(shù)，記作廠( f ) 三2 僻) ，該函數(shù)的連續(xù)小波變換( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ，c w t ) 定義為：町) | ( 伽。一仁刪扣。 出( 2 - 3 )其中，上標(biāo)拳表示共軛，變量t ，a ，b 均為連續(xù)變量。妒。占) 是母小波妒o ) 經(jīng)伸縮和平移得到的，a 為尺度因子，6 為位移因子，即：妒。 ( f ) 下1 妒0 二魚) ，口 0 , b e r ( 2 4 )aa只要小波妒( f ) 滿足容許性條件( 2 1 ) ，則連續(xù)小波變換的逆變換存在，形式如下：川一扣。仁w f ( a 晰神) 警( 2 5 )也就是說(shuō)，這時(shí)可根據(jù)信號(hào)的小波系數(shù)精確地恢復(fù)原信號(hào)。7基于小波的水下圖像去噪研究連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)。1 ：( 1 ) 線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和：( 2 ) 平移不變性：若f ( t ) 的小波變換為町( 口，b ) ，則f ( t f ) 的小波變換為阿( a ，b f ) ；( 3 ) 伸縮共變性：若f ( t ) 的小波變換為町( 口，b ) ，則f ( c t ) 的小波變換為1 1 ：f ( c a ，c b ) ，c 0 ；( 4 ) 自相似性：對(duì)應(yīng)于不同尺度參數(shù)a 和不同位移參數(shù)b 的連續(xù)小波變換之間是自相似的；( 5 ) 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。2 1 2 離散小波變換在實(shí)際應(yīng)用中，計(jì)算小波變換要進(jìn)行數(shù)值積分，往往需要把連續(xù)小波及其變換離散化，減少小波變化的冗余度。要強(qiáng)調(diào)指出的是，離散化的不是時(shí)間t ，而是連續(xù)的尺度因子a 和連續(xù)的位移因子b 眥1 。一般情況下，在離散化中，總限制a 只取正值。在連續(xù)小波變換公式中，固定伸縮步長(zhǎng)a o 1 ，位移步長(zhǎng)b o 疊0 ，將尺度因子口和位移因子6 分別取離散值a - 口彳，b n b 。a o “，則連續(xù)小波變換成為離散小波變換，此時(shí)小波的核函數(shù)為：“( t ) - a o m 7 知鱷凈一a o m 7 劫c a o b o ) m , n z ( 2 - 6 )則函數(shù)f ( t ) 的離散小波變換( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，d w t ) 定義為：w f ( m , n ) = ( ，妒肼一) = 仁廠o ，7 鋤。( a f f m t 一萬(wàn)b o ) a t ( 2 - 7 )對(duì)連續(xù)小波變換離散化，勢(shì)必存在這樣的問(wèn)題：町沏，尼) 能否完全表征原信號(hào)，( f ) 的全部信息? 或者說(shuō)離散小波變換系數(shù)砑伽，月) 是否可以完全重構(gòu)原函數(shù)廠( f ) ? 通過(guò)研究數(shù)學(xué)上的“框架理論可以找到這些問(wèn)題的答案。8基于小波的水下圖像去嗓研究2 1 3 小波框架首先給出框架的一般定義吲：設(shè)日是一個(gè)h i l b c r t 空間，切，k 是h 中的一個(gè)函數(shù)序列，如果對(duì)于任意函數(shù)，日，存在0 彳 b o o ，使得下述不等式成立：a l i s l l 2s 孫伽刊1 2sbiiili2(2-8)則稱切， 魁為一個(gè)框架，其中彳，日分別為框架的上界和下界。如果式( 2 8 ) 中的等號(hào)成立，即4 一b ，于是有如下等式成立：善| i ( ，訓(xùn)2 一a i i r l 2 ( 2 - 9 )則稱該框架為一個(gè)緊框架( t i g h tf r an c ) 。如果施以更強(qiáng)的約束條件a b 一1 ，則切，k z 就構(gòu)成了一組正交基。如果對(duì)所有的緲，還有怕川= 1 ，那么切，t 就是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。在緊框架的情形下，可由下式完全重構(gòu)原函數(shù)：廠一彳一x s ，妒j ) 緲，( 2 1 0 )在非緊框架的情形下，可由下式完全重構(gòu)原函數(shù)：，一( ，9 ，) 秀( 2 - 1 1 )其中協(xié)jk 是切，k 的對(duì)偶框架。對(duì)偶框架的嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)推導(dǎo)是相當(dāng)復(fù)雜的，一般在4 與b 比較接近時(shí)，取協(xié)k 的一階近似形式：羈一鬲2 驢，從而重構(gòu)公式變?yōu)椋海?。南? ，妒加，( 2 - 1 2 )由于是一階近似，這樣的重構(gòu)顯然存在誤差。因此實(shí)際應(yīng)用中希望4 與口非常接近。只要將框架定義中的函數(shù)序列切j l 日替換為小波基函數(shù)移。一 ，就得到小波框架的定義，類似的還可以得出小波緊框架、正交小波基、標(biāo)準(zhǔn)正交小波基和對(duì)偶小波框架：同樣，在小波緊框架的情形下，可由類似式( 2 1 0 ) 的形式完全重構(gòu)原函數(shù)；在小波非緊框架的情形下，可由類似式( 2 1 1 ) 的形式完全重構(gòu)原函數(shù)，或者類似式f 2 1 2 ) 的形式得到原函數(shù)的逼近。9基于小波的水下圖像去噪研究2 1 4 正交小波2 1 3 節(jié)中提到當(dāng)4 一b 一1 時(shí)，移。一 就構(gòu)成了一組正交小波基，所以說(shuō)正交離散小波是小波框架的一個(gè)特例。一般只有在a 。一2 ，b o - 1 的情形下考慮正交小波基的構(gòu)造及應(yīng)用。此時(shí)，a 一2 ”，b 一萬(wàn)2 ”；，l ，n z ，則離散小波基表示式為：一專妒氣與= 2 - m 2 t p ( 2 - t - n )在正交小波中，尺度函數(shù)和小波函數(shù)滿足如下條件：( l j f - k ) ，o z ) ) 一6 n , k ，ze z( 2 1 4 )似0 - k ) ，妒o z ) ) 一6 u , k ，ze z( 2 1 5 )( ( f - k ) ，妒o - 1 ) ) 一6 n , k ，z ( 2 - 1 6 )則任一函數(shù)廠o ) 就可以描述為：廠g ) - ( ，妒肼一o ) 沖棚一p )( 2 - 1 7 )著名的離散正交小波基h a a r 基可表示如下：r 1osf o 5妒 ) 一 一1o 5st 0 ，使得魄r ，有：i ，( z ) 一廠( z 。) lsk x - - x 。l a( 3 7 )函數(shù)廠0 ) 在x 。點(diǎn)處的局部i j p s c h 沱指數(shù)口刻畫了該點(diǎn)處的奇異性( s i n g u l a r i t y )類型，就是：1 ) 口 1 ，表示廠在點(diǎn)處可微；2 ) 0 口s1 ，表示，x o 點(diǎn)處連續(xù)但不可微；3 ) 口一0 ，表示，o ) 在x 。點(diǎn)處不連續(xù)，但有界；4 ) 口 0 ，表示廠o ) 在點(diǎn)奇異，實(shí)際上是噪聲的特性。另外，如果對(duì)所有的石。，6 】都成立，則稱口為，在【口，6 】上的一致“p s c h i t z指數(shù)。( 3 ) 消失矩( v a n i s h i n gm o m e n t )對(duì)于小波函數(shù)妒( 功三2 俾) ，如果滿足基于小波的水下圖像去噪研究f x 7 妒o ) 出l i r a0 ，( 廠一。工r )( 3 - 8 )品則稱妒0 ) 具有尺階消失矩。一般來(lái)講，如果一個(gè)小波的消失矩為r ，則它對(duì)應(yīng)的濾波器長(zhǎng)度不能小于2 尺。從數(shù)值計(jì)算的角度看，消失矩的作用體現(xiàn)在壓縮矩陣上，高的消失矩可使矩陣變的更加稀疏。( 4 ) 緊支性( c o m p a c ts u p p o r t )若函數(shù)1 , 0 ) 在區(qū)間陋，6 】外恒為零，則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上緊支，稱【口，b 】為妒的支集， 口，6 】越小，支集越小，具有該性質(zhì)的小波稱為緊支小波。支集越小的小波，局部化能力越強(qiáng)，緊支小波不需作人為截?cái)?，?yīng)用精度較高。在信號(hào)的突變檢測(cè)中，緊支小波基是首要選擇。就緊支性來(lái)講，緊支撐區(qū)間越小，越有利于確定信號(hào)的突變點(diǎn)，不過(guò)又同時(shí)失去了好的正則性。( 5 ) 對(duì)稱性( s y m m e t r y )設(shè)妒( x ) e z 2 職) ，若妒( 口+ x ) 妒0 - x ) ，稱妒 ) 具有對(duì)稱性；若妒0 + z ) 一呻0 一x ) ，稱妒 ) 具有反對(duì)稱性。對(duì)稱和反對(duì)稱的尺度函數(shù)和小波函數(shù)是非常重要的，可以構(gòu)造緊支的小波基，使其具有線性相位，可以避免在信號(hào)的分解與重構(gòu)中失真。在對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換時(shí)，人們總希望所選小波基能同時(shí)具有下列性質(zhì)：( 1 ) 對(duì)稱性或反對(duì)稱性：( 2 ) 正交性；( 3 ) 較短的支撐；( 4 ) 較高的消失矩。，然而要想使一個(gè)小波基同時(shí)具有以上特性往往是不可能的。d a u b e c h i e si 。已證明，除h a a r 小波基外，不存在對(duì)稱的緊支正交小波基。小波基的應(yīng)用主要是挖掘其以很少的非零系數(shù)有效逼近特殊函數(shù)類的能力，選擇最優(yōu)小波基以產(chǎn)生最多的接近零的小波系數(shù)。如果信號(hào)，是i e n 的且小波函數(shù)妒o ) 有足夠的消失矩，那么小尺度上的大部分小波系數(shù)就很小。實(shí)際的信號(hào)不可能是完全正則的，通常存在少數(shù)奇異點(diǎn)，為了使高幅值的小波系數(shù)的數(shù)目最少，必須減小妒o ) 的支集長(zhǎng)度。因此在選擇具體的小波時(shí)，面臨著消失矩階數(shù)和支集長(zhǎng)度之間的權(quán)衡問(wèn)題?；谛〔ǖ乃聢D像去噪研究如果廠的孤立奇異點(diǎn)極少且廠在奇異點(diǎn)之間非常光滑，那么必須選擇有高階消失矩的小波以產(chǎn)生最多的接近零的小波系數(shù)。如果奇異點(diǎn)的密度較大，則應(yīng)該以降低消失矩階數(shù)為代價(jià)來(lái)減少支集長(zhǎng)度嘲。為了得到小波基的對(duì)稱性，就要放棄小波基的一些其它特性，如果保持小波基的緊支性，正交性就只能得到近似的對(duì)稱性。所以在使用中應(yīng)該根據(jù)具體的要求選擇合適的小波基。至于分解層數(shù)的選擇問(wèn)題，從理論上分析，可選取的最大分解尺度為廠一i l o g ，nl ，符號(hào)l i 代表向下取整運(yùn)算。但在實(shí)際中，一般取，為3 - 5 。事lj一實(shí)上，j 越大，在小波分解時(shí)，噪聲和信號(hào)不同特性表現(xiàn)得越明顯，越有利于信噪分離；但對(duì)小波重構(gòu)來(lái)講，分解層數(shù)越多，則失真越大，即重構(gòu)誤差越大。這也是一個(gè)矛盾，必須選擇適當(dāng)?shù)膉 ，兼顧二者。從這個(gè)角度來(lái)看，最大分解尺度j 應(yīng)該與信號(hào)噪聲能量之比s n r 有關(guān)。若s n r 較大，表明信號(hào)被噪聲污染的程度較小，此時(shí)j 取較小值即可把噪聲分離出去；若s n r 較小，表明信號(hào)被噪聲污染的程度比較大，那么這時(shí)j 只有取的大些才能抑制噪聲。實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)一般信號(hào)而言，若s n r 苫2 0 扭，則取j 一3 ；在其它情況下，取，一4 可以得到良好效果湖。3 2 2 閾值函數(shù)在閾值去噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)超過(guò)和低于閾值的小波系數(shù)的不l 司處理策略以及不同估計(jì)方法。閾值函數(shù)主要分為三種：( 1 ) 硬閾值函數(shù)；( 2 ) 軟閾值函數(shù)；( 3 ) 半軟閾值函數(shù)。設(shè)w 鼬為原始小波系數(shù)，以上為閾值化后的小波系數(shù)，t 是閾值，則：( 1 ) 硬閾值函數(shù)( 如圖3 - 2 ( a ) )咄- 弦矧h i j , k l 0za0( 3 1 1 )x 0基于小波的水下圖像去噪研究a g b r u c e 和g a o 在高斯噪聲條件下，分析了硬、軟閾值函數(shù)方法的偏差、方差及，風(fēng)險(xiǎn)公式，得出以下結(jié)論耵瑚瑚1 ：1 ) 給定閾值r 了，軟閾值函數(shù)方法總比硬閾值函數(shù)方法造成的方差?。? ) 當(dāng)系數(shù)充分大時(shí)，軟閾值函數(shù)總比硬閾值函數(shù)方法造成的偏差大：3 ) 當(dāng)系數(shù)真值在z 附近時(shí)，硬閾值函數(shù)方法的方差、三，風(fēng)險(xiǎn)及偏差都比較大，而軟閾值函數(shù)方法則在系數(shù)真值較大時(shí)才出現(xiàn)這種情況；兩種方法在系數(shù)真值較小時(shí)，厶風(fēng)險(xiǎn)都很小。雖然硬、軟閾值在實(shí)際中被廣泛應(yīng)用，但其本身也存在一些缺點(diǎn)。比如：在硬閾值函數(shù)方法中，閾值化后的小波系數(shù)影，。在r 處和一z 處不連續(xù)，但重構(gòu)后的圖像可能會(huì)出現(xiàn)振鈴，偽吉布斯( p s u c d o g i b b s ) 效應(yīng)等視覺(jué)失真；而在軟閾值函數(shù)方法中，當(dāng)i 力j l f 時(shí)，痧j 二與原始小波系數(shù)w j j 總存在恒定的偏差，直接影響重構(gòu)信號(hào)與真實(shí)信號(hào)的逼近程度，勢(shì)必會(huì)給重構(gòu)信號(hào)帶來(lái)不可避免的誤差；此外，軟閾值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，而在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常要對(duì)一階導(dǎo)數(shù)甚至是高階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行處理，所以具有一定的局限性。為了克服軟硬閡值的不足并保留它們的優(yōu)點(diǎn)，g a o c 如1 提出了半軟閾值函數(shù)( 如圖3 2 ( c ) ) ，其表達(dá)式如下：以，s 弘 批) 訾，瓴 f l 互) ( 3 - 1 2 )其中0 五 r可以看出它在噪聲( 小波系數(shù)) 與有用信號(hào)( 小波系數(shù)) 之間存在一個(gè)平滑過(guò)渡區(qū)，更符合自然圖像的連續(xù)特性?；谛〔ǖ乃聢D像去噪研究njw廠歲1圖3 - 2 0 ) 硬閾值函數(shù)j力。一疋一互互疋7夕jw。- rrzw圖3 - 2 ( b ) 軟閾值函數(shù)jw一t ，zw圖3 - 2 ( c ) 半軟閾值函數(shù)圖3 - 2 ( d ) 改進(jìn)的軟閾值函數(shù)圖3 - 2 闕值函數(shù)目前，關(guān)于閾值函數(shù)的研究不多，在小波圖像閾值去噪方法中最常用的是軟閾值函數(shù)。3 2 3 各種小波域閾值估計(jì)算法簡(jiǎn)要描述小波閾值去噪方法除了閾值函數(shù)的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是對(duì)閾值的具體估計(jì)。如果閾值太小，去噪后的信號(hào)仍然有噪聲的存在；相反，閾值太大，重要圖像特征又將被濾掉，引起偏差。從直觀上講，對(duì)于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閩值就應(yīng)該選取得越大。當(dāng)前應(yīng)用較多的有v i s u s h r i n k 等5 種閾值估計(jì)方法：( 1 ) v i s u s h r i n k 閾值( 統(tǒng)一閾值或u n i v e r s a lt h r e s h o l d i n g ) n 1 】最早的小波閾值去噪方法是d o n o h o 在1 9 9 4 年提出的v i s u s h r i n k 方法。它是針對(duì)多維獨(dú)立正態(tài)變量聯(lián)合分布，在維數(shù)趨向無(wú)窮時(shí)得出的結(jié)論，是基于最小最大估計(jì)得出的最優(yōu)閡值。閾值z(mì) 的選擇是：基于小波的水下圖像去噪研究t a 4 2 1 n ( n )( 3 - 1 4 )其中盯是噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差，是信號(hào)的長(zhǎng)度。而且d o n o h o 和j o h n s t o n e 在參考文獻(xiàn) 1 1 】中指出噪聲標(biāo)準(zhǔn)差o r 可以由下式估計(jì)得到，即：仃。m e d i a n ( d e t )( 3 1 5 )c r 一一i j 一上) ，0 6 7 4 5其中d e t 代表最精細(xì)層的小波系數(shù)，m e d i a n 代表中值。d o n o h o 證明了這種估計(jì)在信號(hào)屬于b e s o v 集時(shí)，在大量風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)下獲得了近似理想的去噪風(fēng)險(xiǎn)。而現(xiàn)實(shí)生活中的大部分信號(hào)、圖像都近似可由b e s o v 集建模。然而由于這種閾值與信號(hào)的長(zhǎng)度相關(guān)，當(dāng)較大時(shí)，閾值趨向于將所有的小波系數(shù)置零，這就往往產(chǎn)生“過(guò)扼殺 小波系數(shù)的現(xiàn)象。雖然這個(gè)方法有較好的理論支撐，但實(shí)際應(yīng)用效果并不理想。( 2 ) s u r e s h r i n k 閾值n 幻s u r e s h r i n k 閾值估計(jì)方法是在s u r e ( s t e i n su n b i a s e dr i s ke s t i m a t i o n ) 準(zhǔn)則池1 下得到的閾值，該準(zhǔn)則是均方差準(zhǔn)則的無(wú)偏估計(jì)，它是專門針對(duì)軟閾值函數(shù)得出的結(jié)論，且s u r e 閾值趨近于理想閾值。設(shè)原始信號(hào)( 或圖像) 的小波系數(shù)估計(jì)通過(guò)軟閾值函數(shù)萎縮得到，即：z f 一刀，0 i , ) 一( k s g n ) t ) i ( 1 v , l 苫f ) 0 1 6 )閾值的選擇可以通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)來(lái)定義：r o ，一專0 夕一廠0 2( 3 1 7 )由- t 小彼燹抉的正父性，風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)日j 以i 司樣征小汲域甲寫廄郊卜彤瓦：尺o ) 。?？粁 i l 2o - t 8 )首先，設(shè)z o ) 。萬(wàn)1 慨( 功一硎2則：e r ( t ) 。言e 慨) 一卅1 2- 專e k ) 一x 0 2 + 怯一硎2 + 2 ( ，7 。0 0 一z ，伍一功) 】_ e r ( t ) + 仃2 一n e ( v ，7 r ( y ) )( 3 - 1 9 )而當(dāng)v 服從高斯分布時(shí)，則有式( 3 2 0 ) 成立：e ( k ，r b 化) ) ；d r 2 c o y , i f )( 3 2 0 )其中p l f ) 服從二項(xiàng)分布，其概率可以用m f 出現(xiàn)的頻率近似。于是上式中的最后一項(xiàng)可以表示成：吾e 緲辦0 3 ) 一號(hào)羹e 似以) )。等羔啪臼。等薹翠一等薹， f 卅( 3 2 1 )由此可得到風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的表達(dá)式如下：e r ( t ) 羽( f ) - - 0 2 + 等薹，啦l 卸一百1 驊n 2 _ 0 2 + 等( 一冀， i 叫)- 專卻2 + 0 , 2 - - 等薹，( 1 誓l 叫( 3 2 2 )其中，是示性函數(shù)， 為兩數(shù)取小。于是，最佳的閾值選擇可以通過(guò)最小化風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)得到，即：t a r gr a i ne r ( t )( 3 - 2 3 )由于信號(hào)長(zhǎng)度( 或圖像尺寸) 是己知的，所以上式可以表示成：t - 缸鼉 薹( mt ) 2 + 肘砌2 薈，( 陬l 引汁( 3 - 2 4 )i o 彳爿7 = i為了減少計(jì)算搜索的范圍，在上式中最佳閾值的選擇可以縮小到一個(gè)有限范圍，即f 。，砭，k 】，得到s u r e 準(zhǔn)則下的次優(yōu)解。在實(shí)際應(yīng)用中，由于s u r e s h 矗n k 閾值去噪方法產(chǎn)生較低誤差，從而能獲得較為滿意的去噪效