摘要本論文應(yīng)用分層理論所提供的方法，研究了大氣科學(xué)中兩種非常重要的近似：b o u s s i n e s q 近似與赤道盧一平面近似類的方程組。通過(guò)分析這類方程組的拓?fù)鋵W(xué)性質(zhì)，來(lái)研究它們的穩(wěn)定性以及各種定解問(wèn)題的適定性。對(duì)于適定的定解問(wèn)題，在解析函數(shù)類空問(wèn)中給出了其準(zhǔn)確解的具體的求解方法；對(duì)于不適定的定解問(wèn)題，如果有解，也給出了構(gòu)造其形式解的方法。本文的主要結(jié)果如下：1 ) 證明了在y 方向上均勻的帶有運(yùn)動(dòng)粘性項(xiàng)以及熱耗散項(xiàng)的兩維非靜力、b o u s s i n e s q 近似的x z 面上兩維旋轉(zhuǎn)流體的控制方程組在c 2 函數(shù)類中是一個(gè)不穩(wěn)定的方程組。2 ) 如果以瑞利摩擦來(lái)代替粘性的影響，以牛頓冷卻來(lái)代替熱量的耗散，則所獲得的一個(gè)新的方程組在c 1 函數(shù)類中是一個(gè)穩(wěn)定的方程組，給出了其解空問(wèn)的構(gòu)造和各種定解問(wèn)題的適定性的判別方法。并分析了這種簡(jiǎn)化的合理性以及方程組的穩(wěn)定性發(fā)生變化的根本原因。最后對(duì)于其c a u c h y 問(wèn)題，我們給出了具體的計(jì)算實(shí)例。3 ) 5 x x t j 靜力平衡的條件下，一個(gè)無(wú)粘、絕熱的三維b o u s s f n e s q 近似的方程組。特別地，研究了它的c a u c h y 問(wèn)題并給出實(shí)例，以與非靜力平衡的情況進(jìn)行比較。4 ) 對(duì)于赤道一平面近似的淺水方程組和熱源強(qiáng)迫的熱帶環(huán)流方程組，重點(diǎn)研究了它們的解空間構(gòu)造，并給出了各種適定的定解問(wèn)題在解析函數(shù)類空間中準(zhǔn)確解的具體的求解方法，并編制程序去計(jì)算其級(jí)數(shù)解。關(guān)鍵詞：b o u s s i n e s q 近似；盧一平面近似：分層理論；定解問(wèn)題；c a u c h v問(wèn)題；穩(wěn)定性：適定性a b s t r a c tt h i sp a p e r , a p p l y i n gt h et h e o r yo fs t r a t i f i c a t i o n ，d e v o t e st ot w ok i n d so fa p p r o x i m a t ee q u a t i o n s ：t h eb o u s s i n e s qa p p r o x i m a t et y p ee q u a t i o n sa n dt h ee q u a t o r i a l一p l a n ea p p r o x i m a t et y p ee q u a t i o n s ，w h i c ha r ev e r yi m p o r t a n ti nt h ea t m o s p h e r i cs c i e n c ew es t u d yt h es t a b i l i t ya n dt h ew e l l p o s e d n e s so ft h ep r o b l e mf o rd e t e r m i n i n gs o l u t i o nb ya n a l y z i n gt h et o p o l o g i c a lp r o p e r t yo ft h e s ee q u a t i o n sw eg i v et h es o l u t i o na p p r o a c ho fe x a c ts o l u t i o ni 1 1d e t a i li nt h ec l a s so ft h ea n a l y t i cf u n c t i o n sf o rt h ew e l l p o s e dp r o b l e ma n dt h em e t t 【o d so fc o n s t r u c t i o no ft h ef o r m a ls o l u t i o n sf o rt h ei l 】一p o s e dp r o b l e m t h em a i nr e s u l t sc a nb es t a t e da sf o l l o w s ：1 i ti sp r o v e dt h a tt h et w o d i m e n s i o n a ln o n h 3 7 d r o s t a t i cb o u s s i n e s qe q u a t i o n so nt h ex zp l a n ew i t ht h ek i n e t i cv i s c o u st e r ma n dt h et h e r m a ld i s s i p a t i v et e r ma r eu n s t a b l ee q u a t i o n si nt h ec2f u n c t i o nc l a s s 2i fw er e p l a c et h ei n f l u e n c eo ft h ek i n e t i cv i s c o u st e r mb yr a y l e i g hf r i c t i o na n dt h et h e r m a ld i s s i p a t i v et e r mb yn e w t o nc o o l i n g ，t h en e wg e n e r a l i z e de q u a t i o n sa r es t a b l ee q u a t i o n si nt h ec 1 f u n c t i o nc l a s s t h ec o n s t r u c t i o no ft h es o l u t i o ns p a c ea n dt h ed i s c r i m i n a t i n gm e t h o df o rw e l l p o s e d n e s so ft h ep r o b l e mo fd e t e r m i n i n gs o l u t i o na r eg i v e nt h er e a s o n a b l e n e s so fs i m p l i f i c a t i o na n dt h ef u n d a m e n t a lr e a s o no ft h ec h a n g e so fs t a b i l i t ya r ea n a l y z e d t h ec a s e sa r eg i v e nf o rt h ec a u c h yp r o b l e m si nd e t a i l 3 t h et h r e e d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a t i o n sw i t hn o v i s c o s i t ya n da d i a b a t i cu n d e rt h eh y d r o s t a t i ce q u i l i b r i u ma r es t u d i e d ，e s p e c i a l l y , t h ec a u c h yp r o b l e m sa r ei n v e s t i g a t e da n dt h ec a s e sa r eg i v e ni no r d e rt oc o m p a r i s o nw i t ht h o s eu n d e rt h en o n h y d r o s t a t i ce q u i l i b r i u m 4 t h ec o n s t r u c t i o no f t h es o l u t i o ns p a c ef o rs h a l l o w - w a t e re q u a t i o n so nt h ee q u a t o r i a l 一p l a n ea n dt h ee q u a t i o n sa b o u tt h et r o p i c a lc i r c u l a t i o nt oh e a t i n ga r em a i n l ys t u d i e dt h es o l u t i o nm e t h o do fe x a c ts o l u t i o ni nt h ea n a l y t i cf u n c t i o nc l a s sa n dt h ec o m p u t a t i o n a lp r o c e d u r et ot h es e r i e ss o l u t i o na r ee x p r e s s e df o rt h ew e l l p o s e dp r o b l e m k e y w o r d s ：b o u s s i n e s qa p p r o x i m a t e ；8 一p l a n ea p p r o x i m a t e ；s t r a t i f i c a t i o nt h e o r y ；t h ep r o b l e mo fd e t e r m i n i n gs o l u t i o n ；c a u c h yp r o b l e m ；s t a b i l i t y ；p o s e d n e s s原創(chuàng)性聲明本人聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究丁作。除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果。參與同工作的其他同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均己在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。簽名：紐盞日本論文使用授權(quán)說(shuō)明期：蝕6 墮j 魚舊本人完全了解上海大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位淪文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留論文及送交論文復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容。( 保密的論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定)簽名：_ j 址導(dǎo)師簽名：邋日期：蝕盜! 魚m第一章引言1 1大氣運(yùn)動(dòng)方程組及其簡(jiǎn)化天氣和氣候的變化是和大氣運(yùn)動(dòng)緊密聯(lián)系在一起的，為了能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)出天氣的變化以及氣候的改變，有必要對(duì)反映大氣運(yùn)動(dòng)的基本方程組進(jìn)行理論上的定性分析與研究，并對(duì)它進(jìn)行數(shù)值模擬。大氣運(yùn)動(dòng)是在特定的環(huán)境中發(fā)生的，所以可以在事實(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)它做出一些假設(shè)! l 一9 。首先，在研究地球的宏觀運(yùn)動(dòng)時(shí)，可把大氣視為可壓縮的連續(xù)流體。表征大氣運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和熱力狀態(tài)的各種物理量，例如大氣運(yùn)動(dòng)的速度、氣壓、密度和溫度等，一般認(rèn)為是空間點(diǎn)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，并且經(jīng)常假設(shè)這些場(chǎng)變量的各階微商也是空間點(diǎn)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。因?yàn)榇髿馐强蓧嚎s流體，當(dāng)大氣受熱時(shí)，溫度場(chǎng)的變化會(huì)引起氣壓場(chǎng)的變化，從而也會(huì)導(dǎo)致大氣運(yùn)動(dòng)的變化，反之亦然；所以大氣的動(dòng)力學(xué)過(guò)程和熱力學(xué)過(guò)程是緊密聯(lián)系，相互影響，相互制約的。因而可以廣泛應(yīng)用流體力學(xué)和熱力學(xué)原理來(lái)研究大氣運(yùn)動(dòng)的具體規(guī)律。由于大氣是在地球上運(yùn)動(dòng)的，所以我們還應(yīng)注意到地球大氣本身的一些特性。大氣是重力場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)流體，地球大氣時(shí)時(shí)受到重力場(chǎng)作用，所以大氣的水平尺度以千公里計(jì)，而鉛直尺度僅為十公里，這決定了在大尺度大氣中，鉛直方向上的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于水平方向上的速度。通常我們還把大氣當(dāng)作層結(jié)流體，有時(shí)還必須考慮到大氣中含有水份以及大氣的下邊界是不均勻的等一些特點(diǎn)。根據(jù)這些基本假設(shè)以及地球大氣運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，從支配大氣運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和熱力學(xué)狀態(tài)變化的基本定律( 牛頓第二定律、質(zhì)量守恒定律、熱力學(xué)能量守恒定律、氣體實(shí)驗(yàn)定律等) 出發(fā)，我們就推出于空氣( 即不考慮降水等) 在局地直角坐標(biāo)系下的大氣運(yùn)動(dòng)基本方程組為：坐：一亙一土即一2 而。礦+ 戶，d t口罷+ 印曠扎( 1 1 )1 9 = 加丁，c ，魯一警等趣其中算子v ，旦分別表示為v = 怯弓，斟旦：a ，+ 礦v ：旦+ 。旦+ 。拿+ w 曇，( 1 2 )d ta to x卻瑟這里曠= 0 ，v ，w ) 為大氣流體的速度；季為重力，它是地心引力和慣性離心力的合力；p 為氣體壓強(qiáng)，一! 跏為氣壓梯度力；曼為地球自轉(zhuǎn)角速度，一2 而曠為科里奧利氏( c o r i o l i s ) 力，它是由于地球自轉(zhuǎn)以及空氣微團(tuán)與地球有相對(duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，因?yàn)樗怪庇跁纾瑢?duì)空氣微團(tuán)運(yùn)動(dòng)不作功，所以它只改變速度的方向，不改變速度的大小。戶為單位質(zhì)量空氣微團(tuán)所受的分子粘性力；p 為流體密度，r 為氣體常數(shù)，r 為溫度，c p 為定壓比熱；圣：輩為非絕熱加熱率，對(duì)于不考a t慮水汽的干空氣，它是己知函數(shù)。上述的控制方程組是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，所以在實(shí)際的應(yīng)用和理論分析上，我們常常根據(jù)尺度分析以及氣象觀測(cè)的資料，對(duì)這一方程組進(jìn)行各種各樣的簡(jiǎn)化，以了解某一特定的天氣現(xiàn)象。本論文主要考慮b o u s s i n e s q 近似與赤道一平面近似這兩種在大氣科學(xué)中比較典型的近似，下面我們分別介紹這兩種近似。1 2b o u s s i n e s q 近似b o u s s i n e s q 近似 1 0 ，1 1 實(shí)質(zhì)上是對(duì)大氣運(yùn)動(dòng)進(jìn)行熱力學(xué)簡(jiǎn)化，它是基于以下基本假設(shè)的基礎(chǔ)之上：1 在運(yùn)動(dòng)方程中部分考慮密度擾動(dòng)的影響，即只保留與重力相耦合的密度擾動(dòng)項(xiàng)；2 在連續(xù)性方程中忽略密度擾動(dòng)影響，當(dāng)作不可壓縮流體處理；3在狀態(tài)方程和熱力學(xué)方程中考慮密度變化的影響，但視密度變化僅為位、溫變化的結(jié)果，而不考慮壓力的作用，即取p = 一萬(wàn)等。上海大學(xué)博十論文如果在運(yùn)動(dòng)方程中的垂直運(yùn)動(dòng)方向一hb f i 去i d w 一項(xiàng)，則方程變?yōu)? 呈一g ：o ，我們稱它為靜力平衡近似；它表明在鉛直方向上氣壓梯度力與pt j p重力基本上相平衡，適用于大中尺度的大氣運(yùn)動(dòng)。如果在運(yùn)動(dòng)方程中的垂直運(yùn)動(dòng)方向上考慮掣一項(xiàng)，方程則為_ d w ：一土罷一g ，我們稱它為非靜力平衡近似cll。dtpd d。它一般適用于中、小尺度的強(qiáng)烈積云對(duì)流、龍卷風(fēng)等現(xiàn)象。在大氣科學(xué)中，b o u s s i n e s q 類近似的方程組主要用于研究鋒的生成與發(fā)展以及確定鋒面的位置 1 0 。大氣中的鋒是天氣學(xué)中最經(jīng)典的概念之一，所謂鋒是指大氣中強(qiáng)的水平溫度梯度、較大的靜力穩(wěn)定性和較大的氣旋性渦度的狹長(zhǎng)地帶。鋒面附近常有比較劇烈的天氣變化和氣壓系統(tǒng)的發(fā)生發(fā)展，了解和正確預(yù)報(bào)鋒的生、消活動(dòng)，就必須對(duì)b o u s s i n e s q 類近似的方程組本身的性質(zhì)有所了解。本文主要研究?jī)煞N非靜力b o u s s i n e s q 近似的方程組以及一種靜力b o u s s i n e s q 近似的方程組，通過(guò)對(duì)這類方程組的拓?fù)鋵W(xué)性質(zhì)的研究和分析，以了解這類方程組初或邊值問(wèn)題的適定性及其局部解的情況。非靜力b o u s s i n e s q 近似的x z 面上兩維旋轉(zhuǎn)流體的控制方程組為：加。a加_ a十“罷+ w 老= 一曇( 寺 + 聲+ k 囂窘+ 硝魯8 z缸a z舐l 見j 。缸22o x + w o a v z 一舡+ k 茜豢十k m v 百6 32 v o z ，0 x以嬲o wo wo wo to xo ze ea 9a eo t彘o z坐+ 坐：o 舐瑟等窘m 窘，。，其中p 。是常參考位溫，p ，是參考密度，f 是柯氏參數(shù)，0 為位溫對(duì)0 。的偏差足，k 乞分別為動(dòng)量在水平方向和垂直方向的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，k 等，k ：分別為熱量在水平方向和垂直方向熱耗散系數(shù)，“，v 分別為水平方向上的速度分量，w 為錨直方向上的速度分量。k，+臼一：占擴(kuò)一如g 一吃。hk、lj+岳塑釅a 一瑟hhk蘭塑莖蘭塑圭墮壅如果以瑞利摩擦來(lái)代替粘性的影響，以牛頓冷卻代替熱量的耗散，在這利吖段發(fā)下，所討論的與程將具有以下形式：g。u+“石gtdi+w；=一瓦0(石potj + 聲+ 膏。“，舐出舐ld “l(fā) 空+“豢十w罷：一扣+即，ota r”。百01w+“面ow+w塑=一言(壽)+蠆98z占+ 丘w百棚面+ ”一瓦l 素+ 萬(wàn)女，w等柵罷+ w 罷：k z o ,瓦州。面+ w 瓦2熹+ 霧觀( 1 4 )其中臼s 是常參考位溫，p ，是參考密度，廠是柯氏參數(shù)，口為位溫對(duì)口，的偏差，和尼。分別為瑞利摩擦系數(shù)和牛頓冷卻系數(shù)，其余符號(hào)為氣象上的常艦含義。最后，我們考慮在無(wú)粘、絕熱的條件下，一個(gè)三維靜力、b o u s s i n e s q 近似的方程組為：詈+ “賽+ v 考+ w 警+ 罷一聲= 。，喜+ “罷+ v 多+ w 筆+ 考+ 辦= 。，等+ “警+ v 號(hào)+ w 瓦0 0 = 。，s ，瓦a 一百g 口= 。，3 u 加o w一 “a xa va z0其中廠是柯氏參數(shù)，o o 是參考位溫，臼為位溫對(duì)哦的偏差，為地轉(zhuǎn)位勢(shì)，其余符號(hào)為氣象上的常規(guī)含義。1 3 赤道p 一平面近似當(dāng)把地轉(zhuǎn)參數(shù)廠= 2 qs i n 妒在緯度吼處泰勒展開時(shí)，則有f = + 緲+ 高次項(xiàng)4( 1 6 )海大學(xué)博士論義這單已設(shè)在妒= 處廠0 三2 q s i n 妒o ，盧* = 壘竽( 1 7 )如果我們?nèi)∫患?jí)近似就有f = t o4 - 緲，我們稱它為一平面近似 2 ，3 。如果在低緯度赤道地區(qū)，這時(shí)f o = 0 ，則有f = 勵(lì)，就稱它為赤道一平面近似，這一近似常用于低緯大氣動(dòng)力學(xué)研究。一般將赤道南北3 0 7 s 一3 0 。n 之間的地區(qū)稱為赤道區(qū)或熱帶區(qū)，相當(dāng)于南北半球兩個(gè)副熱帶高壓所在的緯度之間的地區(qū)。這個(gè)地區(qū)有兩個(gè)地球物理特征：( a ) 在赤道區(qū)的柯氏力很小，在赤道上為零；( b ) 整個(gè)熱帶地區(qū)的3 4 是遼闊的海洋，水汽的供應(yīng)非常充足。這兩個(gè)特征對(duì)大氣和海洋的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。第1 個(gè)特征使得大尺度運(yùn)動(dòng)的地轉(zhuǎn)關(guān)系不能成立，赤道地區(qū)的波動(dòng)和中高緯度地區(qū)的波動(dòng)不同，它包括k e l v i n 波、r o s s b y 波以及混合波等。第2 個(gè)特征有兩個(gè)方面的作用，一是積云對(duì)流旺盛，非絕熱作用非常重要；二是熱帶海洋對(duì)全球氣候的重要影響，如e n s o 和南方濤動(dòng)現(xiàn)象等。在熱帶大氣中經(jīng)常有強(qiáng)大的積云對(duì)流和海溫異常，它們形成熱帶大氣中的熱源，對(duì)于熱帶大氣和海洋的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生廣泛而深遠(yuǎn)的影響?，F(xiàn)在我們主要用赤道盧一平面的淺水模式來(lái)研究這類熱力強(qiáng)迫的熱帶環(huán)流問(wèn)題。在淺水模式中，取廠= 緲，可得赤道一平面的淺水模式為塑+ 。絲+ 。塑一跏。：一型，+ “十v 一p y v = 一，e t酞一a x卻a v西。a 融8 x兩一鞏j型+ 。型+ 。型+ f 絲+ 生1 ：o西舐匆7l 舐砂( 1 8 )從赤道盧一平面的淺水模式出發(fā)，在動(dòng)量方程中引進(jìn)摩擦作用，在連續(xù)方程中引進(jìn)加熱作用，并以b ，少)j 易將方程無(wú)量綱化可得f = f q 2 p c絲+ u 絲一三v 。：一生一剁，a f缸2 。蘇。旦! + u ! ! + 土v “：一望一刪西覷2 。卻望十u 望+ 塑+ 堡q 印西舐舭卻( i 9 )( 1 1 0 )其中s 是和摩擦及冷卻有關(guān)的無(wú)因次時(shí)間尺度倒數(shù)，u 為基本平流項(xiàng)，其余符號(hào)為氣象上的常規(guī)含義。第三式中的加熱率q 前面的負(fù)號(hào)表示這個(gè)方程描寫低空運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)q 0 則有低空輻合，氣壓下降。不同作者利用這一簡(jiǎn)單的方程組，討論了風(fēng)場(chǎng)和氣壓場(chǎng)對(duì)熱力強(qiáng)迫的響應(yīng)問(wèn)題。1 4 研究近況在對(duì)大氣運(yùn)動(dòng)方程組的研究中，通過(guò)不同角度的近似和簡(jiǎn)化，已經(jīng)得到了反映不同特征的、類型各異的一系列近似方程組。在對(duì)各類近似大氣運(yùn)動(dòng)方程組的研究中，目前仍以數(shù)值模擬和數(shù)值計(jì)算為主要的方法，以了解某一特定的大氣現(xiàn)象，例如能量守恒型差分格式和反擴(kuò)散差分格式，c u l l e nmjp 等 1 2 1 4 運(yùn)用這一格式對(duì)b o u s s i n e s q 類方程組進(jìn)行了研究以確定鋒的生、消和鋒面的位置；國(guó)內(nèi)伍榮生、季仲貞、王斌、談?wù)苊舻萬(wàn) 1 5 - 2 3 1 做了一系列的工作，并取得了一定的成果。由于大氣運(yùn)動(dòng)方程組的復(fù)雜性，對(duì)于大氣運(yùn)動(dòng)方程組定解問(wèn)題的適定性研究這方面的工作仍然較少。在國(guó)內(nèi)，顧震潮 2 4 于1 9 5 8 年最早對(duì)大氣運(yùn)動(dòng)方程組的初值問(wèn)題作了適定性研究；隨后，曾慶存 1 于1 9 7 9 年使用s o b o l e v 空間的特性對(duì)一些類型的大氣運(yùn)動(dòng)方程組的初值問(wèn)題的適定性作了研究。在上世紀(jì)八十年代，穆穆【2 5 考察了r i e m a n n 流形上廣義渦度方程的初邊值問(wèn)題，證明了斜壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)準(zhǔn)無(wú)幅散模式初邊值問(wèn)題整體光滑解的存在唯一性。在上世紀(jì)九十年代，李建平、丑紀(jì)范等 2 6 2 8 運(yùn)用無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的理論和方法對(duì)大氣動(dòng)力學(xué)方程組大時(shí)間形態(tài)解的全局漸近行為上作了一系列的研究：郭柏靈、袁光偉 2 9 運(yùn)用譜上海大學(xué)博士論文方法、非線性g a l e r k i n 方法和拋物型奇異積分算子，研究了用渦度表示的b o u s s i n e s q 方程的兩維周期初值問(wèn)題和具有數(shù)據(jù)的b o u s s i n e s q 方程的初邊值問(wèn)題，并得到了兩類特殊的b o u s s i n e s q 方程( 在上2 n c 。空間和4 空問(wèn)匕) 存在弱解的條件。在國(guó)外，卜世紀(jì)八十年代，agg i l l 等 3 0 - 3 4 運(yùn)用拋物柱函數(shù)( 即w e b e r 函數(shù)1 的形式研究了熱源強(qiáng)迫的熱帶環(huán)流問(wèn)題的適定性以及特定問(wèn)題的解析解計(jì)算，巢季平f 3 5 ，3 6 又進(jìn)一步發(fā)展了這以方法并用于研究e i n i n o 現(xiàn)象一 二世紀(jì)九十年代，rt e m a m 和j t r i b b i a 等f(wàn) 3 7 0 9 運(yùn)用正交模方法研究了在b o u s s i n e s q 類近似的方程組的自由邊界問(wèn)題的適定性。，從上世紀(jì)七十年代開始，人們就試圖借助e h r e s m a n n 空間的基本理論，把偏微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題( 代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)? ，從所給的微分方程出發(fā)，構(gòu)造兩個(gè)流形序列，然后對(duì)這兩個(gè)流形序列構(gòu)成的纖維叢進(jìn)行分層，結(jié)論是：如果橫截層非空，那么所論方程是穩(wěn)定的。當(dāng)初始條件所對(duì)應(yīng)的末方程落入橫截層時(shí)，可以將相應(yīng)的唯一穩(wěn)定解用收斂級(jí)數(shù)的形式表示出來(lái)。而當(dāng)橫截層為空集時(shí)，則所給方程不存在任何( 不低于方程的階數(shù)) 穩(wěn)定解。在上世紀(jì)八十年代，應(yīng)用分層理論研究了流體力學(xué)中著名的n a v i e r - s t o k e s 方程和e u l e r 方程，并提出“方程的穩(wěn)定性”的概念，這些結(jié)果均發(fā)表在專著 4 0 中。在上世紀(jì)九十年代應(yīng)用分層理論對(duì)n a v i e r s t o k e s 方程以及各種n a v i e r - s t o k e s 方程的變形形式進(jìn)行了更進(jìn)一步的研究，并取得了一系列的研究成果 4 1 5 2 】。在本世紀(jì)初，分層理論又進(jìn)一步發(fā)展到對(duì)大氣運(yùn)動(dòng)基本方程組進(jìn)行定性分析，并能對(duì)適定的問(wèn)題進(jìn)行局部解析解的計(jì)算 5 3 6 7 1 。1 5 本文主要工作本論文的選題主要來(lái)源于國(guó)家十五重大研究計(jì)劃一全球變化及其區(qū)域響應(yīng)的課題動(dòng)力學(xué)模型中的非線性偏微分方程性質(zhì)( 9 0 4 1 1 0 0 6 ) 和上海市科委重點(diǎn)項(xiàng)目中小尺度天氣預(yù)報(bào)模式的理論和數(shù)值研究( 0 2 d j l 4 0 3 2 ) ，并已經(jīng)取得了部分成果，這些結(jié)果發(fā)表和即將發(fā)表在文獻(xiàn) 6 2 6 7 中。本論文把分層理論應(yīng)用到大氣科學(xué)中的基本運(yùn)動(dòng)方程組的定性分析與研究上，研究了在現(xiàn)實(shí)生活和科技中迫切需要研究的課題，同時(shí)取得了一定的成果。首先，從數(shù)學(xué)角度考慮了大氣運(yùn)動(dòng)方程組各種簡(jiǎn)化的合理性，并以帶有粘性的二維非靜力b o u s s i n e s q 近似的方程組為例，證明了如果以r a y e j g h 摩擦來(lái)代替粘性的影響、以n e w t o n 冷卻代替熱量的耗散，方程組的穩(wěn)定性以及方程組在某一超曲面上定解問(wèn)題的適定性均發(fā)生變化，并分析了發(fā)生變化的原因。其次，還發(fā)現(xiàn)在b o u s s i n e s q 類近似的方程組中，靜力平衡和非靜力平衡對(duì)c a u c h y 問(wèn)題適定性的影響，并通過(guò)具體的解析解計(jì)算實(shí)例進(jìn)行了闡述。最后，對(duì)于赤道口一平面近似類的方程組，我們編制了具體的計(jì)算程序去計(jì)算它的適定的定解問(wèn)題。本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第二章，介紹分層理論的基本概念，并且以赤道一平面的無(wú)量綱線性淺水方程組為例展示了分層理論在大氣運(yùn)動(dòng)基本方程組理論分析中的應(yīng)用以及具體的分析和計(jì)算過(guò)程。第三章，分別考慮了帶有粘性的二維非靜力b o u s s i n e s q 近似的方程組，用r a y l e i g h 摩擦來(lái)代替粘性的影向、以n e w t o n 冷卻代替熱量的耗散的情況下，方程組的穩(wěn)定性以及方程組在某超曲面上定解問(wèn)題的適定性均可能發(fā)生變化，并分析了發(fā)生變化的原因。第四章，研究了在無(wú)粘、絕熱的條件下，三維靜力平衡的b o u s s i n e s q 近似的方程組各類初邊值問(wèn)題的適定性，并和第三章中非靜力平衡的情況進(jìn)行比較。第五章，簡(jiǎn)單地列出用赤道盧一平面近似的淺水方程以及帶有熱源和耗散的情況下，方程組各類定解問(wèn)題的適定性及其判別方法，這也是首次用分層理論對(duì)熱帶大氣的運(yùn)動(dòng)方程組的各類定解問(wèn)題進(jìn)行適定性分析。最后，我們?cè)诟戒浿袑?duì)適定的定解問(wèn)題給出具體的計(jì)算程序。：! 塑查蘭堡1 笙蘭第二章分層理論與偏微分方程2 1e h r e s m a n n 空間定義2 l 1發(fā)x r ”是掣中的一個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)廠：r ”。r ”1 是在點(diǎn)x 處女次化0 1連續(xù)可微函數(shù)，即廠c ，汜c ：，。( r ”，r ) = ( 廠，x ) i 廠( x ) = u ，x 只”，u r ，c ，( 2 1 )對(duì)于( 廠，x ) ，( g ，x ) e 。( rn ，r ) ，在。，f ) 上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系定義如下：若廠“( x ) 2g ( o ( x ) ，( 0 i 莖k ) ，則稱廠g ，容易驗(yàn)證它是c ：。( j r “，r ) 的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。定義2 1 2用t ，i 。( 尺”，r “) 表示商集c ：。( rnr “) ，稱為在點(diǎn)x 處的階無(wú)窮小j e t 空間，其中u = 廠( x ) r ，它的元素，即一個(gè)等價(jià)類眇，x ) ，稱為，在點(diǎn)x 處的七階無(wú)窮小j e t ，記為z 廠或( x ) 。點(diǎn)x s 屆“稱為z 廠的源，= 廠( x ) r “稱為z 廠的終結(jié)，j ( 只”，r “) = u ，：，。( r “，r “)( 2 2 )i x ，u k r ”月稱為r ”到r “的k 階e h r e s m a n n 空間；特別地，對(duì)于= 0 時(shí)有，。( r ”，r m ) ：r w r m ，并約定j “( r ”，r “) = r ”。例2 1設(shè)廠= x ，g = x2 + x ，h = x e ，則對(duì)任意正整數(shù)k ，都有( ，j ) ，( 占，j ) ，( ，x ) c i 。( 月，尺) ，因?yàn)閺S( o ) = g ( o ) = ( o ) ，廠( o ) = g ( o ) = ( o ) ，所以在c j 。( r ，五) 中廠g h 。但廣( o ) g ”( o ) = ”( 0 ) ，故在c o , 。( r ，尺) 中，g 一 但，不等價(jià)于g 和 。而在c i 。忸，r x k 3 ) 中，廠，g ， 則互不等價(jià)?，F(xiàn)在我們引入e h r e s m a n n 空間局部坐標(biāo)的概念，記x = ( 。一，x 。) r ”，u = ( u 1 ，“。) r ，( 2 3 )并引進(jìn)名首指茄i ii 一海大學(xué)博一i 論文，= ( 1 ，n ) ， = ( 五，五。) ，l 丑l = z i + 五兄。o ；( 2 4 )、j 二j 一= ( l 廠，) ：r “- - 尺，f c “；記“，( x ) = ，( x ) ，一p j 。( x ) = j ；( x ) ，z = ，z ，”，l 旯i t ；( 。s )對(duì)每。個(gè)f ( 1 i m ) ，將p ：。隨1 按字典排列法升序排列，然后對(duì)于每一個(gè)g ，x 。，“一，“。，p 1 ，一，p ? ，p ，i ：，p ：) r 心，l = ”+ c 二女，( 2 6 )決定了j ( r ”，r “) 中的一個(gè)元素( 等價(jià)類) ( 廠，x ) 】，也即得到了r 機(jī)與，( r ”，r ”) 之間的局部微分同胚關(guān)系。于是將仁l ，一，吒，“一，“。，p ，一，籪，p - ，p 善) 稱作為 ( 廠，x ) e ，。陋”，r ) 的局部坐標(biāo)，其中i ，伍“，r ) 是一個(gè)維數(shù)為。的流形。現(xiàn)在我們考慮把偏微分方程組作為e h r e s m a n n 空間的子集，設(shè)d觚，霄g q 9 1 ，等，觚，z 一， 篝) _ o ，( 2 ，)沈，“= 2 ，蕊，埠) ：o。舐：。為一個(gè)女階偏微分方程組，這里x = ( 。l ，。) r ”為自變量：u = ( “】，一，“。) r 為未知函數(shù)。很顯然，上述方程組是e h r e s m a n n 空間i ，陋”，尺“1 的一個(gè)子集，這個(gè)子集由對(duì)應(yīng)，：l ，c r ”，r7 ”) 呻0 ，i = l ，2 ，g ；( 2 8 )的零點(diǎn)，。1 ( 0 ) ( 1 i g )礦( ，) = _ 。1 ( o ) = 忉l 廠) = o e ，k ”，r l廠= ，l ) ：，( 月n ，r ”) 一r 。，d = v ( ) = 礦( 工) n y ( 厶) n n 礦l( 29 )來(lái)表示。在方程組( 27 ) 中，每一個(gè)方程；( 盧) = 0 都是。維空間，( j r ”，r ) 中的一個(gè)超曲面，整個(gè)方程組就是這些超曲面的交集?？梢园阉涀鱠 = h i m , m = o ，l ( 7 ) = 0 ，l o ( z t ) = o ，( r ”，r ) ，( 2 i 0 )也就是晚，一個(gè)女階偏微分方程組就是。維空間j - ( r ”，r ) 中的一個(gè)子集。例2 2在低緯度熱帶大氣動(dòng)力學(xué)中，赤道口一平而淺水方程組被廣泛地用于研究熱帶大氣大尺度運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象，例如：厄爾尼諾和南方濤動(dòng)，大尺度的熱帶環(huán)流以及赤道波的非線性相互作用等。在這一章，我們將通過(guò)對(duì)赤道口一平面無(wú)量綱線性淺水方程組具體而詳絀地討論，并給出整個(gè)求解過(guò)程，來(lái)描述運(yùn)用分層理論去求解偏微分方程的具體方法和步驟。這個(gè)方程組的無(wú)量綱形式為：da “a 西一v v + 23 t。a xa va 擊+ v “+ 西。卻a d0 “西2 _ 一+ 8 t融跏( 2 1 1 )其中0 ，v ) 是x ，y 方向無(wú)量綱的速度分量，是無(wú)量綱的重力位勢(shì)。現(xiàn)在記( 五y ，t ) = b ! ，屯) r3v ，( “，v ，妒) = 0 ，“：，“，) r3 = z ，( 2 1 2 )并將方程組( 2 11 ) 看作e h r e s m a n n 空問(wèn)d 1 ( 礦，z ) 的一個(gè)子集，使用e h r e s m a n n 空問(wèn)l ，1 ( ，z ) 的局部坐標(biāo)，將方程組( 2 1 1 ) 改寫成：d ：p ：+ p 卜x 2 = 0a ：p ；+ p ；+ ! z f 】= 0a ：p + p ；+ p ；：0 ，將( 2 1 3 ) 的左側(cè)分別記為i ，j ， ，a ，對(duì)應(yīng)工：i ，1 ( 礦，z ) 斗r 分別定義為；( 盧) = p ；+ p 一五：“：，( 2 1 3 ) ( 盧) = p ；+ p i + x ：眠，工) = p ? + p ；+ p ；( 2 1 4 )其中盧= b 。，x ! ，z ，“，“：，“，p l ，p ；) i ，1 ( y ，z l1 2 1 5 )則有d = 廠。( o ) = 礦u ， ， l廠= ( ，廠2 ，a ) ：j 1 ( y ，z ) 斗r3 ( 2 1 6 )現(xiàn)在考慮不同階數(shù)e h r e s m a n n 空間之問(wèn)構(gòu)建起來(lái)的各種對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于e h r e s m a n n空間，其主要的對(duì)應(yīng)關(guān)系分別為典則對(duì)應(yīng)，g h r e s m a n n 對(duì)應(yīng)以及e h r e s m a n n 對(duì)應(yīng)的逆對(duì)應(yīng)，下面我們分別具體地給出它們的各種對(duì)應(yīng)形式。定義2 1 3對(duì)應(yīng)髓：j ( r “，r “) 斗r “俾“，r “) ( k 一1 ) 稱為從廠( 掣，r ”) 空間到j(luò) “( 足”，r ) 空間的典則投影或典則對(duì)應(yīng)，如果= ( x ，u ，。p ，p ：) j k ( r ”，r ) ，a ：一( 盧) = ( x ，u ，p 羔) j k ( 凡”，r ) ，( 2 1 7 )其中= 女1 ，h = k 。在典則對(duì)應(yīng)下，( j ( r ”，r ”) ，j ”，r ) ，a ：) 構(gòu)成一個(gè)局部平凡的纖維叢空問(wèn)。其秩為n k = ”+ m c ：j ( 尺“，r “) 為叢空間，i ，“( 尺”，月) 為底空間，“：為叢投影。并由定義可知“：一。( ，( r “，r ) ) = j 一( r ”，r ) ，k o ；a ：( ，。( 尺”，r ) ) = ，o ( r ”，尺) = r ”r ，足o ；1 ，出：( ，。( r ”，r ) ) = j “( r ”，r ) = r ”，k 1 ( 2 1 8 )有了典則對(duì)應(yīng)的定義之后，下面我們分別給出e h r e s m a n n 對(duì)應(yīng)p 和e h r e s m a n n 對(duì)應(yīng)的逆對(duì)應(yīng)e 。的定義。定義2 ，1 4e h r e s m a n n 對(duì)應(yīng)p 的定義如下：p ：n 1 ( 且”，r ) ，1 ( 且”，( ?！保隆? ) ) ，( 2 1 9 )設(shè)_ 。j “1 ( 尺“，r “) ，記口，( 叩。) = x 。r ”，對(duì)于_ 。的一個(gè)代表( 廠，x 。) ：“f ( x 。) = 叩。，定3 7 1 1 。在對(duì)應(yīng)p 之下的像為g ( v 。) = 1 夕( x 。) ，這里夕= l k 廠：r ”斗。俾”，r “) 是連帶于廠的k 階典則截口，即7 。d ：= d m _ ，口：。夕= d ( 2 2 0 )定義2 1 5e h r e s m a n n 對(duì)應(yīng)的逆對(duì)應(yīng)e 。1 的定義如下：設(shè)d = 礦( z ，z ) j ( r ”，r “) ，其中f = ( z ，石) ：j ( 月“，r ”1 ) 寸r 。，以e ，( ，) 表示復(fù)合對(duì)應(yīng)p ：。l ，。g ：，t + z ( r 一，r m ) 斗e ，( r 一，j t ( r ”，r m ) ) 鴛j ，( 月一，r ) p z r ，r( 2 2 1 )的第j 個(gè)分量。則e - 1 ( ，i ( r ”，d ) ) = y ( e ，e ，( e ) ) j 川( r ”，r ”) ，( f = 1 f ，= 1 n ) ( 2 2 2 )現(xiàn)在我們就有了e h r e s m a n n 空間的概念以及在這個(gè)空間上所建立起來(lái)的各種對(duì)應(yīng)關(guān)系，并能把偏微分方程或方程組轉(zhuǎn)化成e h r e s m a n n 空間中的一個(gè)子集，下面我們將在e h r e s m a n n 空間中具體地討論偏微分方程的各種拓?fù)鋵W(xué)性質(zhì)以及相應(yīng)的解空間構(gòu)造。2 2 準(zhǔn)本方程與本方程定義2 2 1將拓?fù)淇臻g( 或微分流形) 以及連續(xù)對(duì)應(yīng)( 或同態(tài)) 組成的序列只稱為一個(gè)鏈：x ：x 嶼x h 塢x t 一2 寸- j n 五號(hào)一，( 2 ，2 3 )一! 堡查蘭墮：! 笙蘭一為了表達(dá)匕的簡(jiǎn)便，有時(shí)也把鏈記成z + = u x ，。如果對(duì)任意i 都有一lk z 女，g i = 兀l ，f 2 2 4 )則糊it ：k 馬k j _ 苧q k 一： 斗y o 馬y - ，( 22 5 )為x + 的一個(gè)子鏈。如果在鏈z + 中對(duì)任意豇都有 ( 。) = x k1 成立，則稱- 是飽和的。x +的最大飽和子鏈稱為凰的飽和，記為s ( x + ) ，或者( x 。) 4 。電就是說(shuō)，工+ 中的任意個(gè)飽和予鏈，必定也是s ( x + ) 的子鏈。定義2 2 2設(shè)一個(gè)t 。階偏微分方程組de ，k ( r “，r “) ，以此出發(fā)，記上t ( d ) = 口 ( d ) ，k k o ；k ( d ) e - 1 ( 八月”，三t ( d ) ) ) ，k ；( 2 2 6 )并記由此得到的一系列空間的子集為d ：f l 。( 口? 。( d ) ) ，( r “，r “) ，一1 ；2 2 7 一l 蟲s h這樣就得到+ ( 月”，r ”) 的一個(gè)子鏈：d ：d i 瑪d ：一， d ：瑪d ：，( 2 2 s )這個(gè)子鏈就稱為d 的準(zhǔn)本方程，其中的每一個(gè)d ：則稱為d 的尼階準(zhǔn)本方程。定義2 2 3設(shè)d ，t 俾一，r ) 是一個(gè)七階偏微分方程組，d ：是它的準(zhǔn)本方程，稱d ：的飽和( 即最大飽和子集) d + ：d + ：d 島斗d h d o 瑪d 1 1 ，( 2 2 9 )為d 的本方程，如果它滿足：i 口：，( d 。) = d 。，k o ；i l 任何滿足口盆；洶+ ) ：或一，忙o ) 的d ：的子鏈西+ ，必有西+ d 。因?yàn)閐 ：的飽和一般記為( d ：) * ，所以這里d 。= ( d ：) 8 。在d ，中，每一個(gè)d * 稱為d 的t 階上?；饘W(xué)博 1 論文本方程。顯然成立以下包含關(guān)系d + d 。l ，。( r “，r ) ，d 女d ：j ( r ”，r )( 2 3 0 )定義2 2 4設(shè)d ，如( r ”，r ) ，由d 出發(fā)，求得d 的準(zhǔn)本方程d ：，在d ：中取定d ：。，并從它出發(fā)，求出它的準(zhǔn)本方程( d ：洲) ：。如果存在非負(fù)整數(shù)，使得j ( d ：“) + 2 ( d ：( 2 3 1 )l 【d ”。) 。( 鞏+ 。) ：( 三)則稱d 是l 一簡(jiǎn)單的。特別地，當(dāng)工= 0 時(shí)，即d = d ：時(shí)，稱d 是簡(jiǎn)單的。對(duì)于一個(gè)偏微分方程組d j 。陋“，r ”) ，它的l 一簡(jiǎn)單性質(zhì)與方程組的穩(wěn)定性有著緊密的聯(lián)系。例3 考慮赤道口一平面無(wú)量綱的線性淺水方程組d 的本方程和準(zhǔn)本方程，它的本方程d + 與它的準(zhǔn)本方程d ：重合，即d + = ( d ：y = d ：。證明：根據(jù)準(zhǔn)本方程j p ：的定義，我們首先計(jì)算方程組( d ) 的準(zhǔn)本方程。首先易得i m a ：。( d ) = a ! ，仁：( d ) ) = j - i 妒，z ) = y ，i m 口：( d ) = j o ( 礦，z ) = v z ，i m a ：( d ) = _ d ；( 2 - 3 2 )因此，對(duì)于f - 一1 , 0 ，1 ，2 ，上，( i m 口! ( d ) ) = l ，( i m a j ( d ) ) = j7 ( y ，z ) ，則可推得當(dāng)一1 l 時(shí)，d ：，= v ，d 涪- ，。( 礦，z ) = v zd i = v i l ?？? ( d ) ) = d ，當(dāng)k 2 時(shí)，d ，= n 三：陋口? p ) ) = 礦( 。( ) ，兀)一i ! f s ld 。= n 上。( t m 口j ( d ) ) = v ( e 。，。( 廠，)1 5 ，- 斗e h 1 )山p 。女+ 山p ?！吧絧 。，( 2 5 5 )岷“( d ) 斗“t ( d ) 斗一呢 。( d )是d 的典則系統(tǒng)，對(duì)纖維空間p 。，。：e 。( d ) j “。( d ) 分層如下岷。( d ) = u s a + ( d )( 2 5 6 )目。記e o ( d ) = p ：，t ( s o ，t ( d ) ) ；p ：卅= p o - i , * l 。j 。( d ) ，則e 一，t ( d ) = u e l m ( d ) 。而且對(duì)每一個(gè)q ，p h 。：e 。q 。( d ) 寸s i 。( d ) 都是局部平凡的纖維空間，其維數(shù)為g 。將p ，。= u p 0 ”：e 。，。( d ) = u e , i _ m ( d ) 斗u s ：。，+ ( d ) = 。( d )( 2 5 7 )口口稱為d 的( h l ，女) 階典則分層。瓦。( d ) = 形。( 礦，z ) 一峨。( d ) 稱為d 的( 月一1 ，七) 階陷阱。定義2 4 3設(shè)d 呈jk o ( 礦，z ) ， - 一e 。t - i , t oi ( d ) 是e 一，( 礦，z ) 中使p 。的纖維f 橫截于空間g ：一，( t d k ，) ，一( 。) d h 的子集s ：?！耙? d ) = p ，。，( e ：。( d ) ) “h z ( d )( 2 5 8 )斗斗州ppp艮山! ：塑奎蘭塑：! 堡蘭一一一為d 的( n l ，女。一1 ) 階橫截層。定義2 4 4設(shè)d 至，* n ( y ，z ) 是一個(gè)。階偏微分方程組，它的本方程為d + =而且尸。：e 。( d ) 斗形，“( 礦，z ) 己分層為wi a ( 礦，z ) = _ 。( d ) u f h 。( d ) = ( 丫s ： * ( d ) ) l j t “t ( d ) ，2 5 9 )如果對(duì)每一。p s i _ 。( d ) 彬。( d ) g ：一，( t j 。( 礦，z ) ) ，存在唯一的偏微分方程組e ( s f 。( d ) ) 八，。( 礦，z ) ) ，( 2 6 0 j使得n m 。：一“( 礦，z ) 是e ( s 2 。( d ) ) 的解，并且滿足玩一+ t ( ) s q ( d ) ，則( s 0 。( d ) ) 稱為s i 。，。( d ) 的末方程。這里死也+ 。：斗g ：一，( ( 礦，z ) ) 是y 一。+ ，的誘導(dǎo)對(duì)應(yīng)。定義2 4 5設(shè)f y 0t o ) 是一對(duì)c 。嵌入：盯。： v ，o ： ，。( 礦，z )并且滿足條件f 2 6 1 )盤身。y o = 盯o ，y ：。：o ，v ( oe i 。( ，b 是，h ( 礦，z ) 的微分理想子代數(shù))( 2 6 2 )如果存在嵌入y ：_ j k 。+ i ( 礦，z ) ，使得髓暨+ t 。y ：y 。，d 身f 。y ，g o , t 0 0 9 = o ，v + 。；( 2 6 3 )則稱y ，是仃。和氏的一個(gè)提升。例4 赤道盧一平面無(wú)量綱線性淺水方程組d 的( 2 ，k 一1 ) 階的典則分層為。妒，z ) = 吼卜( d ) u 正。( d )( 2 6 4 )= s ；。( d ) u s ；卜( j 9 ) u 正卜( d l其中纖維空間p ：。：e ；。( d ) _ 醚。( d ) 其纖維的維數(shù)等于1 ，而( 2 ，女一1 ) 階橫截層s ；。) ，n w ! 。( 礦，z ) 的個(gè)稠密開子集，并且虞扣：e ；“( d ) 斗s ；，“( d ) 是一個(gè)解析同胚。證明：為了證明上述典則分層的結(jié)果，我們首先考慮典則系統(tǒng)中的。( v ，z ) ，它被一組開覆蓋所覆蓋：。( y ，z ) = u ，u v ：u u ，積1 ) ，( 2 6 5 )其中u ，= gt ( _ = 1 ，2 ，3 ) 是g ；“杪，z ) ) 的三個(gè)開集，g ：g ；( 7 y 1 1 ( y ，z ) ) 斗g ；0 y “( 礦，z ) ) = g 2 ( 丁y l( 2 6 6 )而_ 曼g ：盯y ) 是g ：口y ) 的開集，它由v