摘要 本文將s k r y a b i n 為了研究廣義w i t t 代數(shù)的表示而提出來的c - 模范疇理論建立 在c a r t a n 型李代數(shù)系列的特殊型李代數(shù)s ( m ；n ) 上證明了廣義限制李代數(shù)意義下 的誘導(dǎo)模成為c - 模范疇對(duì)象從而決定了這類李代數(shù)所有廣義p 特征高度不超過 m i n p “一礦一ti1 i m 卜- 2 的不可約模：其中在非例外權(quán)情形不可約模即為誘 導(dǎo)模，例外權(quán)情形不可約模為誘導(dǎo)模的唯一商模對(duì)于后者，通過誘導(dǎo)模的k o s z u l 復(fù)形具體構(gòu)造了出來，并由此確定了高度為0 的所有不可約模的同構(gòu)類個(gè)數(shù)，確定 了所有例外權(quán)的不可約模的維數(shù) 關(guān)鍵詞廣義限制李代數(shù)；c a r t a n 型李代數(shù)；特殊代數(shù)；x - 約化包絡(luò)代數(shù)； 廣義x _ 約化包絡(luò)代數(shù)；例外權(quán)； c _ 范疇 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ec o m i d c rt h ec - m o d u l ec a t e g o r yt h e o r yi ng r a d e dc a l t a nt y p es p e - c i a la l g e b r as o n ；n ) w h i c hw a sf i r s t l yi n t r o d u c e db ys k r y a b i nt os t u d yr e p r e s e n t a t i o n s o ft h eg e n e r a l i z e dw i t ta l g e b r a w ep r o v et h a ta sag e n e r a l i z e dr e s t r i c t e dl i ea l g e b r a , t h ei n d u c e dm o d u l e so fs ( m ；n ) a l eo b j e c t so f t h ec - m o d u l ec a t e g o r y i r r e d u c i b l em o d - u l e sw i t hg e n e r a f i z e dp - c h a l a c t e rn om o l et h a nm i n 礦“一，一1il i m 一2 & r e d e t e r m i n e d i nt h en o n e x c e p t i o n a lc a s e , a l li r r e d u c i b l em o d u l e sa i n d u c e dm o d u l e s i nt h ee x c e p t i o n a lc a s e , i r r d u c i b l em o d u l e sa mt h eu n i q u eq u o t i e n tm o d u l e so fi n d u c e d m o d u l e s f o rt h el a t t e rc a s e ，i r r e d u c i b l em o d u l e sa l ec o n c r e t e l yc o n s t r u c t e dt h r o u g ht h e k o s z u lc o m p l e xo f i n d u c e dm o d u l e s f u r t h e r m o r e ，a l li s o m o r p h i s mc l a s s e so f i r r e d u c i b l e m o d u l e sa l ed e t e r m i n e dw h e nt h eh e i g h to f t h ec h a r a c t e ri s0 ，a n dt h ed i m e n s i o n so f a l l e x c e p t i o n a li r r e d u c i b l em o d u l e sa l eg i v e n k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dr e s t r i c t e dl i ea l g e b r a ；c a l t a nt y p el i ea l g e b r a ；s p e c i a l a l g e b r a ；x - r e d u c e de n v e l o p i n ga l g e b r a ；g e n e r a l i z e dx - r e d u c e de n v e l o p i n ga l g e b r a ； e x c e p t i o n a lw e i g h t ；c - c a t e g o r y 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人所呈交的學(xué)位論文是在我導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成 果據(jù)我所知，除文中已經(jīng)引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā)表或撰寫 的研究成果對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在本文中作了明確的 說明并表示謝意 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 本人完全了解華東師范大學(xué)有關(guān)保留，使用學(xué)位論文的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留學(xué) 位論文并向國家主管部門或指定機(jī)構(gòu)送交論文的電子版和紙質(zhì)版有權(quán)將學(xué)位論文 用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱有權(quán)將學(xué)位論文的 內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要出版保密的學(xué)位論 文在解密后適用本規(guī)定 學(xué)位論文作者簽名：絲鷙主 導(dǎo)師簽名 硼6 名 第一章引言 眾所周知當(dāng)代數(shù)閉合域的特征不小于7 時(shí)，所有有限維單李代數(shù)或者為與復(fù)數(shù) 域上有限維單李代數(shù)同型的典型型，或者為c a r t a n 型后者包含四個(gè)系列的李代 數(shù)，分別為礦，s ，日、x 型本文研究的是s 型階化李代數(shù)的不可約表示問題 c a r t a n 型李代數(shù)的結(jié)構(gòu)缺少像典型李代數(shù)那樣作為代數(shù)群引起的李代數(shù)的結(jié)構(gòu)上的 對(duì)稱性，至今尚未有令人滿意的表示理論對(duì)于特殊的限制李代數(shù)情形而言，不可 約表示在極個(gè)另0 的低秩情形以及限制( 特征函數(shù)高度= 一1 ) 和接近限制情形( 特征 函數(shù)高度1 ) 已獲得較完整的刻畫本文對(duì)于s ( m ；n ) 情形，獲得了高度遠(yuǎn)大于l 的不可約表示的確定 1 9 4 1 年張禾瑞最先研究了w i t t 代數(shù)w ( 1 ；1 ) 的表示( 【l 】) ，完全解決了w ( 1 ；1 ) 的不可約表示的分類上世紀(jì)八十年代，沈光字系統(tǒng)地研究了階化c a r t a n 型_ 李代數(shù) x ( m ；n ) ，x = 彬sh 的階化模和濾過模( 【6 】，【7 】，【8 】) 沈光字完全解決了階化例 外權(quán)單模，并且證明了所有階化非例外權(quán)單模都足誘導(dǎo)模( 【8 】) 1 9 9 4 年胡乃紅在文 【2 0 ，2 l 】中確定了k ( m ；n ) 的階化不可約模和濾過不可約模 1 9 9 7 年舒斌提出了 廣義限制李代數(shù)的概念( 1 3 1 ) ，推廣了j a c o b s o n 給出的限制李代數(shù)的概念在文 【1 3 】中，舒斌證明了所有階化t a r t a n s _ 李代數(shù)都是廣義限制李代數(shù)，并且進(jìn)一步研 究了廣義限制表示1 9 9 8 年，舒斌研究了z a s s e n h a u s 代數(shù)w ( 1 ；n ) 的表示，利用 廣義限制李代數(shù)決定了( 1 ；n ) 的不可約模( 【1 4 】) 廣義限制李代數(shù)的引入使得階化 c a f t a n 型李代數(shù)表示的研究幾乎可以完全類似于限制的情形在沈光宇階化模和濾 過模系列研究的基礎(chǔ)上，2 0 0 1 到2 0 0 3 年間h o l m e s 和張朝文研究了階化c a r t a n 型 限制李代數(shù)的高度不超過1 的不可約表示，證明了在這種情形下，所有非例外權(quán)單 模都是誘導(dǎo)模( 【3 】和【4 】) 2 0 0 6 年濮燕敏和蔣志洪在文【2 3 】中研究了特征標(biāo)高度為 0 的例外權(quán)不可約h ( 2 r ，n ) 一模，給出了例外權(quán)單模的具體構(gòu)造上世紀(jì)九十年代， s e r g e s k r y a b i n 引入了李c a r t a n x 于和。范疇的概念( 【9 】和【l o 】) ，推廣了沈光宇提出 的混合積的思想在c _ 范疇里，s k r y a b i n 證明了平行于沈光宇上世紀(jì)八十年代得到 的關(guān)于階化單模的結(jié)論最近，j a n t z e n 和他的學(xué)生也對(duì)于秩2 的w i t t 代數(shù)進(jìn)行了研 究( 【3 0 】) 借助于c _ 范疇和廣義限制，最近舒斌和姚裕豐討論了廣義j a c o b s o n - w i t t 華東師范大學(xué)碩士論文階化c a m a n 型特殊代數(shù)s ( m ；n ) 的不可約表示 代數(shù)( m ；n ) 的不可約表示，得到當(dāng)x 的高度小于n f m v t m 一礦t - 1 i f = 1 ，2 ，仇) 且不含例外權(quán)時(shí)，則w ( m ；n ) 的所有不可約廣義x 一約化模都是誘導(dǎo)模，對(duì)于例外 權(quán)情形，利用修改的誘導(dǎo)模復(fù)形構(gòu)造了不可約例外權(quán)模，同時(shí)具體給出了維數(shù)公式 以及當(dāng)h t x = 0 時(shí)，給出了在同構(gòu)意義下不可約廣義x 約化模的分類( 【1 9 】) 本文 在此基礎(chǔ)上討論階化c a r t a n 型特殊代數(shù)s ( m ；n ) 的不可約表示 本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第二章回顧了階化c a a n 翌! 特殊代數(shù)s ( m ；n ) 的定義和 基本性質(zhì)，廣義限制李代數(shù)，廣義卜約化包絡(luò)代數(shù)和廣義x - 約化表示的定義和基 本性質(zhì)以及s ( m ；n ) 的本原p 包絡(luò)在第三章中，類似于s k r y a b i n 在文【9 】中對(duì)廣 義w i t t 代數(shù)定義的c _ 范疇，引入了階化c a f t a n s 特殊代數(shù)s ( m ；n ) 情形下的d 范 疇為了后面討論c _ 范疇性質(zhì)的需要，第三章的最后引用了s k r y a b m 在文【9 】中 提出的微分算子無關(guān)性以及所具有的。正交”性質(zhì)第四章討論了c - 范疇中的子 模和同態(tài)，得到在一定條件下c - 范疇中任何s ( m ；n ) 一子模都是此范疇中的子模， c - 范疇中任何兩個(gè)模之間的s ( m ；n 卜模同態(tài)都是此范疇中的態(tài)射第五章討論了 s ( m ；n ) 的非例外權(quán)單模，證明了1 ，：= i n d ； z 麓y 屬于c _ 范疇，這里l = s ( m ；n ) ， 是l 的具有限制結(jié)構(gòu)的極大子代數(shù)，u ( l ，x ) 是l 的廣義x 一約化包絡(luò)代數(shù)， u ( l o ，x ) 是的x _ 約化包絡(luò)代數(shù)，y 是一個(gè)給定的x _ 約化模進(jìn)一步，如 果x 的高度h t x m i n 礦一1 i l ；l ，2 ，m 一2 并且y 是的非例外權(quán)單 模，則1 ，是個(gè)單的廣義x _ 約化l 模第六章討論例外權(quán)單模，具體給出了構(gòu)造 和維數(shù)公式最后得到高度為0 的不可約廣義x - 約化工模是由。最高權(quán)。所參數(shù) 化，在同構(gòu)意義下總共有p m 一1 個(gè)不可約廣義卜約化工模 2 第二章預(yù)備知識(shí) 在本文中，假定基域p 是代數(shù)封閉域，c h a r f = p 3 ，設(shè)m n ，m 3 所有 向量空間( 穢b 都是定義在f 上 2 1 階化c a r t a n 型特殊代數(shù)s ( m ；n ) 設(shè)a = ( n 1 ，o - 2 ，n ，i ) ，b = ( b l ，b z ，6 m ) z m ，如果啦乜( r e s p a i 屯) ， 1 i m ，則記為o b ( r e s p n 6 ) ；如果a b ( r e s p 口6 ) ，但口b ，則記為 n 6 ) 若n ，b o ，定義( 0 = n ( 囂) 這里( = ：) 是指通常的二項(xiàng)式系 數(shù)，并約定如果口。 i 3 華東師范大學(xué)碩士論文階化c a r t a n 型特殊代數(shù)s ( m ；n ) 的不可約表示 定義一個(gè)從( m ；n ) 到嗄( m ；n ) 的線性映射d i v ：( m ；n ) 疆( m ；n ) ，將 z ( 4 ) n ( m ；n ) 映到皿( z ( o ) ) = z ( ”日) 疆( m ；n ) 設(shè)i f ( m ；n ) ：= k e r ( d i v ) = 五d i ( m ；n ) i d i ) = o ( m ；n ) 的導(dǎo)代數(shù)定義為特殊代數(shù)s ( m ；n ) i e s ( m ；n ) = ( m ；n ) ( 1 ) = 【i f ( m ；n ) ，i f ( m ；n ) 】根據(jù)【3 3 ，4 3 】，s ( m ；n ) = f s p 粕 ( z “) ) l a a ( m ；n ) ，1 i m 令s = ( ”1 ，地，n m ，1 ，1 ，1 ) ，定義忱：e _ l 將e ih 0 ，1 i m ； e j ”e 掣，j m ，則a d e n = ( a d e d f 。，v l ，所以s ( m ；n ) 是一個(gè)廣義限制李代 數(shù) 對(duì)于域f 上的廣義限制李代數(shù)，由s h u t 引理，我們有下面的定理 定理2 1 ( l ，) 是域f 上的結(jié)合于一組基e = ( 龜) l i ，和l p 。的廣義限制李代數(shù)， 4 華東師范大學(xué)碩士論文階化c a f t a n 型特殊代數(shù)s ( m ；n ) 的不可約表示 其中s = ( ) k i 設(shè)( kp ) 是l 的不可約表示則存在唯一的x l + 滿足： p ( e i ) 礦一p ( e p ) = x ( e ) ，i d v ，e i e ( 2 2 ) 稱x 為v 的廣義p 特征l 的表示f 嘲如果滿足r 2 矽，則稱為l 的廣義x 一約化表 示p 嘲特別當(dāng)x = 0 時(shí)，稱為l 的廣義限制表示嘲 設(shè)( 厶) 是個(gè)廣義限制李代數(shù)，結(jié)合于一組基e = ( e t ) l i e j 和妒。，8 = ( s t ) i i ， 對(duì)于x l ，定義c ，( 工，x ) ：= u ( l ) ( 一e p x ( e 。) 一ie i e ) ，這里( 一 e p x ( e i ) p “i 島e ) 表示u ( l ) 中由一貨一x ( q ) 一，ve e 所生成的理想 u p ( l ，x ) 稱為l 的廣義x - 約化包絡(luò)代數(shù)( c f 【1 3 1 ) 當(dāng)x = 0 ，u ( l0 ) 通常稱為工 的廣義限制包絡(luò)代數(shù)，簡(jiǎn)記為u ( l ) 我們有l(wèi) 的廣義x 一約化( r e s p 廣義限制) 模 范疇和u r , ( l ，x ) ( r e s p u p c l ) ) 模范疇之問的范疇等價(jià) 注記2 1 一個(gè)限制李代數(shù)( g ，m ) 也是一個(gè)廣義限制李代數(shù)，結(jié)合于一組任意給定 的基e 和s = j ：= ( 1 ，1 ，1 ) 進(jìn)一步，在這一情形下，廣義x 一約化模俄別與 x 一約化模限寅鈔一致 2 3s ( m ；n ) 的本原p 包絡(luò) 一般來說盡管l = s ( m ；n ) 不是限制的，但對(duì)應(yīng)于l 我們可以得到一個(gè)相應(yīng)的 限制李代數(shù)肛s ( 仇；n ) o eef 礦，稱為l 的本原p 包絡(luò)( 【1 8 】) 對(duì)于x l ， i = l 正；l 仇f l t 一1j 令元口是x 到p 上的平凡擴(kuò)張，即2 1 s ( 。n ) = x ，而對(duì)于v z f d 有 i = l 鞏= 1 天( z ) = 0 下面的引理是來自文【18 】中，它刻畫了l 的表示和對(duì)應(yīng)的本原p 包絡(luò) 的表示之間的關(guān)系 引理2 1 記號(hào)如上，則我們有代數(shù)同構(gòu)；以，( 厶x ) 掣u ( ，黿) 進(jìn)一步我們可得到 代數(shù)同構(gòu)：，礦( lx ) 蘭u ( l ，礦) ，這里垂a u t ( ) ，妒( d ) ：= x ( 垂- 1 ( d ) ) 證明t 由文【1 8 】的定理3 5 得到代數(shù)同構(gòu)，c ，( l ，x ) 望u ( z ，黿) 另方面顯然有代 數(shù)同構(gòu)，u ( ，定) 皇u ( e ，礦) 從而我們得到代數(shù)同構(gòu)：e 0 ( l ，x ) 型【0 ( l ，妒) 口 5 第三章s k r y a b i n 的d 范疇和微分算子無關(guān)性 3 1s k r y a b i n 的d 范疇 s 以下我4 f 1 崽, 假設(shè)l = s ( m ；n ) l 有一個(gè)自然的階化l = ol q ，其中s = - = 一1 m 0 一一i ) 一2 ，l 嘲= f - s p a n d j ( 護(hù)) l i = 1 m i q i = o t k = t + 2 ，1 i j m 則 七= l l 有一個(gè)結(jié)合于該階化的濾過t 工= l - 13l o3l 1 ) ，其中厶= l 拂， j 2 i m l o = f s p 趾 d b ( 鏟) f = o 2 ，1si jsm ) 是l 的一個(gè)具有限制結(jié)構(gòu) 的子代數(shù)，p 映射即為導(dǎo)子的p 次復(fù)合 在文【9 】9 中，s e r g es k r y a b i n 在廣義w i t t 代數(shù)中引入了d 范疇利用c - 范疇， s k r y a b i n 研究了廣義w i t t 代數(shù)的單模，推廣了沈光宇在文【8 】中得到的關(guān)于階化單 模的結(jié)論詳細(xì)的論述可參看【9 】以下我們討論特殊代數(shù)情形下的c 范疇 定義3 1 ( m ，仃) 稱為離散的( f f l s c r e t e ) l o 模，如果v z m 存在非負(fù)整數(shù)z ，使得 盯( l 3 x = 0 定義3 2 設(shè)r = 疆( m ；n ) ，l = s ( m ；n ) 定義c 是一個(gè)范疇，對(duì)象是a b e l 群 t 帶 有一個(gè)兄- 模結(jié)構(gòu)( m ，冊(cè)) ，一個(gè)仁模結(jié)構(gòu)( m ，兒) 和一個(gè)工曠模結(jié)構(gòu)( m ，盯) ，其 中m 作為a ( l o ) 模是離散的m 的以上三個(gè)模結(jié)構(gòu)滿足下面一些性質(zhì)； 俾砂曲l ( d ) ，p n ( ) 1 = p r ( d f ) ； 歸功p ( d ，) ，p r ( f ) 】= m 俾矽【幾( d ) ，口( d ，) 】= 町 僻移p l ( d i j ( 川= 舶( d j ( ，) ) o 兒( 皿) 一p r ( d i ( f ) ) o p l ( 功) + p s ( d 。f ) o 口( ( z 。) ) ， i n i 2 其中，r ，d 工，i y l o ，i ，j = 1 ，2 ，m o 范疇中的態(tài)射是指保持三個(gè) 模結(jié)構(gòu)的映射c - 范疇中的模稱為c - 模 6 華東師范大學(xué)碩士論文階化c a r t a n 型特殊代數(shù)s ( m ；n ) 的不可約表示 定義3 3 設(shè)兄，l 如上定義( 兄，l ) 一m o d 是一個(gè)范疇，對(duì)象是a b e l 群 f 帶有一 個(gè)肛模結(jié)構(gòu)( m ，p 凡) 和一個(gè)l 一模結(jié)構(gòu)( m ，兒) 且滿足上面的俾u ( r ，l ) 一m o d 中的態(tài)射是指保持兩個(gè)模結(jié)構(gòu)的映射( r ，l ) 一m o d 中的模稱為( r ，l ) 一模 3 2 微分算子無關(guān)性 在這一節(jié)中，我們將回顧s k r y a b i n 在文【9 】中提出的微分算子無關(guān)性的概念和 性質(zhì)，這將被用來在下一節(jié)中討論。范疇中的子模和同態(tài) 設(shè)冗是域f 上含單位的交換代數(shù)賦予r 的自同態(tài)代數(shù)e n d f r 個(gè)r - 模結(jié) 構(gòu)：( ，【p ) ( g ) = ，妒( 9 ) ，f ，g r ，妒e n d f r 定義3 4 r 的自同態(tài)集e n d f r 的一個(gè)子集垂稱為是無關(guān)集如果對(duì)于西的任何有限 子集= 妒l ，忱，一，妒。) 也由所有n 元組( c p l ( g ) ，妒2 ( 9 ) ，( g ) ) ，g r 所 生成的j p 的子模y 以為艫 下面的命題是屬于s k r y a b i n 的( c f 【9 】) ，這命題反映了無關(guān)集具有。正交性” 這一重要性質(zhì)將反復(fù)地用于下一章來討論c _ 范疇的子模和同態(tài) 命題3 1 設(shè) 娣11 1 i m ，0 r 7 = 艫，所以妒= 0 在等式妒( n ，r 2 ，r n ) = a r , 中取( r l ，7 2 ，h ) 依 i = 1 7 華東師范大學(xué)碩士論文 階化c a r t a n 型特殊代數(shù)s ( m ；n ) 的不可約表示 次為( 1 ，0 ，o ，o ) ，( 0 ，1 ，0 ，一，o ) ，( 0 ，0 ，0 ，1 ) ，則有五= o ，i = l ，2 ，m 因此垂是線性無關(guān)的但一般來說，線性無關(guān)集不一定是無關(guān)集 例設(shè)冗= 2 【( m ；n ) ，則： 矽1 1 l m ，0 n ) 是無關(guān)的 8 第四章d 范疇中的子模和同態(tài) 以下我們總是假定r = 嘎( m ；n ) 由注記3 1 ( 3 ) 知 聊11 1 f m ，0 r 啦 是無關(guān)的記( m ；n ) = ( a 1 ，a 2 ，) a ( m ；n ) l q i 礦一p ，l 一，i = 1 ，2 ，m 給定c - 范疇中兩對(duì)象m ，和態(tài)射妒：m ，記r ( 妒) = ( m ，妒( m ) ) l m m m o n 則妒保持三個(gè)模結(jié)構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)r ( 妒) 是d 范疇中的子模所以妒是 c 范疇中的同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)r ( 妒) 是m 0 的子模 定義4 1 對(duì)于一個(gè)不可約島一模( m ，力，定義肼的高度為使得a ( l z ) m = 0 成立的 最小非負(fù)整數(shù)1 定義4 2 設(shè)m 為高度小于等于1 的不可約l o 模，即m 可視為不可約l 【o 】豈s l ( m ) 模如果m 是一個(gè)以基本權(quán)為最高權(quán)的最高權(quán)模，則稱m 為例外權(quán)模 引理4 1 御設(shè)m ec 滿足， 盯( d 玎( 礦) ) = 0 ，q a ( m ；n ) a ( m ；n ) ，1 j m ( 4 1 ) 則m 的任何( r ，l 卜子模m 都是c - 范疇中m 的子模 0 0m ，n c 且m 和都滿足砂則任何( r ，l ) 模同態(tài)妒：m - ，都 是c 范疇中的態(tài)射 證明；( i ) 我們只需證明是一個(gè)a ( l o ) 子模設(shè)q m i ，則存在z 0 使得 a ( l 1 ) q = 0 由于厶是l o 的個(gè)理想，從而0 = m m l a ( l 1 ) m = o ) 是m 的 一個(gè)口( 島) 子模根據(jù)c 范疇定義中的( r 2 ) 和( r 3 ) ，q 也是一個(gè)r - 子模和習(xí)一 子模，這里o = f - s p a n d 1 ，d 2 ，d 。 由( r 4 ) 得到q 也是個(gè)l 子模所以 q 是m 的c - 子模q n 是q 的一個(gè)( r ，l ) 子模且被口( 厶) 所零化如果我 們證明了q n m 7 是一個(gè)d 子模，則由q q n m 7 知：對(duì)所有的d ，l o 都有 口( d ，) q q n m i 因此我們把這個(gè)命題的證明約化到了m 可被盯( 厶) 所零化，這里f 是某個(gè)非 負(fù)整數(shù)以下我們做這一假定對(duì)任何i ，j 滿足1 t j m ，令a 巧：= 恤 9 華東師范大學(xué)碩士論文階化c a r i a n 型特殊代數(shù)s ( m ；n ) 的不可約表示 a ( m ；n ) | | o t i 2 并且盯( ( 護(hù)) ) o ) ，則a o 是有限集注意到a 巧a ( m ；n ) ，應(yīng) 用命題3 1 到子集a = a ，u o 和，y a o 上，我們能在冗中找到有限多個(gè)元素 丘，如滿足( 3 1 ) ，于是我們有： 舳( 丘) 兒( ( 跏) ) = 舶) 兒( d j ( 9 ，) 取一皿) 功) p ；p n ( f v ) ( p a ( d j ( g v ) ) p z ( d , ) - - p n ( d i ( g v ) ) p z ( d j ) ) + p r ( 丘) 加( d 。( 舢) ) 一( ( 礦) ) pi , oo = 艦( 厶) ( 加( 傷) ) 以( 取) 一肋( 覷) ) 兒( b ) ) + a ( ( ，) ) p 由于m 是( r ，l ) 一子模，從而m 7 在舶) ( 舶( b ) ) 兒( b ) 一p n ( d , ( g v ) ) p l ( d a ) 下不變從而對(duì)所有的7 ，22 ，1 i 6 在( 4 5 ) 中令8 1 = 5 2 = s i = s ：= 6 i = s = 仉j = t = b 我們從( 4 5 ) 中得到盯( 昂。) 2 = 0 所以礦冪 零地作用在y 上，于是在y 中存在關(guān)于b o r e l 子代數(shù)h + n + 的最高權(quán)向量 設(shè) a 是相應(yīng)的最高權(quán)，設(shè)k = a ( 毋。k 一取+ 1 ，+ 1 ) ，k = 1 ，2 ，m 一1 令8 1 = 七+ 1 ， 西= + 1 ，8 2 = 島= f i = k ，j = 七+ 1 ，s = ，t = + 1 從( 4 5 ) 中我們得到 盯( e 一b + 1 k + 1 ) 玎( e f e 釅+ 1 f + 1 ) + ( 1 一以，f ) 盯( e o i ) 盯( e k k , ) 一( 1 一婦+ 1 ，七) 盯( e 0 + 1 ，知) 盯( e k 。f + 1 ) 一( 1 一札1 ，f ) 盯( e ；，i + 1 ) 盯( 既+ 1 ，f ) + ( 1 一以，f ) 仃( f f + l ，七+ 1 ) 仃( 既+ 1 ，+ 1 ) 。 ( 4 6 ) 一u 令( 4 6 ) 中k = ，再將( 4 6 ) 兩邊作用到口上，我們得到a 2 一九= 0 所以k = 0 或l ，k = 1 ，2 ，m 一1 若所有h = 0 ，k = 1 ，2 ，m 一1 則 所對(duì)應(yīng)的權(quán)是例 外權(quán)否則存在島 l ，2 ，m 1 ) 使得k = 1 ，而所有丸= 0 ，i 1 ，則口( 厶) = 0 ，從而口( 厶一1 ) 是口( 島) 的非零a b e l i a n 理想在 a ( m ；n ) 中引入一個(gè)全序；口，盧a ( m ；n ) ，稱q p ( 或者盧卜口) 如果 o t l 俐或 1 3 華東師范大學(xué)碩士論文階化c a f t a n 型特殊代數(shù)s ( r e ；n ) 的不可約表示 者i n i = 例并且盧在字典序下大于q 對(duì)任何，g r ，我們有： p l ( k ( ，) ) p l ( d i j ( 9 ) ) = p l ( b ( f ) d i d i ( ，) 功) 兒( d j ( g ) d i d i ( g ) d j ) = ( 加( 島( 川幾( 耽) - p r ( d i ( f ) ) p l ( d j ) + p a ( d 。( ，) ) 盯( d 甜( z 8 ) ) ) ( 肌( b ( 9 ) ) 兒( d i ) 一 p ( d i ( g ) ) p n ( d j ) + p r ( d 4 ( g ) ) 盯( ( ) ) ) 口 = 砌( 島( ，) b ( 9 ) ) 兒( d ) 2 + 加( 功( f ) d i 功( 9 ) ) 兒( d i ) 一p r ( d j ( f ) d i ( g ) ) p l ( d i ) p l ( d j ) 一 p r ( d j ( ，) d i d i 0 ) ) p l ( 功) 一p r ( d i ( f ) d j ( g ) ) p l ( d j ) p l ( d i ) 一p r ( d i ( i ) d j 功( g ) ) p l ( d i ) + p n ( d i ( f ) d i ( g ) ) p l ( d j ) 2 + p ( d i ( f ) d j d i ( g ) ) p n ( d j ) + p r ( d j ( f ) d 冉- ( g ) ) a ( d i i ( x 4 ) ) + p n ( d j ( f ) d 4 ( g ) ) p l ( d 】i ) a ( d i j ( x 4 ) ) 一p r ( d i ( f ) d 4 ( g ) ) p l ( d j ) a ( d i j ( x 4 ) ) 一 p 丑( n ( ，) d 岫( 9 ) ) 盯( 鞏( 堋+ p r ( d 。( ，) 功( 9 ) ) 盯( ( 刑p l ( n ) 一 p r ( d a ( f ) d i ( g ) ) a ( d q ( x a ) ) p l ( d j ) + p r ( d 。( ，) ( g ) ) 盯( 妒) ) 盯( ( ) ) nad = p r ( 功( ，b ( 9 ) ) ) 兒( 皿) 2 一p r ( f d j b ( 9 ) ) 兒( n ) 2 + p r ( d j ( f d , d j ( g ) ) ) p l ( d ) 一 p r ( f d i d j d i ( g ) ) p l ( d i l 一p r ( d j ( f d i ( g ) ) ) p l ( d i ) p l ( d j l + p r 0 f d j d i ( g ) ) p l ( d i ) p l ( d o p r ( 島( ，d i 皿( 9 ) ) ) p l ( 功) + p n ( f 功d i d i ( g ) ) p n ( 易) 一p r ( d i ( f 功( g ) ) ) 兒( 功) 兒( d 1 ) + p a ( f d i 島( 9 ) ) 兒( d j ) p l ( d i ) 一艦( 職( ，b 功( g ) ) ) 以( d t ) + p 兄( f d i 功d j ( g ) ) 兒( 現(xiàn)) + p ( d i ( f d i ( g ) ) ) p z ( 功) 2 一p r ( f d i d i ( g ) ) p l ( d j ) 2 + p n ( d i ( f d j d , ( g ) ) ) p l ( d i ) 一 p r ( f d i d i d i ( g ) ) p l ( d i ) + 肌( 仍( ，( 9 ) ) 耽( 皿) 礦( ( ) ) 一 p r ( ，d 胂勺( 9 ) ) 兒( d ) 盯( ( 。4 ) ) + p a ( d j ( f d 4 + ( 9 ) ) ) a ( ( z 4 ) ) 一 p ( d i ( d 4 ( 9 ) ) ) 兒( 功) 一( 鞏( ) ) + p r ( ，d 胂( g ) ) a ( d i i ( x 4 ) ) 一 p r ( b ( ，d 吶( g ) ) ) 口( ( ) ) + 1 4 華東師范大學(xué)碩士論文階化c a r t a n 型特殊代數(shù)s ( m ；n ) 的不可約表示 ( - 1 ) 礦i ( ；) 蹦( ，岣( 枷) d ( 鞏( 刪以皿) 一 ( - - 1 ) 礦l ( ：) p r ( 1 y e ( f d 一“o ) ) ) 一( d a ( z 。) ) 兒( d j ) + ad + d 、 ( 一1 ) 礦i ( ；) p n ( d 一( ，d 一+ 4 ( g ) ) ) 口( ( 礦) ) 盯( ( 堋( 4 7 ) n 矗+ d 1 = q8 ( 4 7 ) 中的第三和第四個(gè)等式成立是因?yàn)橐韵聝蓚€(gè)常用的等式： d i ( ，) 9 = n ( 向) 一，d i ( 9 ) ， d 。( m = ( 一1 ) m ( ；) d 一( ，d ( 9 ) ) 對(duì)于m 的一族r - 自同態(tài)圣= ( ) 。e 忡n ) ，我們定義它的支柱為zs u p p 垂= q ( m ；n ) lq o a o ) 定義垂的秩d e g 垂= m a x l a l i 口s u p p 垂 我們需要下面 s k r y a b i n 的引理來完成定理4 1 的證明 引理4 3 ( s k r y a b i n ) 設(shè)t 是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，西是一族r 的自同態(tài)滿足 d e g t 仞所有，i a i = t 都是互相交換的 偽在垂( ，) =d 。( ，) 妒。，r 下不變 d ( m ；n ) 則( l i n i = 好都是冪零的 對(duì)給定的i ，j 1 ，2 ，m ，i j ，當(dāng)j o t i 1 ，令q o 。= o ；當(dāng)i o t i 2 ，令 q o a = 口( ( 擴(kuò)) ) ；令t = j + 1 引理4 3 中性質(zhì)( 1 ) 和( 2 ) 成立，但( 3 ) 不成立，我 們不能直接應(yīng)用引理4 3 但注意到m 7 在兒( 鞏( ，) ) = 兒( 功( f ) d i d i ( f ) 功) = p r ( d j ( ，) ) 兒( d i ) 一p r ( d i ( f ) ) p l ( d j ) + 壬( ，) 下不變?cè)O(shè)7 ，r a ( m ；n ) ，厶，甄r 如引理4 3 中所選取的，i e 莓丘。舢= ：霎。：i ：，j q i 。，。7 + r h s ， 由( 4 7 ) 和引理4 3 的證明，我們得到p l ( d i i ( f f v ) ) p l ( d o ( 舢) ) = 圣( ，丘) 圣( 跏) = m ( ，) ，這里皿( ，) = d 一( ，) 譏，皿= ( 妒一) 畦 ( 。；n ) ，且d e g 雪t f ，t = l r i 當(dāng) 華東師范大學(xué)碩士論文階化c a f t a n 型特殊代數(shù)s ( m ；n ) 的不可約表示 i i ；t r 時(shí)，饑，= e ( 一1 ) o ( ；) 即，這里對(duì)所有滿足以下條件的q ，盧求 a 占 和：a ，p ( m ；n ) ，= = t ，o l 0 ，a q ，+ p = 7 + 1 ，m 7 在皿( ，) 下不變 引理4 3 ( c 【9 】) 中的論述可不需改變地應(yīng)用過來，如引理4 3 我們得到口( ( 護(hù)) ) ， n 月( m ；n ) i 川= f + 1 ，1si j m ) 都是冪零的i e 口( l l - 1 ) 都是由冪零 自同態(tài)組成的對(duì)于肘的任何不可約a ( ) - 子模y ，注意到l l 一1 是的理想， 則v ：= 和v i 口( 厶一l 扣= o ) 是y 的非零口( ) - 子模由y 是不可約- 子 模，我們得到= v 因