第一節(jié)隨機(jī)事件的概率2019考綱考題考情1事件(1)在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的必然事件。(2)在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的不可能事件。(3)在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件。2概率和頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否發(fā)生，稱n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)nA為事件A發(fā)生的頻數(shù)，稱事件A發(fā)生的比例fn(A)為事件A發(fā)生的頻率。(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)。3事件的關(guān)系與運(yùn)算4.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0P1。(2)必然事件的概率P(E)1。(3)不可能事件的概率P(F)0。(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(AB)P(A)P(B)。(5)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則AB為必然事件，P(AB)1，P(A)1P(B)。1頻率與概率頻率是隨機(jī)的，不同的試驗(yàn)，得到頻率也可能不同，概率是頻率的穩(wěn)定值，反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。2互斥與對(duì)立對(duì)立事件一定互斥，但互斥事件不一定對(duì)立。3概率加法公式的注意點(diǎn)(1)要確定A，B互斥方可運(yùn)用公式。(2)A，B為對(duì)立事件時(shí)并不一定A與B發(fā)生的可能性相同，即P(A)P(B)可能不成立。一、走進(jìn)教材1(必修3P121練習(xí)T4)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶B兩次都中靶C只有一次中靶D兩次都不中靶解析射擊兩次的結(jié)果有：一次中靶；兩次中靶；兩次都不中靶，故至少有一次中靶的互斥事件是兩次都不中靶。故選D。答案D2(必修3P123A組T3改編)李老師在某大學(xué)連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是李老師這門課3年來的考試成績(jī)分布：成績(jī)?nèi)藬?shù)90分以上428089分1727079分2406069分865059分5250分以下8經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級(jí)的學(xué)生王小明下學(xué)期將選修李老師的高等數(shù)學(xué)課，用已有的信息估計(jì)他得以下分?jǐn)?shù)的概率：(1)90分以上的概率：_。(2)不及格(60分及以上為及格)的概率：_。解析(1)0.07。(2)0.1。答案(1)0.07(2)0.1二、走近高考3(2018江蘇高考)某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為_。解析記2名男生分別為A，B,3名女生分別為a，b，c，則從中任選2名學(xué)生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種情況，其中恰好選中2名女生有ab，ac，bc，共3種情況，故所求概率為。答案4(2018全國(guó)卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A0.3B0.4C0.6D0.7解析設(shè)“只用現(xiàn)金支付”為事件A，“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”為事件B，“不用現(xiàn)金支付”為事件C，則P(C)1P(A)P(B)10.450.150.4。故選B。答案B三、走出誤區(qū)微提醒：求基本事件時(shí)出錯(cuò)；確定對(duì)立事件時(shí)出錯(cuò)；互斥事件判定出錯(cuò)。5甲、乙兩人做出拳(錘子、剪刀、布)游戲，則平局的概率為_；甲贏的概率為_。解析設(shè)平局(用表示)為事件A，甲贏(用表示)為事件B，乙贏(用表示)為事件C。容易得到如圖。平局含3個(gè)基本事件(圖中的)，P(A)。甲贏含3個(gè)基本事件(圖中的)，P(B)。答案6從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為_。解析因?yàn)椤俺榈降牟皇且坏绕贰钡膶?duì)立事件是“抽到的是一等品”，且P(A)0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率為10.650.35。答案0.357已知某射擊運(yùn)動(dòng)員每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8。現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率。先由計(jì)算器算出09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標(biāo)，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo)，因?yàn)樯鋼?次，所以以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果。經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281據(jù)此估計(jì)，該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為_。解析該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次，考慮該事件的對(duì)立事件，故看這20組數(shù)據(jù)中每組數(shù)據(jù)含有0和1的個(gè)數(shù)多少，含有2個(gè)或2個(gè)以上的有5組數(shù)據(jù)，故所求概率為0.75。答案0.75考點(diǎn)一隨機(jī)事件關(guān)系的判斷【例1】(1)把語文、數(shù)學(xué)、英語三本學(xué)習(xí)書隨機(jī)地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，則事件A：“甲分得語文書”，事件B：“乙分得數(shù)學(xué)書”，事件C：“丙分得英語書”，則下列說法正確的是()AA與B是不可能事件BABC是必然事件CA與B不是互斥事件DB與C既是互斥事件也是對(duì)立事件(2)一袋中裝有5個(gè)大小形狀完全相同的小球，其中紅球3個(gè)，白球2個(gè)，從中任取2個(gè)小球，若事件“2個(gè)小球全是紅球”的概率為，則概率是的事件是()A恰有一個(gè)紅球B兩個(gè)小球都是白球C至多有一個(gè)紅球D至少有一個(gè)紅球解析(1)“A，B，C”都是隨機(jī)事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故A、B兩項(xiàng)錯(cuò)誤；“A，B”可能同時(shí)發(fā)生，故“A”與“B”不互斥，C項(xiàng)正確；“B”與“C”既不互斥，也不對(duì)立，D項(xiàng)錯(cuò)誤。故選C。(2)因?yàn)?，所以概率是的事件是“2個(gè)小球全是紅球”的對(duì)立事件，應(yīng)為：“一個(gè)紅球一個(gè)白球”與“兩個(gè)都是白球”的和事件，即為“至多有一個(gè)紅球”。答案(1)C(2)C互斥、對(duì)立事件的判別方法1在一次試驗(yàn)中，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件。2兩個(gè)互斥事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件。提醒：對(duì)立事件一定是互斥事件?！咀兪接?xùn)練】從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)。上述事件中，是對(duì)立事件的是()ABCD解析從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)有3種情況：一奇一偶，兩個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)。其中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包含一奇一偶或兩個(gè)奇數(shù)這兩種情況，它與兩個(gè)都是偶數(shù)是對(duì)立事件。又中的事件可以同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件。答案C考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率【例2】電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值。(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；(2)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率；(3)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化。假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)解(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140503002008005102 000，第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是2000.2550。故所求概率為0.025。(2)由題意知，樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是1400.4500.23000.152000.258000.25100.15610455016051372。故所求概率估計(jì)為10.814。(3)增加第五類電影的好評(píng)率，減少第二類電影的好評(píng)率。頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值?！咀兪接?xùn)練】(2017全國(guó)卷)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)。如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率。(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)。當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率。解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6。(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y64504450900；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y63002(450300)4450300；若最高氣溫低于20，則Y62002(450200)4450100。所以，Y的所有可能值為900,300，100。Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8。考點(diǎn)三互斥事件與對(duì)立事件【例3】某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示。一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結(jié)算時(shí)間/(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%。(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率。(將頻率視為概率)解(1)由已知得x3045,25y1055，所以x15，y20。該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為1.9(分鐘)。(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)，P(A2)，P(A3)。因?yàn)锳A1A2A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)。故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為。解：記A表示事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，則A的對(duì)立事件為“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間超過2分鐘”，由題表，知P()。所以P(A)1P()1。故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為。1求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來。2求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率，再求和；二是間接法，先求該事件的對(duì)立事件的概率，再由P(A)1P()求解。當(dāng)題目涉及“至多”、“至少”型問題，多考慮間接法?！咀兪接?xùn)練】公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的值的范圍是3.141 592 63.141 592 7。為紀(jì)念祖沖之在圓周率上的成就，把3.141 592 6稱為“祖率”，這是中國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就。某小學(xué)教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們從小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6中隨機(jī)選取2位數(shù)字，整數(shù)部分3不變，那么得到的數(shù)大于3.14的概率為()ABCD解析選擇數(shù)字的總的方法有56131(種)，其中得到的數(shù)不大于3.14的數(shù)為3.11,3.12,3.14，所以得到的數(shù)大于3.14的概率為P1。故選A。答案A(配合例2使用)某超市隨機(jī)選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“”表示購買，“”表示未購買。商品顧客人數(shù)甲乙丙丁1002172003008598(1)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率；(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性