第6講正弦定理和余弦定理基礎(chǔ)知識整合1正弦定理2R，其中2R為ABC外接圓的直徑變式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.abcsinAsinBsinC.2余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC.變式：cosA；cosB；cosC.sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA.3在ABC中，已知a，b和A時(shí)，三角形解的情況4三角形中常用的面積公式(1)Sah(h表示邊a上的高)(2)SbcsinAacsinBabsinC.(3)Sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)1三角形內(nèi)角和定理在ABC中，ABC；變形：.2三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(AB)sinC；(2)cos(AB)cosC；(3)sincos；(4)cossin.3三角形中的射影定理在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB.1(2019北京西城模擬)已知ABC中，a1，b，B45，則A等于()A150B90 C60D30答案D解析由正弦定理，得，得sinA.又ab，AB45.A30.故選D.2(2019廣東廣雅中學(xué)模擬)已知a，b，c為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，若3bcosCc(13cosB)，則sinCsinA()A23B43 C31D32答案C解析由正弦定理得3sinBcosCsinC3sinCcosB,3sin(BC)sinC，因?yàn)锳BC，所以BCA，所以3sinAsinC，所以sinCsinA31，選C.3在ABC中，如果sinA2sinCcosB，那么這個(gè)三角形是()A銳角三角形B直角三角形C等腰三角形D等邊三角形答案C解析sinAsin(BC)sin(BC)sinBcosCcosBsinC，而sinA2sinCcosB，2sinCcosBsinBcosCcosBsinC，即sinCcosBsinBcosC，sinBcosCcosBsinC0sin(BC)，又B，C是ABC的內(nèi)角，BC.故ABC是等腰三角形4(2019南昌模擬)在ABC中，已知C，b4，ABC的面積為2，則c()A2 B. C2D2答案D解析由SabsinC2a2，解得a2，由余弦定理得c2a2b22abcosC12，故c2.5(2019蘭州市實(shí)戰(zhàn)考試)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b2ac，c2a，則cosC()A.B C.D答案B解析由題意得，b2ac2a2，ba，所以cosC，故選B.6(2018浙江高考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a，b2，A60，則sinB_，c_.答案3解析本小題考查正弦定理、余弦定理由得sinBsinA，由a2b2c22bccosA，得c22c30，解得c3(負(fù)值舍去)核心考向突破考向一利用正、余弦定理解三角形例1(1)(2018全國卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB()A4 B. C. D2答案A解析因?yàn)閏osC2cos21221，所以c2a2b22abcosC12521532，所以c4.選A.(2)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則B()A. B. C. D.答案C解析因?yàn)?，所以，?cb)(cb)a(ca)，所以a2c2b2ac，所以cosB，又B(0，)，所以B.觸類旁通解三角形問題的技巧(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到（2）三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.即時(shí)訓(xùn)練1.(2018全國卷)在平面四邊形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理，得.由題設(shè)知，所以sinADB.由題設(shè)知，ADB0，則ABC是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D形狀不確定答案A解析ABC，ABC，tan(AB)tan(C)tanC，tanC，tanAtanBtanCtanAtanBtanC0，tanA0，tanB0，tanC0，ABC是銳角三角形(2)(2018山西太原模擬)在ABC中，sin2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則ABC的形狀為()A直角三角形B等邊三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案A解析由cosB12sin2得sin2，即cosB.解法一：由余弦定理得，即a2c2b22a2，a2b2c2.ABC為直角三角形，又無法判斷兩直角邊是否相等故選A.解法二：由正弦定理得cosB，又sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，cosBsinCsinBcosCcosBsinC，即sinBcosC0，又sinB0，cosC0，又角C為三角形的內(nèi)角，C，ABC為直角三角形，又無法判斷兩直角邊是否相等故選A.觸類旁通判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.提醒：在判斷三角形形狀時(shí)一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件.另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響.即時(shí)訓(xùn)練2.(2019陜西模擬)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosCccosBasinA，則ABC的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定答案B解析bcosCccosBasinA，由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sinAsin2A.又sinA0，sinA1，A，故ABC為直角三角形3在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cosA，則ABC為()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形答案A解析根據(jù)正弦定理得cosA，即sinCsinBcosA，ABC，sinCsin(AB)sinBcosA，整理得sinAcosB0，cosB0，B，A，B2A，A，A，cosA，.故選C.(2)(2018北京高考)若ABC的面積為(a2c2b2)，且C為鈍角，則B_；的取值范圍是_答案(2，)解析依題意有acsinB(a2c2b2)2accosB，則tanB，0B，又A0，0A，則0tanA，故2.的取值范圍為(2，)觸類旁通解三角形問題中，求解某個(gè)量(式子)的取值范圍是命題的熱點(diǎn)，其主要解決思路是：,要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大.即時(shí)訓(xùn)練5.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，abtanA，且B為鈍角(1)證明：BA；(2)求sinAsinC的取值范圍解(1)證明：由abtanA及正弦定理，得，所以sinBcosA，即sinBsin.又B為鈍角，因此A，故BA，即BA.(2)由(1)知，C(AB)2A0，所以A.于是sinAsinCsinAsinsinAcos2A2sin2AsinA122.因?yàn)?A，所以0sinA，因此22.由此可知sinAsinC的取值范圍是.角度正、余弦定理解決平面幾何問題例5(2019南寧模擬) 如圖，在ABC中，B，AB8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的長解(1)由cosADC知sinADC，于是sinBADsin(ADCABC)sinADCcoscosADCsin.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB825228549.所以AC7.觸類旁通平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決.在解決某些具體問題時(shí)，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函數(shù)思想.即時(shí)訓(xùn)練6.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB邊上取點(diǎn)E，使得BE1，連接EC，ED.若CED，EC.(1)求sinBCE的值；(2)求CD的長解(1)在BEC中，由正弦定理，知.B，BE1，CE，sinBCE.(2)CEDB，DEABCE，cosDEA.A，AED為直角三角形，又AE5，ED2.在CED中，CD2CE2DE22CEDEcosCED7282249.CD7. (2018江蘇高考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，ABC120，ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD1，則4ac的最小值為_答案9解析依題意畫出圖形，如圖所示易知SABDSBCDSABC，即csin60asin60acsin120，acac，1，4ac(4ac)59，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，c3時(shí)取“”答題啟示對于含有ab，ab及a2b2的等式，求其中一個(gè)的范圍時(shí)，可利用基本不等式轉(zhuǎn)化為以該量為變量的不等式求解對點(diǎn)訓(xùn)練(2019杭州模擬)已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，a2，且(2b)