1、20142018年全國中考題組 考點(diǎn)一等腰三角形,五年中考,1.(2018福建,5,4分)如圖,等邊三角形ABC中,ADBC,垂足為D,點(diǎn)E在線段AD上,EBC=45,則ACE等于() A.15B.30C.45D.60,答案A由等邊三角形ABC中,ADBC,垂足為點(diǎn)D,可得ACB=60,且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根據(jù)等邊對(duì)等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,2.(2017吉林,5,2分)如圖,在ABC中,以點(diǎn)B為圓心,以BA長為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)D,連接AD.若B=40,C=36,則DAC的度數(shù)是() A.70B.44

2、C.34D.24,答案C由作圖知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故選C.,3.(2017天津,9,3分)如圖,將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得DBE,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長線上,連接AD.下列結(jié)論一定正確的是() A.ABD=EB.CBE=C C.ADBCD.AD=BC,答案CABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到DBE, ABD=CBE=60,AB=BD, ABD是等邊三角形,DAB=60, DAB=CBE,ADBC,故選C.,解題關(guān)鍵熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.,4.(2016湖北武漢,10,3分)平面直角坐標(biāo)系中,已知A(2,2),B(

3、4,0),若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使ABC為等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是() A.5B.6C.7D.8,答案A如圖,當(dāng)AB=AC時(shí),以點(diǎn)A為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(點(diǎn)B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中點(diǎn)C0與A、B兩點(diǎn)共線,不符合題意;當(dāng)AB=BC時(shí),以點(diǎn)B為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn),均符合題意;當(dāng)AC=BC時(shí),作AB的垂直平分線,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn),均符合題意.所以滿足條件的點(diǎn)C有5個(gè),故選A.,5.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一個(gè)底角為50,則它的頂角的度數(shù)為.,答案80,解析等腰三角形的兩底角相等, 180-502=8

4、0,頂角為80.,6.(2018天津,17,3分)如圖,在邊長為4的等邊ABC中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),EFAC于點(diǎn)F,G為EF的中點(diǎn),連接DG,則DG的長為.,答案,解析連接DE,在等邊ABC中, D、E分別是AB、BC的中點(diǎn), DEAC,DE=EC=AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF=. DEG=180-60-30=90. G是EF的中點(diǎn),EG=.,在RtDEG中,DG=.,7.(2017湖北黃岡,12,3分)已知:如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊三角形ADE,則BED=.,答案45,解析四邊形ABCD是正方形, AB=AD,BAD=9

5、0. 三角形ADE是等邊三角形, AD=AE,DAE=AED=60. BAE=BAD+DAE=90+60=150,AB=AE, AEB=ABE=(180-BAE)2=15, BED=AED-AEB=60-15=45.,8.(2017黑龍江哈爾濱,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,連接AE、BD交于點(diǎn)O.AE與DC交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)N. (1)如圖1,求證:AE=BD; (2)如圖2,若AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖2中四對(duì)全等的直角三角形. 圖1 圖2,解析(1)證明:ACB和DCE都是等腰直角三角形, ACB=DCE=90

6、,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE, ACEBCD, AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE.,9.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,18,6分)如圖,等腰三角形ABC中,BD,CE分別是兩腰上的中線. (1)求證:BD=CE; (2)設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別為線段BO和CO的中點(diǎn).當(dāng)ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長相等時(shí),判斷四邊形DEMN的形狀,無需說明理由.,解析(1)證明:AB,AC是等腰三角形ABC的兩腰, AB=AC, BD,CE是中線,AD=AC,AE=AB, AD=AE, 又A=A,ABDAC

7、E, BD=CE. (2)四邊形DEMN為正方形. 提示:由MN、DE分別是OBC、ABC的中位線可得四邊形DEMN是平行四邊形,由(1)知BD=CE,故可證OE=OD,從而四邊形DEMN是矩形,再由ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長相等可知四邊形DEMN為正方形.,1.(2018陜西,6,3分)如圖,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足為D,ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,則AE的長為() A.2B.3C. D.,考點(diǎn)二直角三角形,答案DAC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4,過點(diǎn)E作EFAB于點(diǎn)F,BE是 ABC的平分線,DE=EF,ABC=60,AD

8、BC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又 AD=4,DE=EF,AE=AD= ,故選D.,思路分析首先利用AC的長及C的正弦求出AD的長,進(jìn)而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角形中30度角的性質(zhì)確定DE和AE的數(shù)量關(guān)系,最后求出AE的長.,2.(2017內(nèi)蒙古包頭,12,3分)如圖,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D,AF平分CAB,交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.若AC=3,AB=5,則CE的長為() A.B.C.D.,答案A過F作FGAB于點(diǎn)G, AF平分CAB,ACB=90, FC=FG. 易證ACFAGF, AC=AG. 5+6=90,B+6=90, 5=B. 3=1+5

9、,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 在RtBFG中,設(shè)CF=x(x0),則FG=x,BF=4-x. 又BG=AB-AG=5-3=2, 由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=, CE=CF=.選A.,3.(2016四川南充,7,3分)如圖,在RtABC中,A=30,BC=1,點(diǎn)D,E分別是直角邊BC,AC的中點(diǎn),則DE的長為() A.1B.2C.D.1+,答案A在RtABC中, A=30,BC=1,AB=2. 點(diǎn)D,E分別是BC,AC的中點(diǎn), DE=AB=2=1.,4.(2018重慶,16,4分)如圖,把三角形紙片折疊,使點(diǎn)B、點(diǎn)

10、C都與點(diǎn)A重合,折痕分別為DE,FG,得到AGE=30,若AE=EG=2 厘米,則ABC的邊BC的長為厘米.,答案(6+4),解析過E作EHAG于H. AGE=30,AE=EG=2, EH=,GH=EGcos 30=3, AG=6, GC=AG=6,易知BE=AE=EG=2, BC=BE+EG+GC=(6+4)厘米.,5.(2018福建,13,4分)如圖,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中點(diǎn),則CD=.,答案3,解析依題意可知CD是直角三角形ABC斜邊上的中線,由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CD=AB=3.,6.(2016遼寧沈陽,16,3分)如圖,在RtABC

11、中,A=90,AB=AC,BC=20,DE是ABC的中位線.點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn),BM=3,點(diǎn)N是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DN,ME,DN與ME相交于點(diǎn)O.若OMN是直角三角形,則DO的長是.,答案或,解析A=90,AB=AC,BC=20, AB=AC=10, DE是ABC的中位線, DEBC,DE=BC=10,BD=CE=5. 當(dāng)DNBC時(shí),OMN為直角三角形(如圖), 易知BDN為等腰直角三角形, BN=DN=5, BM=3, MN=2, DEBC, ODEONM, =,即=,解得OD=.,當(dāng)DNME時(shí),OMN為直角三角形(如圖),過點(diǎn)E作EFBC,垂足為點(diǎn)F. 易知CEF為等腰直角三角形

12、, EF=FC=5, BM=3,MF=20-3-5=12, 在RtMFE中,ME=13, DEBC, DEO=EMF, DOE=EFM=90, ODEFEM,=,即=, 解得OD=. 綜上所述,DO的長是或.,7.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如圖,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=ECD =90,D為AB邊上一點(diǎn). (1)求證:ACEBCD; (2)求證:2CD2=AD2+DB2.,證明(1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90, ECD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB.(1分) 在ACE與BCD中,(3分) AC

13、EBCD.(4分) (2)ACEBCD,AE=BD.(5分) EAC=BAC=45,EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2, ED2=AD2+BD2.(6分) 又ED2=EC2+CD2=2CD2, 2CD2=AD2+DB2.(7分),考點(diǎn)一等腰三角形,教師專用題組,1.(2018河北,8,3分)已知:如圖,點(diǎn)P在線段AB外,且PA=PB.求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結(jié)論時(shí),需添加輔助線,則作法不正確的是() A.作APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C B.過點(diǎn)P作PCAB于點(diǎn)C且AC=BC C.取AB中點(diǎn)C,連接PC D.過點(diǎn)P作PCAB,垂足為C,答案B無論作APB

14、的平分線PC交AB于點(diǎn)C,還是取AB中點(diǎn)C,連接PC或過點(diǎn)P作PCAB,垂足為C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論,選項(xiàng)A,C,D的作法正確.故選B.,2.(2017內(nèi)蒙古包頭,6,3分)若等腰三角形的周長為10 cm,其中一邊長為2 cm,則該等腰三角形的底邊長為() A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm,答案A當(dāng)腰長為2 cm時(shí),底邊長為6 cm,但是2+2=46,即兩邊之和小于第三邊,不合題意;當(dāng)?shù)走呴L為2 cm時(shí),腰長為4 cm,符合題意,故選A.,3.(2016河北,16,2分)如圖,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若點(diǎn)M,N分別在OA,OB上,且PMN為

15、等邊三角形,則滿足上述條件的PMN有() A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.3個(gè)以上,答案D如圖所示,過點(diǎn)P分別作OA,OB的垂線,垂足分別為C,D,連接CD,則PCD為等邊三角形.在OC,DB上分別取M,N,使CM=DN,則PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,則PMN為等邊三角形,因?yàn)闈M足CM=DN的M,N有無數(shù)個(gè),所以滿足題意的三角形有無數(shù)個(gè).,4.(2015吉林長春,6,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,過點(diǎn)A作ADBC.若1=70,則BAC的大小為() A.30B.40C.50D.70,答案BAB=AC,B=C.ADBC,1=C=70,B=70,BAC=40.故選B

16、.,5.(2014江蘇蘇州,10,3分)如圖,AOB為等腰三角形,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,),底邊OB在x軸上.將 AOB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得AOB,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A在x軸上,則點(diǎn)O的坐標(biāo)為() A.B. C.D.,答案C過A作OB邊的垂線AC,垂足為C,過O作BA邊的垂線OD,垂足為D,因?yàn)轫旤c(diǎn) A 的坐標(biāo)為(2,),所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),所以O(shè)C=2,AC=,在RtOAC中,根據(jù)勾股定理得OA=3,所 以AB=3.因?yàn)锳OB為等腰三角形,所以C為OB的中點(diǎn),所以B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),故BO=BO=4.在RtOBD和RtOAD中,OB2-BD2=OA2-AD2.設(shè)BD=x,則有4

17、2-x2=32-(3-x)2,解得x=,所以BD=,所 以O(shè)D=,又OD=4+=,故O點(diǎn)的坐標(biāo)為,故選C.,6.(2018吉林,14,3分)我們規(guī)定:等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”,記作k.若k=,則該等腰三角形的頂角為度.,答案36,解析設(shè)等腰三角形的頂角為x度,則一個(gè)底角的度數(shù)為2x度,由x+22x=180 x=36.故頂角為36度.,7.(2017四川綿陽,17,3分)將形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形如圖所示放置,點(diǎn)D在AB邊上,DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),腰DF和底邊DE分別交CAB的兩腰CA,CB于M,N兩點(diǎn).若CA=5,AB=6,ADAB=13,則MD+的

18、最小值為.,答案2,解析B+BDN+BND=180,BDN+FDE+ADM=180,B=FDE,BND=ADM, 又B=A,BDNAMD, =, DNAM=MDBD. ADAB=13, BD=AB=4, DNAM=4MD. 設(shè)MD=x, 則MD+=MD+=x+=()2-2+2=+2, 當(dāng)=,即x=時(shí),MD+取得最小值,為2.,8.(2014江蘇揚(yáng)州,10,3分)若等腰三角形的兩條邊長分別為7 cm和14 cm,則它的周長為cm.,答案35,解析等腰三角形的兩腰相等,若第三邊長為7 cm,則7+7=14 cm,不能構(gòu)成三角形;若第三邊長為14 cm,則7+14=21 cm14 cm,符合三角形三

19、邊關(guān)系,所以周長為7+14+14=35 cm.,9.(2014山西,16,3分)如圖,在ABC中,BAC=30,AB=AC,AD是BC邊上的中線,ACE= BAC,CE交AB于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,若BC=2,則EF的長為.,答案-1,解析在DF上取點(diǎn)G,使DG=DC,連接CG. AB=AC,AD為BC邊上的中線, ADBC,CAD=BAD=BAC=15, CDG為等腰直角三角形,DCG=45. ACE=BAC,ACE=CAD,AF=CF. ACE=BAC=15,DCG=45, ACB=75, FCG=75-15-45=15,BAD=FCG. 又AFE=CFG,AF=CF, AFECFG(ASA

20、),EF=FG. AB=AC,AD為BC邊上的中線, CD=BC=1. DCF=75-15=60,DF=DC=. 又DG=DC=1,EF=FG=DF-DG=-1.,10.(2014內(nèi)蒙古呼和浩特,13,3分)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36,則該等腰三角形的底角的度數(shù)為.,答案63或27,解析在三角形ABC中,設(shè)AB=AC,BDAC于D. 若三角形是銳角三角形,則A=90-36=54, 此時(shí),底角=(180-54)2=63; 若三角形是鈍角三角形,則BAC=36+90=126, 此時(shí),底角=(180-126)2=27. 綜上,該等腰三角形底角的度數(shù)是63或27.,11.(2017北京,

21、19,5分)如圖,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于點(diǎn)D. 求證:AD=BC.,證明AB=AC,A=36, ABC=C=72. BD平分ABC, ABD=36, ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72, BDC=C, BD=BC,AD=BC.,12.(2015北京,20,5分)如圖,在ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,BEAC于點(diǎn)E. 求證:CBE=BAD.,證明AB=AC,AD是BC邊上的中線, ADBC,BAD=CAD. BEAC, BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,13.(201

22、4浙江杭州,18,8分)在ABC中,AB=AC,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,AE=AF,BF與CE相交于點(diǎn)P.求證:PB=PC,并直接寫出圖中其他相等的線段.,解析在AFB和AEC中, AF=AE,A為公共角,AB=AC, 所以AFBAEC, 所以ABF=ACE. 因?yàn)锳B=AC,所以ABC=ACB, 所以PBC=PCB, 所以PB=PC. 其余相等的線段有:BF=CE;PE=PF;BE=CF.,1.(2017四川綿陽,11,3分)如圖,直角ABC中,B=30,點(diǎn)O是ABC的重心,連接CO并延長交AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EFAB交BC于點(diǎn)F,連接AF交CE于點(diǎn)M,則的值為() A.B.C.D.,考

23、點(diǎn)二直角三角形,答案D在RtABC中,點(diǎn)O是ABC的重心, OC=CE,CE=AE=EB, B=BCE=30,CAE=ECA=60, CAE是等邊三角形. EFAB,FEB=90, CEF=30, CF=EF, AF平分CAB, AM垂直平分CE, CM=CE, MO=CE=CM. MF=CMtan 30=CM, =,故選D.,2.(2015北京,6,3分)如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開,若測(cè)得AM的長為1.2 km,則M,C兩點(diǎn)間的距離為() A.0.5 kmB.0.6 km C.0.9 kmD.1.2 km,答案DACBC,M是AB的中點(diǎn),MC=AB=AM=1

24、.2 km.故選D.,3.(2018河南,15,3分)如圖,MAN=90,點(diǎn)C在邊AM上,AC=4,點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn),連接BC,ABC 與ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱.點(diǎn)D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),連接DE并延長交AB所在直線于點(diǎn)F,連接AE.當(dāng)AEF為直角三角形時(shí),AB的長為.,答案4或4,解析(1)當(dāng)點(diǎn)A在直線DE下方時(shí),如圖1,CAF=90,EAFCAF,AEF為鈍角三角形,不符合;(2)當(dāng)點(diǎn)A在直線DE上方時(shí),如圖2.當(dāng)AFE=90時(shí),DEAB,EDA=90,ABAC.由對(duì)稱知四邊形ABAC為正方形,AB=AC=4;當(dāng)點(diǎn)A在直線DE上方時(shí),如圖3.當(dāng)AEF=90時(shí),AEAC,所以A

25、EC=ACE=ACE,AC=AE.AE=EC,ACE為等邊三角形,ACB=ACB=60,在RtACB中,AB=ACtan 60=4;當(dāng)點(diǎn)A在直線DE上方時(shí), EAFCAB,不可能為90. 綜上所述,當(dāng)AEF為直角三角形時(shí),AB的長為4或4. 圖1,圖2 圖3,4.(2015貴州遵義,16,4分)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖(1),圖(2)由弦圖變化得到,它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3.若正方形EFGH的邊長為2,則S1+S2+S3=.,答案12,解析設(shè)A

26、H=a,AE=b,EH=c,則c=2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12.,5.(2015江西南昌,14,3分)如圖,在ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AOC =60,則當(dāng)PAB為直角三角形時(shí),AP的長為.,答案2或2或2,解析由題意知,滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)位置.如圖,APB=90,因?yàn)镺A=OB=2,所以O(shè)P=OA=2,又因?yàn)锳OC=60,所以POA為等邊三角形,所以AP=2. 如圖,APB=90,因?yàn)镺A=OB=2,所以O(shè)P=OA=OB=2,又AOC=BOP=60,所以O(shè)BP為等邊三角形,所以

27、OBP=60,所以O(shè)AP=30,所以AP=ABcosOAP=4=2. 如圖,ABP=90, 因?yàn)锽OP=AOC=60, 所以BP=OBtan 60=2. 在RtABP中,AP=2. 綜上所述,AP的長為2或2或2.,6.(2014貴州貴陽,15,4分)如圖,在RtABC中,BAC=90,AB=AC=16 cm,AD為BC邊上的高,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AD方向以 cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).設(shè)ABP的面積為S1,矩形PDFE的面 積為S2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0t8),則t=秒時(shí),S1=2S2.,答案6,解析由題意可知RtADC、RtAPE和RtEFC都是等腰直角三角形,AD=DC=BD=8 cm.因

28、為AP=t cm,所以DP=EF=FC=(8-t)cm,DF=t cm,所以S1=APBD=t8 =8t cm2,S2=PDDF=(8-t)t=(-2t2+16t)cm2,所以當(dāng)S1=2S2時(shí),有8t=-4t2+32t,解得t=6.,7.(2014湖北武漢,16,3分)如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,則BD的長為.,答案,解析作ADAD,且使AD=AD,連接CD,DD,如圖. 由已知條件可得BAC+CAD=DAD+CAD,即BAD=CAD. 在BAD與CAD中, BADCAD(SAS), BD=CD.又DAD=90,由勾股定理得DD= =4,易知DD

29、A+ADC =90,由勾股定理得CD=, BD=CD=.,8.(2018安徽,23,14分)如圖1,RtABC中,ACB=90.點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn),DEAB于點(diǎn)E.點(diǎn)M為BD的中點(diǎn),CM的延長線交AB于點(diǎn)F. (1)求證:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如圖2,若DAECEM,點(diǎn)N為CM的中點(diǎn).求證:ANEM.,圖1 圖2,解析(1)證明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M為斜邊BD的中點(diǎn), CM=BD. 又DEAB,同理,EM=BD, CM=EM.(4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2

30、(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100.(9分) (3)證明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等邊三角形, MEF=DEF-DEM=30. 證法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,又NM=CM=EM=AE, FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF. =. 又AFN=EFM, AFNEFM, NAF=MEF, ANEM.(14分) 證法二:連接AM,則EAM=EMA=MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=M

31、D, ACM=(180-30)=75. 由可知AC=AM,又N為CM的中點(diǎn), ANCM,又EMCF,ANEM.(14分),9.(2017北京,28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B,C不重合),連接AP,延長BC至點(diǎn)Q,使得CQ=CP,過點(diǎn)Q作QHAP于點(diǎn)H,延長QH交AB于點(diǎn)M. (1)若PAC=,求AMQ的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.,解析(1)ACB是等腰直角三角形, CAB=45, PAB=45-. QHAP, AMQ=90-PAB=45+. (2)線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系為PQ=MB. 證明:

32、連接AQ,過點(diǎn)M作MNBQ于點(diǎn)N,如圖. 則MNB為等腰直角三角形,MB=MN. ACBQ,CQ=CP, AP=AQ,QAC=PAC. QAM=BAC+QAC=45+QAC=45+PAC=AMQ,QA=QM. MQN+APQ=PAC+APQ=90, MQN=PAC,MQN=QAC, RtQACRtMQN, QC=MN,PQ=2QC=2MN=MB.,10.(2016北京,23,5分)如圖,在四邊形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點(diǎn),連接BM,MN,BN. (1)求證:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的長.,解析(1)證明:在AB

33、C中,ABC=90,M為AC的中點(diǎn), BM=AC. N為CD的中點(diǎn), MN=AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. AC=AD=2, BM=MN=1. 在RtBMN中,BN=.,11.(2016廣東,21,7分)如圖,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD為較短的直角邊向CDB的同側(cè)作RtDEC,滿足E=30,DCE=90,再用同樣的方法作RtFGC,FCG=90,繼續(xù)用同樣的方法作RtHIC,HC

34、I=90.若AC=a,求CI的長.,解析RtABC中,B=30,ACB=90, A=60.(1分) CDAB, ADC=90,ACD=30.(2分) AC=a, RtADC中,AD=AC=,CD=AD=a.(4分) 同理可得,RtDFC中,DF=CD=a,CF=DF=a.(5分) RtFHC中,FH=CF=a,CH=FH=a,(6分) RtCHI中,CI=CH=a.(7分),評(píng)析本題考查直角三角形的基本性質(zhì)與運(yùn)算.,12.(2016安徽,23,14分)如圖1,A,B分別在射線OM,ON上,且MON為鈍角.現(xiàn)以線段OA,OB為斜邊向MON的外側(cè)作等腰直角三角形,分別是OAP,OBQ,點(diǎn)C,D,E

35、分別是OA,OB,AB的中點(diǎn). (1)求證:PCEEDQ; (2)延長PC,QD交于點(diǎn)R. 如圖2,若MON=150,求證:ABR為等邊三角形; 如圖3,若ARBPEQ,求MON的大小和的值.,解析(1)證明:點(diǎn)C,D,E分別是OA,OB,AB的中點(diǎn), DEOC,CEOD. 四邊形ODEC為平行四邊形,OCE=ODE. 又OAP,OBQ都是等腰直角三角形, PCO=QDO=90, PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ. 又PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ, PCEEDQ.(5分) (2)證明:如圖,連接OR. PR與QR分別為線段OA與OB的中垂線,AR=OR=BR,A

36、RC=ORC,ORD=BRD. 在四邊形OCRD中,OCR=ODR=90,MON=150, CRD=30. ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60. ABR為等邊三角形.(9分) 由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE. 又AOED,CED=ACE, PEQ=CED-CEP-DEQ=ACE-CEP-CPE=ACE-RCE=ACR=90, 即PEQ為等腰直角三角形. ARBPEQ,ARB=90. 于是在四邊形OCRD中, OCR=ODR=90,CRD=ARB=45, MON=135. 此時(shí)P,O,B在一條直線上,PAB為直角三角形且APB為直角,所以AB=2PE=2PQ=,PQ

37、,則=.(14分),A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一等腰三角形,三年模擬,1.(2018云南昆明盤龍模擬,4)如圖,在ABC中,B=C,AD平分BAC,AB=5,BC=6,則AD= () A.3B.4C.5D.6,答案BB=C,AB=AC,AD平分BAC,ADBC,BD=CD=BC=3,在RtABD 中,AB=5,BD=3,AD=4,故選B.,2.(2016河北石家莊裕華,9)已知等腰三角形的頂角是84,則一腰上的高與底邊所成的角的度數(shù)是() A.42B.60C.36D.46,答案A如圖,在ABC中,AB=AC,BD是邊AC上的高. A=84,且AB=AC, ABC=C=(180-8

38、4)2=48, 在RtBDC中,BDC=90,C=48, DBC=90-48=42. 故選A.,3.(2018湖北襄陽谷城模擬,15)四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn),且AEC是以AC為腰的等腰三角形,則BCE的度數(shù)為.,答案67.5或45或22.5,解析當(dāng)AC=AE時(shí),以A為圓心,AC為半徑作圓,交直線AB于點(diǎn)E. 當(dāng)E在BA的延長線上時(shí),如圖1,易知EAC=135, ACE=BEC=22.5, BCE=BCA+ACE=67.5; 圖1 當(dāng)E在AB的延長線上時(shí),如圖2,易知EAC=45, ACE=67.5, BCE=ACE-ACB=22.5.,圖2,當(dāng)AC=CE時(shí),以C為圓心

39、AC為半徑作圓,交直線AB于點(diǎn)E,如圖3, 圖3 EAC=CEA=45,CBE=90,BCE=45, 綜上,BCE的度數(shù)為67.5或45或22.5.,4.(2017黑龍江哈爾濱南崗,19)若一個(gè)等腰三角形的兩條邊的長度之比為32,則這個(gè)等腰三角形底角的正切值為.,答案2或,解析如圖,作ADBC于點(diǎn)D, 則BD=CD=BC, 若ABBC=32,則 設(shè)AB=3x(x0),則BC=2x, BD=x, AD=2x, 則tan B=2; 若BCAB=32,則 設(shè)BC=3x(x0),則AB=2x, BD=x,AD=x, 則tan B=. 故答案為2或.,5.(2018海南?？谀M,23)已知ABC是等邊三

40、角形,D、E分別是AB、BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B、C不重合),且始終保持BD=CE. (1)當(dāng)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)到如圖1所示的位置時(shí),連接CD,AE,求證:CD=AE; (2)把圖1中的ACE繞著A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到ABF的位置(如圖2),分別連接DF、EF. 找出圖2中所有的等邊三角形(ABC除外),并對(duì)其中一個(gè)給予證明; 試判斷四邊形CDFE的形狀,并說明理由. 圖1 圖2,解析(1)證明:ABC是等邊三角形, BC=CA,B=ECA=60. 又BD=CE,BCDCAE, CD=AE. (2)題圖2中有2個(gè)等邊三角形(ABC除外),分別是BDF,AFE. 現(xiàn)證明BDF為等邊三角形. 由題設(shè)

41、,知ACEABF, CE=BF,ECA=ABF=60, 又BD=CE,BD=CE=BF, BDF是等邊三角形. (提示:證明AF=AE,FAE=60,從而得出AFE是等邊三角形.) 四邊形CDFE是平行四邊形.理由如下: FDB=ABC=60,FDEC. 又FD=FB=EC,四邊形CDFE是平行四邊形.,6.(2016黑龍江龍東,26)在ABC中,AB=AC,BAC=60,點(diǎn)E為直線AC上一點(diǎn),點(diǎn)D為直線BC上一點(diǎn),且DA=DE. 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),如圖,易證:BD+AB=AE; 當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí),如圖、圖,猜想線段BD,AB和AE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,寫出你的猜想,并選擇一種

42、給予證明.,解析題圖中,結(jié)論:BD+AE=AB. 證明:作EMAB交BC于M,如圖, ABC是等邊三角形, ABC=C=BAC=60,AB=BC=AC, CEM=CAB=60,CME=CBA=60, CME是等邊三角形, CE=CM=EM,EMC=60,AE=BM, DA=DE,DAE=DEA, BAC+DAB=C+EDM,DAB=EDM, 由EMAB,可知ABD=EMD, 在ABD和DME中,ABDDME, DB=EM=CM,又AE=BM, DB+AE=CM+BM=BC=AB. 題圖中,結(jié)論:BD-AE=AB. 證明:作EMAB交CB的延長線于M,如圖, ABC是等邊三角形, ABC=C=B

43、AC=60,AB=BC=AC,CEM=CAB=60,CME=CBA=60, CME是等邊三角形, CE=CM=EM,EMC=MEC=60,AE=BM, DA=DE,DAE=DEA, C+ADC=MEC+DEM, ADB=DEM, 由EMAB可知,ABD=EMD, 在ABD和DME中, ABDDME,DB=EM=CM,又AE=BM, DB-AE=CM-BM=BC=AB.,1.(2018云南昭通昭陽模擬,2)若一直角三角形兩邊長分別為12和5,則第三邊的長為() A.13B.13或C.13或15D.15,考點(diǎn)二直角三角形,答案B當(dāng)斜邊長是12時(shí),第三邊的長是=;當(dāng)一直角邊長是12時(shí),第三邊的長 是

44、=13.故選B.,2.(2016黑龍江龍東,8)如圖,在ABC中,ACB=90,BE平分ABC,EDAB于D.如果A=30,AE=6 cm,那么CE等于() A. cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm,答案CEDAB,A=30,AE=2ED, AE=6 cm,ED=3 cm, ACB=90,BE平分ABC, ED=CE=3 cm. 故選C.,3.(2017上海靜安,18)一張直角三角形紙片ABC,ACB=90,AB=24,tan B=,將它沿EF折疊,使 直角頂點(diǎn)C與斜邊AB的中點(diǎn)D重合,那么折痕EF的長為.,答案13,解析連接CD,交EF于點(diǎn)O, CD是斜邊AB上的中線, DC=DB=A

45、B=12,DCB=B, 由題意得,EF是CD的垂直平分線, OEC+OCE=90,CO=OD=6, 又DCB+OCE=90, OEC=DCB=B, tan B=,tanOEC=, 設(shè)CF=2x(x0),則CE=3x,由勾股定理得,EF=x,則2x3x=x6,解得x=(舍去x=0), EF=13.故答案為13.,4.(2016吉林長春,12)如圖,在RtABC中,ABC=90,按如下步驟作圖: 分別以點(diǎn)B、C為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)M和N; 作直線MN,交AC于點(diǎn)D; 連接BD. 若AC=8,則BD的長為.,答案4,解析由題意可得MN是線段BC的垂直平分線, 則ABMN, M

46、N垂直平分BC,D是AC的中點(diǎn), BD是直角三角形ABC斜邊上的中線, BD=AC=4.,5.(2018湖北襄陽保康4月模擬,18) (1)探究發(fā)現(xiàn):如圖1,ABC為等邊三角形,點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn),DCE=30,DCF=60且CF=CD. 求EAF的度數(shù); DE與EF相等嗎?請(qǐng)說明理由. (2)類比探究:如圖2,ABC為等腰直角三角形,ACB=90,點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn),DCE=45,CF=CD,CFCD,請(qǐng)直接寫出: EAF的度數(shù); 線段AE,ED,DB之間的數(shù)量關(guān)系.,解析(1)ABC是等邊三角形, AC=BC,BAC=B=ACB=60, DCF=60,ACB=DCF,ACF=BCD,

47、在ACF和BCD中, ACFBCD(SAS),CAF=B=60, EAF=BAC+CAF=120. DE=EF.理由如下: DCF=60,DCE=30,FCE=60-30=30, DCE=FCE, 在DCE和FCE中, DCEFCE(SAS), DE=EF.,(2)ABC是等腰直角三角形,ACB=90, AC=BC,BAC=B=45, DCF=90,ACB=DCF,ACF=BCD, 在ACF和BCD中, ACFBCD(SAS), CAF=B=45,AF=DB, EAF=BAC+CAF=90. AE2+DB2=DE2.理由如下: DCF=90,DCE=45,FCE=90-45=45, DCE=F

48、CE, 在DCE和FCE中, DCEFCE(SAS),DE=EF,在RtAEF中,AE2+AF2=EF2, 又AF=DB,AE2+DB2=DE2.,B組20162018年模擬提升題組 (時(shí)間:40分鐘分值:50分) 一、選擇題(每小題3分,共6分),1.(2018天津河?xùn)|一模,11)如圖,在底邊BC為2,腰AB為2的等腰三角形ABC中,DE垂直平分 AB,交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,則ACE的周長為() A.2+B.2+2C.4D.3,答案BDE垂直平分AB, BE=AE, AE+CE=BC=2, ACE的周長=AC+AE+CE=AC+BC=2+2, 故選B.,2.(2016遼寧大連,8)如圖

49、,在ABC中,C=90,AC=2,點(diǎn)D在BC上,ADC=2B,AD=,則BC 的長為() A.-1B.+1C.-1D.+1,答案DC=90, DC=1, ADC=B+BAD,ADC=2B, B=BAD, BD=AD=, BC=+1.,3.(2018貴州黔南州一模,19)如圖,已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)ODP是腰長為5的等腰三角形時(shí),則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.,二、填空題(每小題3分,共15分),答案(2,4)或(3,4)或(8,4),解析當(dāng)OD=PD(P在D右邊)時(shí), 如圖1,過P作PQx軸于Q, 圖1 在RtDPQ中,P

50、Q=4,PD=OD=OA=5, 根據(jù)勾股定理得DQ=3, 故OQ=OD+DQ=5+3=8,則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(8,4);,當(dāng)OD=PD(P在D左邊)時(shí),如圖2,過P作PQx軸于Q, 圖2 在RtDPQ中,PQ=4,PD=OD=5, 根據(jù)勾股定理得,QD=3,故OQ=OD-QD=5-3=2,則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4); 當(dāng)PO=OD時(shí),如圖3,過P作PQx軸于Q,圖3 在RtOPQ中,OP=OD=5,PQ=4, 根據(jù)勾股定理得,OQ=3,則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4). 綜上,滿足題意的P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)或(3,4)或(8,4).,4.(2018湖北武漢武昌一模,15)如圖,四邊形ABDC中,ABC

51、D,AC=BC=DC=4,AD=6,則BD=.,答案2,解析如圖,延長BC至點(diǎn)E,使CE=BC,連接DE. BC=CD,CD=BC=CE=4, BDE=90,BE=8. AC=BC,ABC=BAC, ABCD, ABC=DCB=BAC,BAC+DCA=180, 又DCB+DCE=180,DCE=DCA, 在ECD與ACD中, DCEDCA(SAS), ED=AD=6. 在RtBDE中,BE=8,ED=6, BD=2.,5.(2017湖北武漢,15)如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)B是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以AB為邊作等腰直角三角形ABC,使BAC=90,取BC的中點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)B從點(diǎn)O沿x軸正半

52、軸移動(dòng)到點(diǎn)M(2,0)時(shí),點(diǎn)P移動(dòng)的距離為.,答案,解析如圖1所示,過P作PDx軸于D,作PEy軸于E,則DPE=90,AEP=BDP=90,連接AP, 圖1 ABC是等腰直角三角形,P是BC的中點(diǎn), AP=BC=BP,且APBC,即APB=90, APE=BPD, 在AEP和BDP中,AEPBDP(AAS),PE=PD, 點(diǎn)P沿AOM的平分線的方向移動(dòng), 如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí),AB=AO=1,OC=, OP=OC=; 圖2 如圖3所示,當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí),過P作PDx軸于D,作PEy軸于E,連接AP,OP,圖3,由AEPBDP,可得AE=BD, 設(shè)AE=BD=x(x0),則OE=1+x,OD=2-x, 易知四邊形ODPE是正方形, OD=OE,即2-x=1+x, 解得x=, OD=2-=, 在等腰直角三角形OPD中,OP=OD=,當(dāng)點(diǎn)B從點(diǎn)O沿x軸正半軸移動(dòng)到點(diǎn)M時(shí),點(diǎn)P移動(dòng)的距離為-=.,6.(2016遼寧撫順,16)如圖,RtABC