1、1,33 隨機(jī)向量的函數(shù)的分布與數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布,二、連續(xù)型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布,三、隨機(jī)向量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,四、數(shù)學(xué)期望的進(jìn)一步性質(zhì),2,一、離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布,設(shè)(X Y)是二維離散型隨機(jī)向量 g(x y)是一個(gè)二元函數(shù) 則g(X Y)作為(X Y)的函數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量 如果(X Y)的概率分布為 PXxi Yyjpij i j12 記zk(k1 2 )為Zg(X Y)的所有可能取值 則Z的概率分布為,PZzkPg(X Y)zk,3,例312(1) 已知(X Y)的概率分布 求XY的概率分布,XY的可能取值有 1 0 1 2 3 4 的概率分布為,解,P1

2、PXY1,PX0 Y1,01,P0PXY0,PX0 Y0PX1 Y1,05,P1PXY1,02,PX1 Y0PX2 Y1,P2PXY2,PX0 Y2PX2 Y0,0,P3PXY3,PX1 Y2,01,P4PXY4,PX2 Y2,01,4,例312(2) 已知(X Y)的概率分布 求XY的概率分布,XY的可能取值有 2 1 02, 4 的概率分布為,解,P2,PX2 Y1,015,P1,PX1 Y1,03,P0,PX0 Y1PX0 Y0PX0 Y2,PX1 Y0PX2 Y0,035,P2,PX1 Y2,01,P4,PX2 Y2,01,5,PkPXYk,例313 設(shè)X Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

3、分別服從參數(shù)為1和2的泊松分布 求XY的分布,解,可見XY服從參數(shù)為12的泊松分布,6,二、連續(xù)型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布,設(shè)(X Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量 其概率密度函數(shù)為f(x y) 令g(x y)為一個(gè)二元函數(shù) 則Zg(X Y)的分布函數(shù)為,FZ(z)PZz,Pg(X Y)z,P(X Y)Dz,其中Dz(x y)|g(x y) z 繼而 其密度函數(shù)fZ(z) 對幾乎所有的 z 有,7,例314(隨機(jī)變量的和) 設(shè)(X Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x y) 求XY的密度函數(shù),對任意z 令Dz(x y)| xyz 則,解,FZ(z)PZzPXYz,8,例314(隨機(jī)變量的和) 設(shè)(X Y)的聯(lián)合密度

4、函數(shù)為f(x y) 求XY的密度函數(shù),對任意z 令Dz(x y)| xyz 則,解,FZ(z)PZzPXYz,于是 有,易見 交換積分次序 我們亦可得到,特別地 如果X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 則,9,證明,10,證明,11,獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和的分布,則其任意非零線性組合仍服從正態(tài)分布 且,其中a b不全為0 這一結(jié)論還可以推廣到n個(gè)隨機(jī)變量的情形,12,例316 設(shè)二維隨機(jī)向量(X Y)的密度函數(shù)為f(x y) 求ZX/Y的密度函數(shù),解,于是Z的密度函數(shù)為,隨機(jī)變量的商的分布,13,例317(1) 設(shè)X Y的分布函數(shù)分別為F(x) G(x) 密度函數(shù)分別為f(x) g(x) 且X與Y相互獨(dú)

5、立 求MmaxX Y的分布函數(shù)與密度函數(shù),FM(z)PMz,解,PXz Yz,PXzPYz,F(z)G(z) (346),于是M的密度函數(shù)為,f(z)G(z)F(z)g(z) (347),F (z)G(z)F(z)G(z),隨機(jī)變量的最大值與最小值的分布,M的分布函數(shù)為,14,N的分布函數(shù)為,FN(z)PNz,P(XzYz),1PXz Yz,1PXzPYz,11F(z)1G(z) (348),于是N的密度函數(shù)為,隨機(jī)變量的最大值與最小值的分布,例317(2) 設(shè)X Y的分布函數(shù)分別為F(x) G(x) 密度函數(shù)分別為f(x) g(x) 且X與Y相互獨(dú)立 求NminX Y的分布函數(shù)與密度函數(shù),解

6、,f(z)1G(z)g(z)1F(z) (349),15,例318 設(shè)二維隨機(jī)向量(X Y)在矩形G(x y)|0x2 0y1上服從均勻分布 試求邊長為X和Y的矩形面積S的密度函數(shù)f(s),解,令F(s)為S的分布函數(shù),則當(dāng)s0時(shí) F(s)PSs0,于是,當(dāng)0s2時(shí) 有,當(dāng)s2時(shí) F(s) PSs1,16,三、隨機(jī)向量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,設(shè)隨機(jī)向量(X Y)的函數(shù)Zg(X Y)的數(shù)學(xué)期望存在,(1)設(shè)(X Y)是二維離散型隨機(jī)向量 其概率分布為 PXxi Yyjpij i j1 2 ,(2)設(shè)(X Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量 其密度函數(shù)為f(x y),17,解,18,例320 已知隨機(jī)向量(X Y

7、)的概率分布 求EXY,EXY,解,0,2201,200,2(1)015,1201,10005,1(1)03,020,0002,0(1)01,19,例321 一商店經(jīng)銷某種商品 每周進(jìn)貨量X與顧客對該商品的需求量Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 且都服從區(qū)間10 20上的均勻分布 商店每售出一單位商品可得利潤1000元 若需求量超過進(jìn)貨量 商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng) 這時(shí)每單位商品獲利潤為500元 試計(jì)算此商品經(jīng)銷商經(jīng)銷該種商品每周所獲平均利潤,設(shè)Z表示商店每周所獲利潤 由題設(shè)有,解,由于(X Y)的密度函數(shù)為,20,設(shè)Z表示商店每周所獲利潤 由題設(shè)有,解,由于(X Y)的密度函數(shù)為,所以有,1416667(元),21,四、數(shù)學(xué)期望的進(jìn)一步性質(zhì),性質(zhì)1 對任意兩個(gè)隨機(jī)變量X