第第頁(yè)專題4.2角（知識(shí)梳理+17個(gè)考點(diǎn)講練+中考真題演練+難度分層練共59題）TOC\o"1-2"\h\u知識(shí)梳理技巧點(diǎn)撥 2知識(shí)點(diǎn)梳理01：角的概念 2知識(shí)點(diǎn)梳理02：角度制及其換算 3知識(shí)點(diǎn)梳理03：角的比較與運(yùn)算 3知識(shí)點(diǎn)梳理04：方位角 4知識(shí)點(diǎn)梳理05：鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題 5優(yōu)選題型考點(diǎn)講練 5考點(diǎn)1：角的概念理解 5考點(diǎn)2：角的表示方法 6考點(diǎn)3：角的分類 6考點(diǎn)4：畫特殊角 7考點(diǎn)5：鐘面角 8考點(diǎn)6：方向角的表示 9考點(diǎn)7：與方向角有關(guān)的計(jì)算題 10考點(diǎn)8：角的單位與角度制 11考點(diǎn)9：角的度數(shù)大小比較 11考點(diǎn)10：角的比較 12考點(diǎn)11：三角板中角度計(jì)算問(wèn)題 13考點(diǎn)12：幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題 14考點(diǎn)13：角度的四則運(yùn)算 15考點(diǎn)14：實(shí)際問(wèn)題中角度計(jì)算問(wèn)題 16考點(diǎn)15：角平分線的有關(guān)計(jì)算 17考點(diǎn)16：角n等分線的有關(guān)計(jì)算 19考點(diǎn)17：尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角 21中考真題實(shí)戰(zhàn)演練 22難度分層拔尖沖刺 22基礎(chǔ)夯實(shí) 22培優(yōu)拔高 26知識(shí)點(diǎn)梳理01：角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．【點(diǎn)石成金】（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：【點(diǎn)石成金】用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．知識(shí)點(diǎn)梳理02：角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．【點(diǎn)石成金】在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．知識(shí)點(diǎn)梳理03：角的比較與運(yùn)算1.角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．【點(diǎn)石成金】(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．【點(diǎn)石成金】由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．知識(shí)點(diǎn)梳理04：方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．【點(diǎn)石成金】（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說(shuō)成“東偏北30°”．（3）在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)梳理05：鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．考點(diǎn)1：角的概念理解【典例精講】（24-25七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC平分∠DOB．(1)圖中小于平角的角共有_____個(gè)；（直接寫出答案）(2)若∠COB=36°，求∠DOB的大??；(3)尺規(guī)作圖：作∠DOE=∠BOC（OE不與OC重合），請(qǐng)直接寫出∠BOE=_____∠BOC．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）下列結(jié)論中：①?7.5>?1；②長(zhǎng)方形的面積一定，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬成反比例關(guān)系；③線段和射線可度量；④角的大小與邊的長(zhǎng)短有關(guān)．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)2：角的表示方法【典例精講】（24-25七年級(jí)上·貴州黔南·階段練習(xí)）如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．(1)請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，圖中有______個(gè)小于平角的角；(2)求出∠BOD的度數(shù)；(3)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明OE是否平分∠BOC．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖所示，在已知銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，圖中共有3個(gè)角；畫2條射線，圖中共有6個(gè)角；畫3條射線，圖中共有10個(gè)角；按此規(guī)律，畫n條射線，共有個(gè)角．考點(diǎn)3：角的分類【典例精講】（22-23七年級(jí)上·黑龍江佳木斯·期末）下列各圖中有關(guān)角的表示正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練】（21-22七年級(jí)上·江西贛州·期末）按照要求作圖：(1)畫直線AC，連接BD與AC相交于點(diǎn)О；(2)畫射線AB，反向延長(zhǎng)線段CD與射線AB相交于點(diǎn)G．(3)以A為頂點(diǎn)的銳角有_______________個(gè)．考點(diǎn)4：畫特殊角【典例精講】（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知∠AOB=70°，∠AOC與∠AOB互為余角，∠BOD與∠AOB互為補(bǔ)角，OE是∠COD的平分線．(1)畫出符合條件的所有可能的圖形；(2)從得到的圖形中選擇一個(gè)圖形求出∠COE的度數(shù)，其余直接寫出∠COE的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】（23-24七年級(jí)上·江蘇常州·期末）觀察下列圖形，利用格點(diǎn)畫圖（每個(gè)方格邊長(zhǎng)為一個(gè)單位）：

(1)畫線段AB；(2)在線段AB上方畫∠EAB=90°，在射線AE上取三個(gè)單位長(zhǎng)的AC；(3)取AB的中點(diǎn)O，連接CO并延長(zhǎng)CO到點(diǎn)D，使OD=OC；(4)連接AD、(5)請(qǐng)你寫出在你所畫圖中相等的線段（除OD=OC外）考點(diǎn)5：鐘面角【典例精講】（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）某校為了緩解上午放學(xué)餐廳擁擠，同時(shí)給學(xué)生們營(yíng)造輕松的就餐環(huán)境，特實(shí)施分年級(jí)錯(cuò)時(shí)放學(xué)，初一年級(jí)上午11：35放學(xué)，此時(shí)鐘表上時(shí)針與分針的夾角是（

）A．120° B．130.5° C．135° D．137.5°【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，當(dāng)時(shí)鐘指向上午9:10時(shí)，時(shí)針與分針較小的夾角是（

）A．130° B．135° C．140° D．145°考點(diǎn)6：方向角的表示【典例精講】（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）按照上北下南、左西右東的規(guī)定，畫出表示東、南、西、北的十字線，然后在圖上畫出表示下列方向的射線：（1）北偏西30°；

（2）南偏東75°；（3）北偏東40°；

（4）西南（南偏西45°）．【變式訓(xùn)練】（24-25八年級(jí)下·河北石家莊·期中）如圖，是小明家和學(xué)校所在地的簡(jiǎn)單地圖，已知OA=2cm,OB=2.5cm,OP=4cm(1)圖中距小明家距離相同的是哪些地方？(2)商場(chǎng)、學(xué)校、公園、停車場(chǎng)分別在小明家的什么方位？哪兩個(gè)地方的方位是相同的？(3)若學(xué)校距離小明家400m，那么商場(chǎng)和停車場(chǎng)分別距離小明家多少米？考點(diǎn)7：與方向角有關(guān)的計(jì)算題【典例精講】（24-25七年級(jí)上·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，學(xué)校A在小明家B北偏東48°的方向上，點(diǎn)C表示超市所在的位置，∠CBA=90°，則超市C在小明家的方向上（

）A．北偏西58° B．北偏西42° C．西偏北42° D．西偏北58°【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知O為直線AB上的一點(diǎn)，∠COE=90°，AB⊥MN．(1)如圖①，以O(shè)為觀察中心，射線OA表示正北方向，ON表示正東方，若∠CON=17°，則射線OE的方向是________；若將射線OC、射線OE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，另一條射線OF恰好平分∠COM．若∠EOF=20°，求∠AOF的度數(shù)；(2)若將射線OC、射線OE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，射線OF仍然平分∠COM，∠CON與∠AOF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)8：角的單位與角度制【典例精講】（24-25七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）計(jì)算：?20??8?7+?4；(2)2×64°37′；【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·天津西青·期末）在同一平面內(nèi)有∠AOB=70°52′A．106°12′ B．35°32′ C．考點(diǎn)9：角的度數(shù)大小比較【典例精講】（24-25七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．工人砌墻時(shí)在兩端的位置分別插一根木樁，原理是：兩點(diǎn)之間，線段最短B．連接兩點(diǎn)之間的線段就是兩點(diǎn)之間的距離C．20°1D．若AB=2CB，則點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)【變式訓(xùn)練】（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）李老師到數(shù)學(xué)王國(guó)去散步，剛走到“角”的家門，就聽到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A說(shuō)：“我是37°18′，我應(yīng)該最大！”考點(diǎn)10：角的比較【典例精講】（24-25七年級(jí)上·北京大興·期末）如圖，點(diǎn)A是射線OB外一點(diǎn)．按下列語(yǔ)句畫圖并回答問(wèn)題：(1)畫射線OA；(2)在射線OA上截取AC=OB；(3)連接BC；(4)根據(jù)圖形可得：OB+BCOC（用“>”，“<”或“=”填空）；(5)∠OCB與∠COB的大小關(guān)系是：∠OCB∠COB（用“>”，“<”或“=”填空）【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）（1）通過(guò)學(xué)習(xí)我們知道，比較兩個(gè)角的大小，有兩種方法：方法1：度量法，用量角器測(cè)量?jī)蓚€(gè)角的大小，角度大的角大；方法2：重疊法，把兩個(gè)角的頂點(diǎn)和其中一條邊重合，看另一條邊的情況來(lái)確定．如圖，已知∠ABC=m°，∠DEF=n°，請(qǐng)用重疊法，比較它們的大?。髨A規(guī)和無(wú)刻度的直尺作出圖形，并得出它們的大小關(guān)系．（保留做題痕跡，鉛筆畫圖后，須再用黑色水筆把線條描清楚）（2）已知在同一平面內(nèi)的兩個(gè)角∠AOB=50°，∠BOC=80°，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)．考點(diǎn)11：三角板中角度計(jì)算問(wèn)題【典例精講】（24-25七年級(jí)上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板畫出？在①135°，②125°，③75°，④25°中，小明同學(xué)利用一副三角板畫不出來(lái)的特殊角是______．（填序號(hào)）（2）在探究過(guò)程中，愛動(dòng)腦筋的小明想起了圖形的運(yùn)動(dòng)方式有多種．如圖，他先用三角板畫出了直線EF，然后將一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的頂點(diǎn)與60°角（∠COD）的頂點(diǎn)互相重合，且邊OA、OC都在直線EF上，固定三角板COD不動(dòng)，將三角板AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α，當(dāng)邊OB與射線OF第一次重合時(shí)停止．①當(dāng)OB平分∠EOD時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角度α；②是否存在∠BOC=2∠AOD？若存在，直接寫出旋轉(zhuǎn)角度α；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·貴州六盤水·期末）已知O為直線MN上一點(diǎn)，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OC，使∠CON=50°，將一個(gè)直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．(1)如圖①，若直角三角尺AOB的一邊OB與射線ON重合，則∠AOC=；(2)將直角三角尺AOB擺放至如圖②所示的位置時(shí)，OA恰好平分∠COM，請(qǐng)判斷OB是否平分∠CON，并說(shuō)明理由；(3)將直角三角尺AOB擺放至如圖③所示的位置時(shí)，若恰好∠AOM=3∠BOC，求∠BOM的度數(shù)．考點(diǎn)12：幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【典例精講】（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在∠AOB內(nèi)部任意畫一條射線OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．根據(jù)圖形填空：(1)∠AOB=∠AOC+________；(2)∠COD=_____=1(3)∠DOE=____(4)若∠DOE=60°，則∠AOB=________°；若∠AOB=n°，則∠DOE=________°．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·福建莆田·期末）如圖1，點(diǎn)A為直線MN上一點(diǎn)，AD為射線，∠DAN=50°，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)A處，一邊AB在射線AN上，另一邊AC與AD都在直線MN的上方．(1)將三角板繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若AB恰好平分∠DAN（如圖2），則∠CAM=°．(2)將三角板繞點(diǎn)A在直線MN上方逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB落在∠DAM內(nèi)部，且∠BAD=13∠CAM時(shí)，則∠CAN=(3)將圖1中的三角板和射線AD同時(shí)繞點(diǎn)A，分別以每秒8°和每秒3°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周后停止，求第幾秒時(shí)，AB恰好與AD在同一直線上？考點(diǎn)13：角度的四則運(yùn)算【典例精講】（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）填空題．（1）0.4°=′；

（2）12″=（3）57°31′+17°39′=（4）25°36′×4=°（5）46.8°÷6=°=°′．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)34°25′×3+35°42′；(2)16÷?2考點(diǎn)14：實(shí)際問(wèn)題中角度計(jì)算問(wèn)題【典例精講】（23-24七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，OM，ON，ON始終在OM的右側(cè)，∠BOC=112°，∠MON=α．(1)如圖1，當(dāng)α=70°，OM平分∠BOC時(shí)，求∠NOB的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)OM與OB邊重合，ON在OB的下方時(shí)，a=80°，將∠MON繞O點(diǎn)按每秒4°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n0°<n<180°，使射線ON與∠BOC的角平分線形成夾角為30°(3)當(dāng)∠MON在直線AB上方時(shí)，若α=90°，點(diǎn)F在射線OB上，射線OF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度0°<n<180°，恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，請(qǐng)直接寫出此時(shí)n的值．【變式訓(xùn)練】（22-23七年級(jí)上·河北保定·期末）已知：如圖1，點(diǎn)A，O，B依次在直線MN上，現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)；同時(shí)射線OB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)．如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（0≤t≤90）．下列說(shuō)法正確的是（

）A．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不存在∠AOB=90°的情況B．當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，兩射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間t一定為20秒C．當(dāng)t值為36秒時(shí)，射線OB恰好平分∠MOAD．當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，兩射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間t一定為40秒考點(diǎn)15：角平分線的有關(guān)計(jì)算【典例精講】（24-25七年級(jí)上·廣東東莞·期末）已知銳角∠AOB，點(diǎn)C為平面內(nèi)一點(diǎn)，OM，ON分別平分∠AOC和∠BOC．(1)如圖1，點(diǎn)C為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，求證：∠MON=1(2)如圖2，點(diǎn)C為∠AOB外一點(diǎn)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若成立，請(qǐng)證明；(3)當(dāng)點(diǎn)C在平面內(nèi)其他位置時(shí)，∠MON與∠AOB之間還存在其他的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)畫圖并直接寫出結(jié)論．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·廣西桂林·期末）如圖①，OC是∠AOE內(nèi)部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．(1)若∠AOE=140°，∠COD=30°，求∠BOC=；(2)∠AOE與∠BOD的大小有什么關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；(3)如圖②，如果OC是∠AOE外部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE與∠BOD的大小關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)16：角n等分線的有關(guān)計(jì)算【典例精講】．（24-25七年級(jí)上·貴州六盤水·期末）探究學(xué)習(xí)，尋求真知(1)特例感知：如圖1，已知線段MN=32,AB=6，線段AB在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)A與點(diǎn)M不重合，點(diǎn)B與點(diǎn)N不重合），點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是AM,BN的中點(diǎn)．①若AM=16，則CD=______；②當(dāng)線段AB在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)A與點(diǎn)M不重合，點(diǎn)B與點(diǎn)N不重合），試判斷線段CD的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出線段CD的長(zhǎng)度？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)知識(shí)遷移：我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2，已知∠COD在∠AOF的內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OB和射線OE分別平分∠AOC和∠DOF，請(qǐng)你猜想∠AOF,∠BOE和∠COD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)類比探究：如圖3，∠COD在∠AOF的內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)∠AOB∠BOC=∠EOF∠DOE=k時(shí)，用含k【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·浙江·期末）（1）如圖1，P為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C，D把線段AB三等分，已知線段AB的長(zhǎng)為12cm，求線段CP（2）如圖2，射線OP平分∠AOB，射線OC,OD把∠AOB三等分，若∠COP=θ，求∠AOB的度數(shù)（用含θ的代數(shù)式表示）．考點(diǎn)17：尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角【典例精講】（24-25七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）（1）如圖，已知線段a，b，請(qǐng)用尺規(guī)作圖，求作線段AB，使得AB=2a+b（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖所示，已知∠AOB，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作圖，作一個(gè)角，使它等于2∠AOB（要求用尺規(guī)作圖，不必寫作法，但要保留作圖痕跡)【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期末）點(diǎn)A，O，E在直線l上，小明將三角板如圖放置，使直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合．(1)用尺規(guī)作圖：以O(shè)B為邊作∠BOC，使得∠BOC=∠BOE，且點(diǎn)C與點(diǎn)E在OB的兩側(cè)(保留作圖痕跡)；(2)若∠DOA=3∠BOC.求∠AOC的度數(shù)．1．（2025·江蘇南通·中考真題）上午9時(shí)整，鐘表的時(shí)針和分針構(gòu)成的角的度數(shù)為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°2．（2025·陜西·中考真題）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD平分∠AOC．若∠1=52°，則∠2的度數(shù)為（

）A．76° B．74° C．64° D．52°3．（2023·湖北十堰·中考真題）一副三角板按如圖所示放置，點(diǎn)A在DE上，點(diǎn)F在BC上，若∠EAB=35°，則∠DFC=°．

4．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）74°19′35．（2024·江蘇南京·中考真題）如圖，點(diǎn)A,?O,?B在同一條直線上，OD是∠AOC的平分線，OE是∠BOC的平分線．若∠AOE=162°，則基礎(chǔ)夯實(shí)1．（24-25七年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)作出了∠NCB=∠AOD，作圖痕跡中，弧FG是（

）A．以點(diǎn)C為圓心，OD為半徑的弧 B．以點(diǎn)C為圓心，DM為半徑的弧C．以點(diǎn)E為圓心，OD為半徑的弧 D．以點(diǎn)E為圓心，DM為半徑的弧2．（20-21七年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）如圖所示，鐘表上9:30時(shí)，時(shí)針與分針之間所成的角是（

）A．60° B．90° C．105° D．120°3．（24-25七年級(jí)上·山東棗莊·期末）如圖，將一塊三角尺的60°角的頂點(diǎn)與另一塊三角尺的直角頂點(diǎn)重合．若∠1=27°，則∠2的度數(shù)為（）A．47° B．53° C．57° D．67°4．（24-25七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，已知∠AOB是直角，∠BOC=20°，OD平分∠AOC．則∠AOD的度數(shù)是（

）A．45° B．50° C．55° D．60°5．（24-25七年級(jí)上·福建莆田·期末）如圖，將一副三角尺的兩個(gè)銳角（45°角和60°角）的頂點(diǎn)疊放在一起，沒(méi)有重疊的部分分別記作∠1和∠2，若∠1=23°，則∠2的度數(shù)為．6．（24-25七年級(jí)上·福建福州·期末）如圖，點(diǎn)A在點(diǎn)O的南偏東30°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏東45°方向，則∠AOB的度數(shù)是．7．（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，∠AOB=α，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，畫射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC為半徑畫弧交O′A′于點(diǎn)C′，以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑依次畫弧，分別交前弧于點(diǎn)E、F、G，畫射線O′G，反向延長(zhǎng)O8．（24-25七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，已知∠AOB，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，利用尺規(guī)作圖法在∠AOC內(nèi)作∠AOD，使得∠AOD=∠BOC．（不寫作法，保留作圖痕跡）9．（24-25七年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線，∠AOB=130°．(1)求∠COE的度數(shù)是多少？(2)如果∠COD=20°，求∠BOE的度數(shù)．10．（24-25七年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，且(1)求∠BOC的度數(shù)；(2)①尺規(guī)作圖：在∠AOB內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)O作射線OD，使∠AOD=2∠AOC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②在①的條件下，求∠BOD的度數(shù)．培優(yōu)拔高11．（24-25七年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，將一副三角板疊在一起使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，（兩塊三角板可以在同一平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)），下列結(jié)論一定成立的是（

）A．∠BOA>∠DOC B．∠BOA?∠DOC=90°C．∠BOA+∠DOC=180° D．∠BOC≠∠DOA12．（24-25七年級(jí)上·安徽六安·期末）如圖，已知∠AOB=120°，OE平分∠AOB，射線OC在∠AOE內(nèi)部，∠BOC=90°，作射線OF，使射線OC是∠EOF三等分線，則∠AOF的度數(shù)為（

）A．15° B．30° C．15°或30° D．30°或45°13．（24-25七年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）題目：“一塊含30°角的直角三角板ABC和一塊含45°角的直角三角板BDE拼成如圖1所示的圖案后，三角板BDE固定不動(dòng)，將三角板ABC繞頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，如圖2．當(dāng)∠CBE=∠ABD時(shí)（注：∠CBE,∠ABD均指圖中不超過(guò)180°的角），求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．”對(duì)于其答案，甲答：α=105°，乙答：α=285°，則正確的是（

）A．只有甲答的對(duì)B．只有乙答的對(duì)C．甲、乙答案合在一起才完整D．甲、乙答案合在一起也不完整14．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知∠AOB=80°，∠AOC=10°，OD是∠BOC的平分線，∠DOC的度數(shù)是．15．（24-25七年級(jí)上·四川遂寧·期末）一副三角板按圖1方式拼接在一起，其中邊OA，OC與直線EF重合，∠AOB=45°，∠COD=60°，保持