2025年寧夏（統(tǒng)招專升本）高等數(shù)學考試試題及答案一、選擇題（每題5分，共25分）

1.若函數(shù)f(x)在x=1處可導，且f(1)=2，f'(1)=3，則lim(x→1)[f(x)23(x1)]的值為（）

A.0

B.1

C.3

D.6

答案：A

解析：由洛必達法則，原式可化為lim(x→1)[f'(x)3]，代入f'(1)=3，得lim(x→1)[f'(x)3]=0。

2.設函數(shù)f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。（）

A.(∞，1)和(2，+∞)

B.(∞，0)和(1，+∞)

C.(0，1)和(2，+∞)

D.(∞，2)和(1，+∞)

答案：A

解析：f'(x)=3x^26x，令f'(x)=0，得x=0或x=2。當x<0或x>2時，f'(x)>0；當0<x<2時，f'(x)<0。故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(∞，0)和(2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，2)。

3.設函數(shù)y=f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim(x→0)[f(x)f(0)]/x^2=1，則f'(0)的值為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：由lim(x→0)[f(x)f(0)]/x^2=1，得f(0)=0。又因為f(x)在x=0處可導，故f'(0)=lim(x→0)[f(x)f(0)]/x=1。

4.設函數(shù)f(x)=e^x(x2)，求f(x)的極值。（）

A.極大值f(2)=e^2

B.極小值f(2)=e^2

C.極大值f(0)=2

D.極小值f(0)=2

答案：B

解析：f'(x)=e^x(x1)，令f'(x)=0，得x=1。當x<1時，f'(x)<0；當x>1時，f'(x)>0。故f(x)在x=1處取得極小值，即f(2)=e^2。

5.設函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(0)=0，f(1)=1，則f(x)在(0，1)上必存在一點c，使得f(c)等于（）

A.c

B.1c

C.c^2

D.1c^2

答案：B

解析：由拉格朗日中值定理，存在c∈(0,1)，使得f(c)f(0)=f'(c)c，即f(c)=f'(c)c。又因為f(1)=1，故f(c)=1c。

二、填空題（每題5分，共25分）

6.設函數(shù)f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)的拐點坐標。

答案：(1，3)

解析：f'(x)=3x^212x+9，f''(x)=6x12。令f''(x)=0，得x=2。當x<2時，f''(x)>0；當x>2時，f''(x)<0。故f(x)在x=2處取得拐點，即(2，f(2))=(2，3)。

7.求不定積分∫(1/x^2+1/x)dx。

答案：ln|x|1/x+C

解析：∫(1/x^2+1/x)dx=∫x^(2)dx+∫x^(1)dx=x^(1)x^(1)+C=1/x1/x+C=ln|x|1/x+C。

8.計算定積分∫(0，π)sin(x)dx。

答案：2

解析：∫(0，π)sin(x)dx=cos(x)|(0，π)=cos(π)+cos(0)=2。

9.設函數(shù)f(x)=3x^24x+1，求f(x)的不等式解集。

答案：x∈(∞，1]∪[2，+∞)

解析：f(x)=3x^24x+1=0的解為x=1和x=2。當x<1或x>2時，f(x)>0；當1<x<2時，f(x)<0。故f(x)的不等式解集為x∈(∞，1]∪[2，+∞)。

10.設函數(shù)f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的漸近線方程。

答案：y=x+1

解析：f(x)=x^33x^2+4可化為f(x)=(x1)^2(x+1)+3。當x→±∞時，f(x)→±∞。故f(x)的漸近線方程為y=x+1。

三、解答題（共50分）

11.（本題10分）設函數(shù)f(x)=x^22x+1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值。

答案：f(x)在(∞，0)和(2，+∞)單調(diào)增，在(0，2)單調(diào)減。f(0)=1為極大值，f(2)=1為極小值。

解析：f'(x)=2x2，令f'(x)=0，得x=1。當x<1時，f'(x)<0；當x>1時，f'(x)>0。故f(x)在x=1處取得極小值，即f(2)=1。又因為f(0)=1，故f(0)為極大值。

12.（本題10分）計算定積分∫(0，1)x^3e^xdx。

答案：e3

解析：設I=∫(0，1)x^3e^xdx，對I進行分部積分，得I=x^3e^x|(0，1)∫(0，1)3x^2e^xdx。對I繼續(xù)進行分部積分，得I=e3x^2e^x|(0，1)+∫(0，1)6xe^xdx。再次進行分部積分，得I=e3e+6e6e+6I。解得I=e3。

13.（本題10分）求冪級數(shù)∑(n=0，+∞)(2n+1)x^n的收斂域。

答案：(1/2，1/2)

解析：設u_n=(2n+1)x^n，則u_{n+1}/u_n=[(2n+3)x^(n+1)]/[(2n+1)x^n]=(2n+3)x/(2n+1)。由比值法，得lim(n→∞)|u_{n+1}/u_n|=|x|/2<1，即|x|<2。故冪級數(shù)的收斂域為(1/2，1/2)。

14.（本題20分）設函數(shù)f(x)=e^x(x2)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸性和拐點。

答案：f(x)在(∞，1)單調(diào)增，在(1，+∞)單調(diào)減。f(1)=e為極大值。f(x)在(∞，2)凹，在(2，+∞)凸。f(2)=e^2為拐點。

解析：f'(x)=e^x(x1)，令f'(x)=0，得x=1。當x<1時，f'(x)<0；當x>1時，