第1頁：封面標題：27.3.1圓中的計算——弧長和扇形面積副標題：從圓的部分到實際應(yīng)用的量化求解落款：初中數(shù)學教研組第2頁：學習目標與知識銜接一、學習目標理解弧長、扇形的定義，掌握弧長與扇形面積公式的推導(dǎo)過程能靈活運用弧長公式\(l=\frac{n\pir}{180}\)和扇形面積公式\(S=\frac{n\pir^2}{360}\)、\(S=\frac{1}{2}lr\)解決計算問題能結(jié)合實際場景與組合圖形，提升幾何量化分析與綜合應(yīng)用能力二、知識銜接（回顧舊知）上單元核心：圓的基本性質(zhì)（半徑、直徑）、切線相關(guān)定理，及三角形與圓的位置關(guān)系（內(nèi)切圓）；基礎(chǔ)公式回顧：圓的周長：\(C=2\pir=\pid\)（\(r\)為半徑，\(d\)為直徑）圓的面積：\(S_{\text{???}}=\pir^2\)思考提問：圓上兩點間的曲線長度如何計算？圓的一部分區(qū)域面積又該如何求解？（引出弧長與扇形面積）第3頁：一、核心概念：弧與扇形的定義1.弧的定義與分類弧的定義：圓上任意兩點之間的曲線部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“⌒”表示，如以\(A\)、\(B\)為端點的弧記為\(\overset{\frown}{AB}\)?；〉姆诸悾毫踊。盒∮诎雸A的?。▓A心角小于\(180^\circ\)），直接用端點表示（如\(\overset{\frown}{AB}\)）；優(yōu)?。捍笥诎雸A的?。▓A心角大于\(180^\circ\)），需標注中間一點（如\(\overset{\frown}{ACB}\)）。2.扇形的定義由圓的兩條半徑和它們所夾的弧所圍成的封閉圖形叫做扇形。其中，兩條半徑的夾角叫做圓心角（用\(n^\circ\)表示），扇形的大小由半徑\(r\)和圓心角\(n^\circ\)共同決定。3.圖形示意畫一個圓\(\odotO\)，標注半徑\(OA=OB=r\)，圓心角\(\angleAOB=n^\circ\)，陰影標注\(\overset{\frown}{AB}\)（?。┖蜕刃蝄(OAB\)，明確“半徑-弧-圓心角”構(gòu)成扇形的三要素。第4頁：二、公式推導(dǎo)：弧長與扇形面積的由來1.弧長公式的推導(dǎo)（核心：“比例法”）推導(dǎo)邏輯：弧長是圓周長的一部分，其長度與圓心角占周角的比例成正比。周角為\(360^\circ\)，對應(yīng)圓的周長\(2\pir\)；圓心角為\(n^\circ\)時，弧長占周長的比例為\(\frac{n}{360}\)；故弧長公式：\(l=\frac{n}{360}\times2\pir=\frac{n\pir}{180}\)。2.扇形面積公式的推導(dǎo)（雙重路徑）路徑1：基于圓面積的比例推導(dǎo)推導(dǎo)邏輯：扇形面積是圓面積的一部分，比例同樣由圓心角決定。圓的面積為\(\pir^2\)；扇形面積占圓面積的比例為\(\frac{n}{360}\)；故扇形面積公式①：\(S=\frac{n}{360}\times\pir^2=\frac{n\pir^2}{360}\)。路徑2：基于弧長的推導(dǎo)（“底

×

高

÷2”類比）推導(dǎo)邏輯：將扇形近似看作無數(shù)個小三角形的組合，小三角形的底之和為弧長\(l\)，高均為半徑\(r\)。單個小三角形面積：\(\frac{1}{2}\times\text{?o?}\timesr\)；所有小三角形面積之和：\(\frac{1}{2}\times(\text{?o??1????})\timesr=\frac{1}{2}lr\)；故扇形面積公式②：\(S=\frac{1}{2}lr\)（適用于已知弧長\(l\)和半徑\(r\)的場景）。3.公式匯總與符號說明公式類型表達式已知條件備注弧長公式\(l=\frac{n\pir}{180}\)\(n\)（圓心角度數(shù)）、\(r\)（半徑）角度單位為“度”扇形面積公式①\(S=\frac{n\pir^2}{360}\)\(n\)、\(r\)直接關(guān)聯(lián)圓心角與半徑扇形面積公式②\(S=\frac{1}{2}lr\)\(l\)（弧長）、\(r\)需先求弧長或已知弧長第5頁：三、基礎(chǔ)應(yīng)用：單一公式的直接計算1.類型1：已知半徑和圓心角，求弧長與面積例題1：基礎(chǔ)計算已知扇形的半徑\(r=5cm\)，圓心角\(n=60^\circ\)，求該扇形的弧長\(l\)和面積\(S\)。解：1.計算弧長：由弧長公式\(l=\frac{n\pir}{180}=\frac{60\pi\times5}{180}=\frac{5\pi}{3}\approx5.23cm\)；2.計算面積（用公式①）：\(S=\frac{n\pir^2}{360}=\frac{60\pi\times5^2}{360}=\frac{25\pi}{6}\approx13.08cm^2\)；3.驗證（用公式②）：\(S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\times\frac{5\pi}{3}\times5=\frac{25\pi}{6}\)，結(jié)果一致。2.類型2：已知弧長和半徑，求圓心角與面積例題2：逆向求解已知扇形的弧長\(l=3\picm\)，半徑\(r=2cm\)，求該扇形的圓心角\(n\)和面積\(S\)。解：1.求圓心角：由弧長公式變形\(n=\frac{180l}{\pir}=\frac{180\times3\pi}{\pi\times2}=270^\circ\)；2.計算面積：由公式②\(S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\times3\pi\times2=3\pi\approx9.42cm^2\)。第6頁：四、進階應(yīng)用：組合圖形與實際場景1.類型1：組合圖形的弧長與面積計算例題3：扇形與三角形組合如圖，在\(\text{Rt}\triangleAOB\)中，\(\angleAOB=90^\circ\)，\(OA=OB=4cm\)，以\(O\)為圓心、\(OA\)為半徑作\(\overset{\frown}{AB}\)，求陰影部分（扇形\(OAB\)減去\(\triangleAOB\)）的面積。解：1.計算扇形面積：\(S_{\text{?????￠}}=\frac{90\pi\times4^2}{360}=4\picm^2\)；2.計算三角形面積：\(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\times4\times4=8cm^2\)；3.陰影面積：\(S_{\text{é?′??±}}=S_{\text{?????￠}}-S_{\triangleAOB}=(4\pi-8)\approx4.56cm^2\)。2.類型2：實際場景應(yīng)用例題4：建筑與生活中的計算建筑設(shè)計場景：一個圓形柱體的側(cè)面展開圖是扇形，已知扇形半徑（柱體母線長）為\(8m\)，圓心角為\(120^\circ\)，求該柱體底面圓的周長（即扇形弧長）。解：\(l=\frac{120\pi\times8}{180}=\frac{16\pi}{3}\approx16.76m\)，故底面圓周長為\(\frac{16\pi}{3}m\)。食品制作場景：一塊半徑為\(10cm\)的圓形披薩，切出一個圓心角為\(45^\circ\)的扇形切片，求該切片的面積。解：\(S=\frac{45\pi\times10^2}{360}=\frac{25\pi}{2}\approx39.25cm^2\)。第7頁：五、知識關(guān)聯(lián)與易錯點解析1.公式間的核心關(guān)聯(lián)弧長與扇形面積的橋梁：扇形面積公式②\(S=\frac{1}{2}lr\)建立了兩者的直接聯(lián)系，已知其中兩個量可求第三個量；與圓的公式關(guān)系：弧長是周長的\(\frac{n}{360}\)，扇形面積是圓面積的\(\frac{n}{360}\)，本質(zhì)是“整體到部分”的比例轉(zhuǎn)化。2.常見易錯點易錯點1：單位混淆——未注意圓心角單位為“度”，誤用弧度制公式（初中階段均用角度制計算）；易錯點2：公式記錯——弧長公式漏乘\(\pi\)或扇形面積公式分母寫錯（如將\(360\)寫成\(180\)）；易錯點3：組合圖形拆分錯誤——計算陰影面積時，混淆“加”“減”關(guān)系（如多算空白部分或漏減重疊部分）；易錯點4：逆向計算失誤——已知弧長求半徑時，公式變形錯誤（正確變形：\(r=\frac{180l}{n\pi}\)）。3.避坑技巧“公式三查法”：用公式前查已知量（\(n\)、\(r\)、\(l\)）、查單位（圓心角是否為度）、查變形（正向/逆向是否正確）；“圖形分割法”：組合圖形先拆分為扇形、三角形、圓等基本圖形，標注面積關(guān)系（和/差）；“雙公式驗證法”：計算扇形面積時，用兩種公式交叉驗證（如用公式①算完后，用公式②核對）。第8頁：課堂練習（分層設(shè)計）一、基礎(chǔ)題已知扇形半徑\(r=6cm\)，圓心角\(n=90^\circ\)，則弧長\(l=\)，面積\(S=\)（答案：\(3\picm\)；\(9\picm^2\)）；已知扇形弧長\(l=2\picm\)，半徑\(r=3cm\)，則圓心角\(n=\)______（答案：\(120^\circ\)）。二、提升題如圖，扇形\(OAB\)的半徑為\(5cm\)，弧長為\(4\picm\)，求該扇形的面積（答案：\(10\picm^2\)，提示：用公式②）；一個圓心角為\(60^\circ\)的扇形，面積為\(24\picm^2\)，求其半徑和弧長（答案：\(r=12cm\)；\(l=4\picm\)）。三、拓展題在邊長為\(4cm\)的正方形中，以四個頂點為圓心、邊長為半徑作四分之一圓，求中間重疊部分（花瓣形）的面積（提示：用四個扇形面積和減去正方形面積，答案：\((8\pi-16)cm^2\)）。第9頁：課堂小結(jié)與作業(yè)布置一、課堂小結(jié)核心概念：弧（劣弧/優(yōu)?。?、扇形（由半徑和弧圍成），圓心角決定圖形大??；關(guān)鍵公式：弧長：\(l=\frac{n\pir}{180}\)扇形面積：\(S=\frac{n\pir^2}{360}=\frac{1}{2}lr\)思想方法：比例轉(zhuǎn)化法（推導(dǎo)公式）、圖形分割法（組合圖形計算）、數(shù)形結(jié)合法（實際應(yīng)用）；應(yīng)用場景：建筑設(shè)計、食品制作、機械工程等領(lǐng)域的長度與面積計算。二、作業(yè)布置必做：教材中“弧長和扇形面積”基礎(chǔ)計算題（3道）、組合圖形面積題（1道）；選做：測量家中圓形物品（如盤子）的半徑，計算圓心角為\(100^\circ\)的扇形弧長和面積，并說明計算過程；思考：扇形面積公式\(S=\frac{1}{2}lr\)與三角形面積公式有何相似之處？為什么會有這種聯(lián)系？2025-2026學年華東師大版數(shù)學九年級下冊【示范課精品課件】授課教師：

.班級：

.

時間：

.

27.3.1圓中的計算–弧長和扇形面積第27章

圓aiTujmiaNg圖片欣賞

如圖，在運動會的

4×100米比賽中，甲和乙分別在第

1

跑道和第

2

跑道，為什么他們的起跑線不在同一處？怎樣計算彎道的“展直長度”？因為要保證這些彎道的“展直長度”是一樣的.情境引入圖片來源：新浪體育問題1

半徑為

r的圓，周長是多少？Or問題2

下圖中各圓心角所對的弧長分別占圓周長的多少?Or90°Or45°Orn°合作探究Or180°與弧長相關(guān)的計算(1)

圓心角是180°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的(2)

圓心角是90°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的(3)

圓心角是45°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的(4)

圓心角是

n°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的________.________.________.________.注意：用弧長公式進行計算時，要注意公式中

n的意義．n表示

1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的.知識要點弧長公式算一算

已知弧所對的圓心角為

60°，半徑是

4，則弧長為

．·OA解：設(shè)半徑

OA繞軸心

O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為

n°，則解得n≈90°.因此，滑輪旋轉(zhuǎn)的角度約為90°.

例1

一滑輪起重機裝置(如圖)，滑輪的半徑R=10cm，當重物上升15.7cm時，滑輪的一條半徑

OA繞軸心

O逆時針方向旋轉(zhuǎn)多少度？(假設(shè)繩索與滑輪之間沒有滑動，π取3.14)典例精析練一練

制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算如圖所示管道的展直長度

L(單位：mm，精確到1mm).解：弧

AB的長為因此所要求的展直長度

L=2×700+500π≈2971(mm).

答：管道的展直長度約為

2971mm.700mm700mmR=900mm(100°ACBDO

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形.如圖，黃色部分是一個扇形，記作扇形OAB.半徑半徑OBA圓心角弧OBA扇形與扇形面積相關(guān)的計算概念學習判斷：下列圖形是扇形嗎？√×××√練一練合作探究問題1

半徑為

r的圓,面積是多少？Or問題2下圖中各扇形面積分別是圓面積的幾分之幾？具體是多少呢?Or180°Or90°Or45°Orn°圓心角占

周角的比例扇形面積占

圓面積的比例扇形的面積=半徑為

r

的圓中，圓心角為

n°的扇形的面積①公式中

n的意義：n表示

1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；②公式要理解記憶（即按照上面推導(dǎo)過程記憶）.注意知識要點

●O

ABDCEF●OABCD問題3

扇形的面積與哪些因素有關(guān)？

大小不變時，對應(yīng)的扇形面積與

有關(guān)，

越長，面積越大.圓心角半徑半徑圓的

不變時，扇形面積與

有關(guān)，

越大，面積越大.圓心角半徑圓心角總結(jié)：扇形的面積與圓心角、半徑有關(guān).問題

扇形的弧長公式與面積公式有聯(lián)系嗎？想一想扇形的面積公式與什么公式類似？ABOO類比學習例2

如圖，圓心角為60°的扇形的半徑為10cm.求這個扇形的面積和周長（精確到0.01cm2和0.01cm）.Or60°解：∵n=60，r=10cm，∴該扇形的面積為該扇形的周長為1.已知扇形的半徑為

2cm，其弧長為

cm，則這個扇形的面積

S=

.2.已知扇形的圓心角為

120°，半徑為

2，則這個扇形的面積

S=

.練一練例3

如圖，點

D

在⊙O

的直徑

AB

的延長線上，點C

在

⊙O

上，AC

=

CD，∠ACD

=

120°．（1）求證：CD

是⊙O

的切線；（2）若⊙O

的半徑為

2，求圖中陰影部分的面積．（1）證明：連接

OC．∵

AC

=

CD，∠ACD

=

120°，∴

∠A

=

∠D

=

30°．∵

OA

=

OC，∴∠ACO=

∠A

=

30°．∴∠OCD

=

180°-∠A

-∠D

-∠ACO=

90°，即

OC⊥CD，∴

CD

是⊙O

的切線．(2)∵∠A

=

30°，

∴∠COB=

2∠A

=

60°．在Rt△OCD中，例4如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高

0.3m，求截面上有水部分的面積

(精確到

0.01m2).(1)O.BA

討論：(1)截面上有水部分的面積是指圖上哪一部分？陰影部分.(2)水面高

0.3m是指哪一條線段的長？這條線段應(yīng)該怎樣畫出來？過點

O作

OD⊥AB

于點

D，并延長

OD

交圓

O

于

C.則線段DC

的長為水面高.(3)要求圖中陰影部分面積，應(yīng)該怎么辦？S陰影

=S扇形

OAB

-

S△OABO.BAD(2)C∵OC＝0.6，DC＝0.3，∴OD＝OC-

DC＝0.3.∴OD＝DC.又AD⊥OC，∴AD是線段

OC的垂直平分線.∴AC＝AO＝OC.從而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.O.BACD解：如圖，連接

OA、OB，過點

O作弦

AB

的垂線，垂足為

D，交

于點

C，連接

AC.在Rt△AOD中，OA=0.6m，OD=0.3m，∴AD=m.∴AB=2AD=m.∴截面上有水部分的面積為S=S扇形AOB

-

SΔOABO.BACD左圖：

S弓形

=S扇形

-

S三角形右圖：S弓形

=S扇形

+

S三角形OO弓形的面積

=扇形的面積

±

三角形的面積知識要點弓形的面積公式

2.某扇形的圓心角為

72°，面積為

5π，則此扇形的弧長為（）A．πB．2πC．3πD．4π1.已知弧所對的圓周角為90°，半徑是

4，則弧長為

.B4π3.如圖，⊙A