第十五章軸對稱圖形的軸對稱第十五章軸對稱圖形的軸對稱(1)

知識點(diǎn)1

軸對稱圖形

觀察右邊圖形有什么共同的特點(diǎn)？答：

?．

如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相

，這個(gè)圖形就叫作

?，這條直線就是它

的

?．對折后與圖形的另一半完全重合重合軸對稱圖形對稱軸

1.例1下列是軸對稱圖形的請打“√”，并畫出對稱軸，不是的請

打“×”．

2.(廣東中考)下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對稱圖形的是

（A）A．

B．

C．

D．

A

知識點(diǎn)2

兩個(gè)圖形成軸對稱

3．

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖

形

，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱．這條直線

叫作

，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫作

?．

4.

例2視力表中的字母“E”有各種不同的擺放方向，下面每種組合

中的兩個(gè)字母“E”不關(guān)于直線l對稱的是（D）A．

B．

C．

D．

重合對稱軸對稱點(diǎn)D

5.觀察下列各組圖形，其中兩個(gè)圖形成軸對稱的有（C）

A．

1組 B．

2組 C．

3組 D．

4組C

軸對稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對稱的區(qū)別軸對稱圖形兩個(gè)圖形成軸對稱相同點(diǎn)對折重合不同點(diǎn)是一個(gè)圖形本身具有的特性是兩個(gè)圖形之間的關(guān)系

知識點(diǎn)3

軸對稱的性質(zhì)

6.

軸對稱的性質(zhì)：

(1)成軸對稱的兩個(gè)圖形全等；

(2)對稱軸都是其任意一對對稱點(diǎn)所連線段的

?．如圖，在正五邊形中，直線l

線段AA′，BB′.垂直平分線垂直平分

7.例3如圖，若△ABC與△A1B1C1關(guān)于直線MN對稱，BB1交MN于

點(diǎn)O，則下列說法不一定正確的是（D）A．

AC＝A1C1 B．

BO＝B1OC．

CC1⊥MN D．

AB∥B1C1D

8.如圖，△ABC與△ADE關(guān)于直線l對稱，下列結(jié)論：①

△ABC≌△ADE；②∠B＝∠D；③BC＝DE；④l垂直平分CE；⑤BC

與DE的延長線的交點(diǎn)一定在直線l上．其中正確的有

?．(填序號)①②③④⑤

1．

下列地鐵標(biāo)志圖形中，屬于軸對稱圖形的是（B）A．

①④ B．

①②C．

③④ D．

①②③B

2．(人教八上P64練習(xí)T2改編)下列兩個(gè)電子數(shù)字成軸對稱的是

（D）A．

B．

C．

D．

3．

下列說法正確的是（D）A．

能夠完全重合的兩個(gè)圖形成軸對稱B．

全等的兩個(gè)圖形成軸對稱C．

形狀相同的兩個(gè)圖形成軸對稱D．

沿一條直線對折后能夠重合的兩個(gè)圖形成軸對稱DD

4．(人教八上P64練習(xí)T1改編)圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的

對稱軸的條數(shù)為（D）A．

1 B．

2 C．

3 D．

5D

5．(人教八上P65練習(xí)T3改編)如圖，△ABC與△DEF關(guān)于直線l對

稱，若∠A＝65°，∠B＝80°，則∠F＝

?．35°

6．

如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊AC上一點(diǎn)，點(diǎn)B，C關(guān)于DE對稱，若

AC＝6，AD＝2，則線段BD的長度為

?.4

7．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，

AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，△ADB與△ADB′關(guān)于直線AD對稱，點(diǎn)B的對

稱點(diǎn)是點(diǎn)B′，則∠CAB′的度數(shù)為（A）A．

10° B．

20° C．

30° D．

40°A

8．如圖，△ABC是軸對稱圖形，且直線AD是△ABC的對稱軸，

E，F(xiàn)是線段AD上的任意兩點(diǎn)．若△ABC的面積為18cm2，則圖中陰影

部分的面積為

cm2.9

9．(邏輯推理)如圖，每一個(gè)正方形的方格紙中有三個(gè)涂有陰影的

小正方形，請把其中一個(gè)空白小正方形再涂上陰影，使得每個(gè)圖形中的

四個(gè)涂有陰影的小正方形構(gòu)成一個(gè)軸對稱圖形．(三種方法不能重復(fù))解：如圖所示．第十五章軸對稱圖形的軸對稱(2)

知識點(diǎn)1

線段的垂直平分線的性質(zhì)

1．

線段的垂直平分線

(1)定義：經(jīng)過線段

并且

?于這條線段的直線，叫

作這條線段的垂直平分線．

(2)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離

?．

幾何語言：如圖，∵CD垂直平分AB，∴

?．中點(diǎn)垂直相等

CA＝CB

2.例1如圖，CD是AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)D.

(1)AD＝

?，

∠ADC＝

°，

AC＝

?；

(2)若AD＝4，AC＝5，則BC＝

，AB＝

?.BD90BC58

3.如圖，已知AC垂直平分BD，交BD于點(diǎn)E，下列結(jié)論正確的

是

．(填序號)

①△ABE≌△ADE；

②AB＝AD；

③CA平分∠BCD；

④∠ABC＝∠ADC；

⑤∠BAD＝∠BCD.

①②③④

4.例2如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AB＝3，BC＝

7，則△ABD的周長為

?．

小結(jié)：看到題目有垂直平分線，就在圖中找出“弓箭模型”．10

5.如圖，在△ABC中，AC＝6cm，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)

M、交AC于點(diǎn)N，△BCN的周長是11cm，則BC的長為

?．5cm

知識點(diǎn)2

線段的垂直平分線的判定

6．

線段的垂直平分線的判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離

?的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．

幾何語言：如圖，∵

，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平

分線上．相等PA＝PB證明：∵AB＝AC，

∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上．

∵M(jìn)B＝MC，

∴點(diǎn)M在BC的垂直平分線上．

∴直線AM是線段BC的垂直平分線．

7.例3如圖，AB＝AC，MB＝MC.

求證：直線AM是線段BC的垂直

平分線．

8.如圖，AB＝AC，DB＝DC，點(diǎn)E是AD延長線上的一點(diǎn)．求證：

BE＝CE.

證明：如圖，連接BC.

∵AB＝AC，DB＝DC，

∴點(diǎn)A、點(diǎn)D均在線段BC的垂直平分線上，即AD是線段BC的垂直平分線．

∵點(diǎn)E在直線AD上，∴BE＝CE.

知識點(diǎn)3

互逆命題與定理

9.

例4寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立．

(1)原命題：若a＝b，則a2＝b2.解：逆命題：若a2＝b2，則a＝b.逆命題不成立．

(2)原命題：全等三角形的對應(yīng)邊相等．解：逆命題：對應(yīng)邊相等的三角形是全等三角形．逆命題

成立．

10.下列命題的逆命題不成立的是（B）A．

一個(gè)三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)到這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離

相等B．對頂角相等C．若a，b，c是Rt△ABC的三邊，∠A＝90°，則b2＋c2＝a2D．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)一定在這個(gè)角的平分線上B

1．

如圖，在△ABC中，直線AD是BC的垂直平分線，下列表述錯(cuò)

誤的是（D）A．

AC＝ABB．

DB＝DCC．

EB＝EC，∠AEC＝90°D．

DA＝DBD

2．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有（A）A．

AB垂直平分CDB．

CD垂直平分ABC．

AB與CD互相垂直平分D．

CD平分∠ACBA

3．命題“全等三角形的面積相等”，請寫出它的逆命題

?

，這個(gè)逆命題

(填“成立”或

“不成立”)．

4．

如圖，在△ABC中，DE是AB的垂直平分線，分別交AB，BC

于點(diǎn)E，D.

(1)若△ADC的周長為10，則AC＋BC＝

?；

(2)若∠C＝90°，∠B＝36°，則∠DAC的度數(shù)為

?．面積相

等的三角形是全等三角形不成立1018°

5．

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于

點(diǎn)E，DE垂直平分AB，交AB于點(diǎn)D.

求證：BE＋DE＝AC.

證明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.

又∵DE⊥AB，BE平分∠ABC，

∴CE＝DE.

∵DE垂直平分AB，

∴AE＝BE.

∵AC＝AE＋CE，

∴BE＋DE＝AC.

6．(人教八上P71習(xí)題T13改編)如圖，在△ABC中，邊AB，AC的垂

直平分線交于點(diǎn)P.

(1)求證：PA＝PB＝PC；證明：∵PD垂直平分AB，PE垂直平分AC，

∴PA＝PB，PA＝PC.

∴PA＝PB＝PC.

(2)求證：點(diǎn)P在BC的垂直平分線上．證明：∵PB＝PC，

∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上．第十五章軸對稱圖形的軸對稱(3)

知識點(diǎn)1

作線段的垂直平分線

1.

例1如圖，尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線CD.

作法：(1)分別以

和

為圓心，大于

?的長

為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；(2)作直線CD.

CD就是所求作的直線．點(diǎn)A點(diǎn)B

解：如圖所示．

2.如圖，已知△ABC，作AC邊上的垂直平分線EF，交AC于點(diǎn)E，

交BC于點(diǎn)F.

(保留作圖痕跡，不寫作法)

解：如圖，EF就是所求作的直線．

知識點(diǎn)2

作對稱軸

3.

例2如圖，△ABC和△DEF關(guān)于某直線成軸對稱，你能作出這條

直線嗎？(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

解：如圖，對稱軸即為所求．

4.如圖，△ABC與△DEF關(guān)于直線l對稱，請僅用無刻度的直尺，

在下面兩個(gè)圖中分別作出直線l.解：如圖，直線l即為所求．

ABCK點(diǎn)D點(diǎn)E解：如圖所示．

6.如圖，已知直線AB和AB上一點(diǎn)C，請用尺規(guī)作AB的垂線，使它

經(jīng)過點(diǎn)C.

(保留作圖痕跡，不寫作法)

解：如圖，CD即為所求．

1．

(2024河北改編)觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段BD一定是

△A