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文檔簡介
角平分線的性質(zhì)與判定的運(yùn)用湘教·數(shù)學(xué)八年級上冊5.4角平分線的性質(zhì)回顧導(dǎo)入角平分線的性質(zhì)角平分線的判定圖示已知條件結(jié)論OP平分∠AOBPD⊥OA于點(diǎn)DPE⊥OB于點(diǎn)EPD=PEPD⊥OA于點(diǎn)DPE⊥OB于點(diǎn)EPD=PEOP平分∠AOB思考:在三角形內(nèi),角的平分線有哪些性質(zhì)?推進(jìn)新課如圖,在△ABC中,D,E,F(xiàn)
分別是
BC,AB,AC
邊上的點(diǎn),若
BE
=
CF,S△BDE=S△CDF,則點(diǎn)
D
在∠BAC的平分線上嗎?由于S△BDE=S△CDF,BE
=
CF,所以點(diǎn)
D
到
BE,CF
的距離相等,因而點(diǎn)
D
在
∠BAC
的平分線上.如圖,已知EF⊥CD于點(diǎn)E,EF⊥AB于點(diǎn)F,MN⊥AC于點(diǎn)N,M是EF的中點(diǎn).需添加一個(gè)什么條件,就可使CM,AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線呢?解:可以添加條件___________.MN=MF?MN=ME因?yàn)镸E⊥CD,MN⊥CA,MN=ME.所以點(diǎn)M在∠ACD的平分線上,即CM是∠ACD的平分線.又M是EF的中點(diǎn),則MF=ME=MN.同理可證
AM是∠CAB的平分線.例2
如圖,在△ABC的外角∠CAD的平分線上任取一點(diǎn)P,作PE⊥DB,
PF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn).試探索BE+PF與PB的大小關(guān)系.解:因?yàn)锳P是∠CAD的平分線,又PE⊥DB,PF⊥AC,所以PE=PF.在△EBP中,BE+PE>PB,因此BE+PF>PB.任意作一個(gè)△ABC,在△ABC
內(nèi)部找一點(diǎn)
P
,使其到三邊的距離相等.ABC思考如何才能在三角形內(nèi)部作出到三角形三邊的距離都相等的點(diǎn)呢?可以先作出到兩條邊距離相等的點(diǎn),再證明這個(gè)點(diǎn)到第三條邊的距離相等.所求作的點(diǎn)應(yīng)在△ABC
中任意兩個(gè)內(nèi)角的角平分線上.ABCP因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,所以只要作△ABC任意兩角(例如∠A
與∠B)的平分線,其交點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).求證:點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.任意作一個(gè)△ABC,在△ABC
內(nèi)部找一點(diǎn)
P
,使其到三邊的距離相等.在△ABC中分別作∠BAC與∠ABC的平分線,它們交于點(diǎn)P,如圖.過點(diǎn)P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分別為點(diǎn)D,E,F(xiàn).因?yàn)锳P是∠BAC的平分線,PD⊥AB,PE⊥AC,所以PD=PE.因?yàn)锽P是∠ABC的平分線,PD⊥AB,PF⊥BC,所以PD=PF.故PD=PE=PF,因此P為所求作的點(diǎn).在△ABC中分別作∠BAC與∠ABC的平分線,它們交于點(diǎn)P,如圖.過點(diǎn)P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分別為點(diǎn)D,E,F(xiàn).思考:點(diǎn)P在∠ACB
的角平分線上嗎?因?yàn)镻D=PE=PF,PE⊥AC,PF⊥BC,所以CP是∠ACB的平分線,故三角形三個(gè)角的角平分線經(jīng)過一點(diǎn),點(diǎn)P.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這點(diǎn)到三條邊的距離相等.三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn).拓展探究到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)一共有幾個(gè)?4個(gè)P1P4P2P3三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)P1;三角形一個(gè)內(nèi)角與另外兩個(gè)角的外角的平分線的交點(diǎn)P2,P3,P4.1.如圖,E是∠AOB的平分線上一點(diǎn),EC⊥OA于點(diǎn)C,ED⊥OB于點(diǎn)D,求證:(1)∠ECD=∠EDC;
(2)
OC=OD.證明:(1)∵OE是∠AOB的平分線,EC⊥OA,ED⊥OB,∴EC=ED.∴∠ECD=∠EDC.【課本P181練習(xí)第1題】(2)在Rt△ECO和Rt△EDO中,∵EC=ED,OE為公共邊,
∴Rt△ECO≌Rt△EDO(HL).∴OC=OD.1.如圖,E是∠AOB的平分線上一點(diǎn),EC⊥OA于點(diǎn)C,ED⊥OB于點(diǎn)D,求證:(1)∠ECD=∠EDC;
(2)
OC=OD.【課本P181練習(xí)第1題】2.如圖,AD⊥DE,BE⊥DE,AC,BC分別平分∠BAD,∠ABE,點(diǎn)C在線段DE上.求證:AB=AD+BE.證明:如圖,過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F.∵AC是∠BAD的平分線,CD⊥AD,CF⊥AB,∴CF=CD.在Rt△CFA和Rt△CDA中,∵CF=CD,
AC為公共邊,∴Rt△CFA≌Rt△CDA(HL).∴AF=AD.同理可得FB=BE.∴AB=AF+FB=AD+BE.F【課本P181練習(xí)第2題】3.如圖,△ABC的三邊AB,AC,BC的長分別是5,7,9,其三條角平分線將△ABC分成三個(gè)三角形,則S△OAB:S△OAC:S△OBC=__________.5∶7∶9BACO4.如圖,O
是△ABC
內(nèi)一點(diǎn),且點(diǎn)
O
到三邊
AB,AC,BC
的距離相等,即
OF
=
OE
=
OD,若∠BAC
=
100°,則∠BOC
的度數(shù)是()A
A.140°
B.130°C.120°
D.110°BACODFE5.如圖,點(diǎn)D
在邊BC
的延長線上,∠ABC
的平分線交AD
于點(diǎn)E,過點(diǎn)E
作EH⊥BD
于點(diǎn)H,∠CEH=62°,∠ACE
=28°.求證:AE
平分∠CAF.BACDFEH∵BE
平分∠ABC,∴EM=EH.∵∠ACE=28°,∠CEH=62°,∴∠HCE=90°–∠CEH
=90°–62°=28°=∠ACE.
∴EN=EH.∴EM=EN,∴AE
平分∠CAF.證明:如圖,過點(diǎn)E
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