第27講橢圓學(xué)校____________姓名____________班級____________知識梳理1.橢圓的定義如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點，a是一個常數(shù)，且2a＞|F1F2|，則平面內(nèi)滿足|PF1|＋|PF2|＝2a的動點P的軌跡稱為橢圓，其中兩個定點F1，F(xiàn)2稱為橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距.其數(shù)學(xué)表達式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若a＞c，則點P的軌跡為橢圓；(2)若a＝c，則點P的軌跡為線段；(3)若a＜c，則點P的軌跡不存在.2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2考點和典型例題1、橢圓的定義及應(yīng)用【典例1-1】已知，是兩個定點，且（是正常數(shù)），動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線【答案】C【詳解】解：因為（當且僅當時，等號成立，所以，當且時，，此時動點的軌跡是橢圓；當時，，此時動點的軌跡是線段．故選：C．【典例1-2】已知橢圓的兩個焦點為，，過的直線交橢圓于，兩點，若的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由.因為，是橢圓的上的點，、是橢圓的焦點，所以，因此的周長為，故選：D【典例1-3】已知橢圓的兩個焦點分別為是橢圓上一點，，且離心率為，則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)橢圓定義可得，所以，由離心率，所以，由，所以橢圓C的標準方程為.故選：B【典例1-4】已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意，橢圓方程，可得，所以焦點，又由橢圓的定義，可得，因為，所以，在中，由余弦定理可得,所以，解得，又由，所以.故選:C．【典例1-5】已知點在橢圓上，與分別為左、右焦點，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，，又，解得，.故選：A.2、橢圓的簡單幾何性質(zhì)【典例2-1】橢圓的左右焦點分別為，右頂點為，點在橢圓上，滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由，得,故，即，故，，在△中，由余弦定理可得：，，化簡得，即，則，，因為，所以解得或（舍），故選：B.【典例2-2】橢圓：與雙曲線：的離心率之積為1，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【詳解】因為橢圓：與雙曲線：的離心率之積為1，所以有，因此雙曲線的兩條漸近線方程為：，所以雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為，，故選：D【典例2-3】已知點A、B為橢圓的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題得：，所以故選：A．【典例2-4】已知雙曲線的左、右頂點為，，焦點在y軸上的橢圓以，為頂點，且離心率為，過作斜率為的直線交雙曲線于另一點，交橢圓于另一點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)所求橢圓的標準方程為，半焦距為，雙曲線的左頂點為，右頂點為，由于橢圓以，為頂點，則，該橢圓的離心率為，所以，，解得，所以，橢圓的方程為，設(shè)點，由于，則點，由于點在橢圓上，點在雙曲線上，所以，，聯(lián)立得：，解得或，當，所以，此時點與點重合，不滿足題意舍去；當，所以，所以.故選：B.【典例2-5】已知橢圓的左、右焦點分別為、，第一象限內(nèi)的點在橢圓上，且滿足，點在線段、上，設(shè)，將沿翻折，使得平面與平面垂直，要使翻折后的長度最小，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在橢圓中，，，，，因為，且點為第一象限內(nèi)的點，則，可得，翻折前，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，設(shè)，其中，則，，，，所以，，翻折后，如下圖所示：因為平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，，又因為，，，則，故當時，即當時，取得最小值，則在翻折前，在中，為的角平分線，所以，，即.故選：A.3、橢圓的綜合應(yīng)用【典例3-1】（多選）已知橢圓的左，右焦點分別為，橢圓的上頂點和右頂點分別為A，B．若P，Q兩點都在橢圓C上，且P，Q關(guān)于坐標原點對稱，則（

）A．|PQ|的最大值為B．為定值C．橢圓上不存在點M，使得D．若點P在第一象限，則四邊形APBQ面積的最大值為【答案】BD【詳解】如圖所示：A.|PQ|的最大值為長軸長2，故錯誤；B.易知是平行四邊形，則，因為，所以，故正確；C.因為，所以，則，故橢圓上存在點M，使得，故錯誤；D.直線AB所在直線方程為：，即，設(shè)，則點P到直線AB的距離為，其最大值為，同理點Q到直線AB的最大值為，所以四邊形APBQ面積的最大值為，故正確.故選：BD【典例3-2】（多選）過橢圓的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點，，是橢圓的左、右焦點，A，B是橢圓的左、右頂點，則下列說法正確的是（

）A．周長的最小值為18B．四邊形可能為矩形C．若直線PA斜率的取值范圍是，則直線PB斜率的取值范圍是D．的最小值為-1【答案】AC【詳解】A：根據(jù)橢圓的對稱性，，當PQ為橢圓的短軸時，有最小值8，所以周長的最小值為18，正確；B：若四邊形為矩形，則點P，Q必在以為直徑的圓上，但此圓與橢圓無交點，錯誤；C：設(shè)，則，因為直線PA斜率的范圍是，所以直線PB斜率的范圍是，正確；D：設(shè)，則．因為，所以當時，最小值為，錯誤.故選：AC．【典例3-3】（多選）已知橢圓的左，右焦點分別為，A，B兩點都在C上，且A，B關(guān)于坐標原點對稱，則（

）A．的最大值為 B．為定值C．C的焦距是短軸長的2倍 D．存在點A，使得【答案】ABD【詳解】解：由題意，，所以，，所以A正確，C錯誤；由橢圓的對稱性知，，所以B正確；當A在y軸上時，，則為鈍角，所以存在點A，使得，所以D正確.故選：ABD.【典例3-4】已知橢圓的兩焦點分別為和，短軸的一個端點為．(1)求橢圓C的標準方程和離心率；(2)橢圓C上是否存在一點P，使得?若存在，求的面積；若不存在，請說明理由．【解析】(1)由焦點坐標知，由短軸端點知，所以，故所求橢圓標準方程為.(2)假設(shè)橢圓C上存在一點，使得，則，即，聯(lián)立，得，此方程無解.故橢圓上不存在點P，使得.【典例3-5】已知橢圓的一個頂點為，離心率為.