第2講不等式的性質及其解法學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(2)證明不等式還常用綜合法、反證法和分析法.2.不等式的性質(1)不等式的性質①可加性：a>b?a＋c>b＋c；②可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；③傳遞性：a>b，b>c?a>c；④對稱性：a>b?b<a.(2)不等式的推論①移項法則：a＋b>c?a>c－b；②同向不等式相加：a>b，c>d?a＋c>b＋d；③同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0?ac>bd；④可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n>1)；⑤可開方性：a>b>0?eq\r(a)>eq\r(b).3.絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)??|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；②利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.4.三個“二次”間的關系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??5.一般地，如果x1＜x2，則不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).6.分式不等式及其解法(1)eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.考點和典型例題不等式的性質【典例1-1】（2022·安徽·蕪湖一中高三階段練習（文））已知，且，則以下不正確的是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·安徽黃山·二模（文））設實數(shù)、滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【典例1-3】（2022·重慶八中模擬預測）（多選）已知，，且，則下列不等關系成立的是（

）A． B． C． D．【典例1-4】（2022·廣東汕頭·二模）（多選）已知a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（

）A．a(chǎn)c（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．【典例1-5】（2022·福建三明·模擬預測）（多選）設，且，則（

）A． B． C． D．不等式的證明和解法【典例2-1】（2021·重慶市涪陵高級中學校高三階段練習）已知(1)求集合A和B；(2)求A∪B，A∩B，【典例2-2】（2021·全國·高三專題練習）已知常數(shù)a∈R，解關于x的不等式.【典例2-3】（2022·全國·高三專題練習）已知，，，求證：(1)；(2).【典例2-4】（2022·安徽·蕪湖一中三模（文））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)已知，，且，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三階段練習（文））已知a，b，c為正數(shù).(1)求的最小值；(2)求證：.不等式的綜合應用【典例3-1】（2021·寧夏·青銅峽市寧朔中學高三階段練習（文））若函數(shù)對任意有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2022·全國·高三專題練習）若關于的不等式的解集中恰有個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例3-3】（2022·浙江·高三專題練習）若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_______.【典例3-4】（2021·福建省南平