第22講空間中的平行關(guān)系學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行如果l?α，m?α，l∥m，則l∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，且經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，則這條直線就與兩平面的交線平行如果l∥α，l?β，α∩β＝m，則l∥m2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義如果平面α與平面β沒(méi)有公共點(diǎn)，則α∥β.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行如果l?α，m?α，l∩m≠?，l∥β，m∥β，則α∥β性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，則m∥l考點(diǎn)和典型例題1、直線與平面平行【典例1-1】已知a，b是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，，則直線 B．若，，，則a與b是異面直線C．若，，則 D．若，，則a，b一定相交【答案】C【詳解】若，，則直線或，A錯(cuò)誤；若，，，則a與b平行或a與b是異面直線，B錯(cuò)誤；若，，由面面平行的性質(zhì)可得：存在使得，由線面平行的判定可得，C正確；若，，則a，b相交或平行，D錯(cuò)誤.故選：C【典例1-2】如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線異面，直線平面D．直線與直線相交，直線平面【答案】A【詳解】連接；由正方體的性質(zhì)可知，是的中點(diǎn)，所以直線與直線垂直；由正方體的性質(zhì)可知，所以平面平面，又平面，所以直線平面，故A正確；以為原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，顯然直線與直線不平行，故B不正確；直線與直線異面正確，，，所以直線與平面不垂直，故C不正確；直線與直線異面，不相交，故D不正確；故選：A.【典例1-3】已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若m//，m//n，則n// B．若m//，n//，則m//nC．若m//，n，則m//n D．若m//，m，＝n，則m//n【答案】D【詳解】如圖，長(zhǎng)方體中，平面視為平面，對(duì)于A，直線AB視為m，直線視為n，滿足m//，m//n，而，A不正確；對(duì)于B，直線AB視為m，直線BC視為n，滿足m//，n//，而m與n相交，B不正確；對(duì)于C，直線AB視為m，直線視為n，滿足m//，n，顯然m與n是異面直線，C不正確；對(duì)于D，由直線與平面平行的性質(zhì)定理知，D正確.故選：D【典例1-4】已知，是空間兩個(gè)不同的平面，，是空間兩條不同的直線，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．，則B．，，則C．平面內(nèi)的不共線三點(diǎn)到平面β的距離相等，則與平行D．如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與此平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行【答案】D【詳解】，則或，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，，則或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)平面與平面相交時(shí)，可以在平面內(nèi)找到不共線三點(diǎn)到平面β的距離相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么平面內(nèi)必有一條直線與給定直線平行，而平面內(nèi)與一條直線平行的直線有無(wú)數(shù)條，根據(jù)平行的傳遞性，這些直線都與給定直線平行，所以有無(wú)數(shù)條，故選項(xiàng)D正確.故選：D.【典例1-5】如圖，在下列四個(gè)正方體中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線不平行于平面的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，如下圖所示：因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，則，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面；?duì)于B選項(xiàng)，連接，如下圖所示：因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面；?duì)于C選項(xiàng)，連接，如下圖所示：因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面；?duì)于D選項(xiàng)，連接、交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，設(shè)，連接，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，若平面，平面，平面平面，則，在平面內(nèi)，過(guò)該平面內(nèi)的點(diǎn)作直線的平行線，有且只有一條，與題設(shè)矛盾.假設(shè)不成立，故D選項(xiàng)中的直線與平面不平行.2、平面與平面平行【典例2-1】已知直線l，m和平面、，下列命題正確的是（

）A．，B．，，，C．，，D．，，，，【答案】D【詳解】A：，，則或，錯(cuò)誤；B：若時(shí)，或相交；若相交時(shí)，，錯(cuò)誤；C：，，，則平行、相交、重合都有可能，錯(cuò)誤；D：，且，，根據(jù)面面平行的判定知：，正確.故選：D【典例2-2】設(shè)m，n是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【詳解】A選項(xiàng)，若，，則，或m，n相交或m，n異面，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，，則或，相交，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，，則或，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，，則，D正確.故選：D【典例2-3】在正方體中，下列四對(duì)截面彼此平行的是（

）A．平面與平面 B．平面與平面C．平面與平面 D．平面與平面【答案】A【詳解】如圖，正方體，所以四邊形是平行四邊形，平面，面，所以平面，同理平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?故選：A【典例2-4】在三棱臺(tái)中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是三角形內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．三角形邊界的一部分 B．一個(gè)點(diǎn)C．線段的一部分 D．圓的一部分【答案】C【詳解】如圖，過(guò)作交于，連接，，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，所以，（不與重合，否則沒(méi)有平面），故選：C．【典例2-5】如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．【解析】(1)證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面.(2)證明：因?yàn)榍?，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，所以，平面，因?yàn)椋虼耍矫嫫矫?平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例3-1】如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．直線與為異面直線B．平面C．三棱錐的表面積為D．三棱錐的體積為【答案】D【詳解】因?yàn)槠矫?平面,平面,,所以直線與為異面直線,故A對(duì).平面，平面，平面，故B對(duì).,,所以三棱錐的表面積為，故C對(duì).,故D錯(cuò).故選:D【典例3-2】已知，，為不同的直線，，為不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【詳解】如圖所示：A.若，滿足，，則異面，故錯(cuò)誤；B.若平面ABCD，滿足，，則a，b相交；故錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，，由垂直同一直線的兩個(gè)平面平行，則，故正確；D.若平面ABCD，滿足，，，故錯(cuò)誤；故選：C【典例3-3】如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，與E，F(xiàn)相異的動(dòng)點(diǎn)P在棱EF上.(1)當(dāng)P為EF的中點(diǎn)時(shí)，證明：平面ADE；(2)設(shè)平面EAD與平面EBC的交線為l，是否存在點(diǎn)P使得平面PBD？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)如圖，設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，連接，，∴,，∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.(2)如圖，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，連接，則直線為平面與平面的交線，連接，交于點(diǎn)，若平面，由線面平行的性質(zhì)可知，設(shè)，∵點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴，即，所以當(dāng)時(shí)，，∴，又平面，平面，∴平面，∴存在滿足條件的點(diǎn)使得平面，此時(shí).【典例3-4】如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，平面ABCD，，，點(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)．設(shè)平面平面．(1)證明：平面PBE；(2)證明：；(3)求三棱錐的體積．【解析】(1)取PB中點(diǎn)，連接FG，EG，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)所以，，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，所以，且，所以，，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫鍼BE，平面PBE，平面PBE(2)由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面所以(3)因?yàn)槠矫鍭BCD，所以PD為三棱錐的高，所以．【典例3-5】如圖所示的幾何體中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【解析】(1)證明：分別取的中