第20練數(shù)列綜合學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、單選題1．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，首項(xiàng)為1．對于任意正整數(shù)，都有，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設(shè)時(shí)，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故且，所以，則，故時(shí)，是首項(xiàng)為14，公差為-2的等差數(shù)列，故且，所以.故選：C．2．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【詳解】∵，故故.故選：D.3．已知數(shù)列滿足，，記的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.所以所以，所以.故選：B.4．若數(shù)列滿足：若，則，則稱數(shù)列為“等同數(shù)列”．已知數(shù)列滿足，且，若“等同數(shù)列”的前項(xiàng)和為，且，，，則（

）A．4711 B．4712 C．4714 D．4718【答案】D【詳解】由得，則，故,所以，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得，同理得，，，…，故?shù)列是以3為周期的數(shù)列，所以，故選:D．5．已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，現(xiàn)從數(shù)列中剔除與的公共項(xiàng)后，將余下的項(xiàng)按照從小到大的順序進(jìn)行排列，得到新的數(shù)列，則數(shù)列的前150項(xiàng)之和為（

）A．23804 B．23946 C．24100 D．24612【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，故?shù)列的前項(xiàng)中包含的前項(xiàng)，故數(shù)列的前150項(xiàng)包含的前項(xiàng)排除與公共的8項(xiàng).記數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，故選：D.6．已知數(shù)列中，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題得，，又，所以.所以，可得.所以數(shù)列是遞增數(shù)列.又，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以.故選：A.7．已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，故?shù)列為等比數(shù)列，又，所以；則；所以.故選：D.8．如圖是美麗的“勾股樹”，將一個(gè)直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復(fù)圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記第n代“勾股樹”中所有正方形的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式恒成立，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【詳解】解：第1代“勾股樹”中，正方形的個(gè)數(shù)為，第2代“勾股樹”中，正方形的個(gè)數(shù)為，…，以此類推，第n代“勾股樹”中所有正方形的個(gè)數(shù)為，即，所以，因?yàn)椋詳?shù)列為遞增數(shù)列，又，，所以n的最小值為9．故選：C．9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A．119 B． C． D．【答案】B【詳解】由余弦函數(shù)的性質(zhì)知，，又，所以．故選：B．10．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對任意，且，總有恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】，當(dāng)時(shí)，

，解得當(dāng)時(shí)，整理得：，又各項(xiàng)均為正數(shù)是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列令令的最小值為故選：B二、多選題11．已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】，A正確；對于，有，兩式相加得，C正確；由知，則，B錯(cuò)誤；由偶數(shù)項(xiàng)均為可得為偶數(shù)時(shí)，，則，則，D正確.故選：ACD.12．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”（下圖所示的是一個(gè)4層的三角跺）.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的球的總數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】由題意得，，以上n個(gè)式子累加可得，又滿足上式，所以，故A錯(cuò)誤；則，得，故B正確；有，故C正確；由，得，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．?dāng)?shù)列滿足，，則前40項(xiàng)和為________．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故，故前40項(xiàng)和為，故答案為：14．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則_________.【答案】960【詳解】由，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則，故答案為：960.四、解答題15．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】(1)變形為，因?yàn)椋?，故?2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則16．定義：對于任意一個(gè)有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插人這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為．(1)試求的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，并猜想的通項(xiàng)公式（無需證明）；(2)若，求的前n