第7講函數(shù)與方程學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)概念：一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，并且f(a)·f(b)<0(即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào))，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.考點(diǎn)和典型例題1、函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷【典例1-1】（2022·天津紅橋·一模）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)是上的連續(xù)增函數(shù),,可得,所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C【典例1-2】（2021·山西·太原五中高三階段練習(xí)（文））利用二分法求方程的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)，當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿足（a）（b）時(shí)，在區(qū)間上有零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有解，又（2），（3），故（2）（3），故方程在區(qū)間上有解，即利用二分法求方程的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是.故選：C．【典例1-3】（2019·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，數(shù)據(jù)如下表：那么方程的一個(gè)近似根（精確到0.1）為（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【詳解】根據(jù)二分法，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，由于所以方程的一個(gè)近似根所在區(qū)間為所以符合條件的解為1.4故選:C.【典例1-4】（2022·天津·靜海一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖象，如圖：由圖可得有個(gè)交點(diǎn)，故有個(gè)零點(diǎn)．故選：B．【典例1-5】（2022·河南河南·三模（理））函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【詳解】令，得，圖象關(guān)于對(duì)稱，在上遞減.，令，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，，在上遞增，所以與有兩個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.故選：B2、圖像零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定【典例2-1】（2022·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【詳解】由可得或，又，則，或，或則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3故選：C【典例2-2】（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)高三期中（文））已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】令，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，所以，的零點(diǎn)等價(jià)于與交點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的值，如下圖示：由圖知：與有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)、：當(dāng)，即時(shí)，在、、上各有一個(gè)解；當(dāng)，即時(shí)，在有一個(gè)解.綜上，的零點(diǎn)共有4個(gè).故選：B【典例2-3】（2016·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)．若在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)為常函數(shù)，沒(méi)有零點(diǎn)，不滿足題意，所以為一次函數(shù)，因?yàn)樵趦?nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，解得或.故的取值范圍是.故選：C【典例2-4】（2022·湖南衡陽(yáng)·二模）已知定義在上的奇函數(shù)恒有，當(dāng)時(shí)，，已知，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．3個(gè)或4個(gè) D．4個(gè)或5個(gè)【答案】D【詳解】因?yàn)椋缘闹芷跒?，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，令，得，又，所以，當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)遞減得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，得，作出函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)在上只有3個(gè)零點(diǎn).當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)在上只有3個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有4個(gè)或5個(gè)零點(diǎn).故選：D【典例2-5】（2022·寧夏銀川·一模（理））設(shè)函數(shù)，已知在上單調(diào)遞增，則在上的零點(diǎn)最多有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【詳解】由，，得，，取，可得.若在上單詞遞增，則，解得.若，則.設(shè)，則，因?yàn)樗院瘮?shù)在上的零點(diǎn)最多有2個(gè).所以在上的零點(diǎn)最多有2個(gè).故選：A3、圖像零點(diǎn)的綜合應(yīng)用【典例3-1】（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，若有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：令，得，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖所示：由圖象知：若有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：A【典例3-2】（2022·黑龍江·哈師大附中三模（文））已知有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】顯然不是的根.所以因此只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足等價(jià)于方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令，令，故可知：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故圖像如圖：故.故選：D【典例3-3】（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)（且），若函數(shù)的零點(diǎn)有5個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．或C．或或 D．或【答案】D【詳解】解：依題意函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，①當(dāng)時(shí)函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：所以有兩個(gè)根，（，），而對(duì)應(yīng)2個(gè)根，所以需要對(duì)應(yīng)3個(gè)根，所以，即，解得；②當(dāng)時(shí)函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：所以有兩個(gè)根，（，），而對(duì)應(yīng)2個(gè)根，對(duì)應(yīng)2個(gè)根，即共四個(gè)根，所以不滿足題意；③當(dāng)時(shí)函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：所以有三個(gè)根，，，從而，，，所對(duì)應(yīng)2、2、1個(gè)根，即共5個(gè)根，所以滿足題意；④當(dāng)時(shí)函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：所以有三個(gè)根，，，（，，），而，，分別對(duì)應(yīng)2、2、0個(gè)根，即共四個(gè)根，所以不滿足題意；綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為或；故選：D【典例3-4】（2022·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩根，又，故可轉(zhuǎn)換為有兩根，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)與時(shí)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為故選：D【典例3-5】（2022·山東濟(jì)寧·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．