2025年事業(yè)單位招聘考試教師數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)知識試卷（數(shù)學(xué)研究）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)。每小題4分，共20分）1.設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1}。若A∪B=A，則實數(shù)a的取值集合為（）。A.{1}B.{1,0}C.{0}D.{1,-1}2.函數(shù)f(x)=log?(2x-1)的定義域是（）。A.(-∞,1/2)B.[1/2,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,1/2]∪(1/2,+∞)3.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=1，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點構(gòu)成的圖形是（）。A.一條直線B.一個圓C.一個橢圓D.一個拋物線4.極限lim(x→∞)(x2+1)/(3x-2)的值為（）。A.-2/3B.1/3C.0D.∞5.函數(shù)f(x)=x3-3x+1在區(qū)間(-2,2)內(nèi)的零點個數(shù)為（）。A.0B.1C.2D.3二、填空題（請將答案填在題后的橫線上。每小題5分，共25分）6.設(shè)函數(shù)g(x)=e^x-ax+1在整個實數(shù)域R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是__________。7.已知向量u=(1,k),v=(3,-2)，若u⊥v，則實數(shù)k的值為________。8.不等式|x-1|+|x+2|>4的解集為________。9.圓心在直線x-y=0上，且與直線x+y-4=0相切，半徑為√5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。10.設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a_1=1,a_n+1=S_n+1/n(n≥1)，則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=________。三、解答題（請按題目要求作答。共55分）11.（10分）已知函數(shù)f(x)=x3-px+q。若f(x)在x=1處取得極值，且f(1)=0。(1)求實數(shù)p,q的值；(2)判斷函數(shù)f(x)在點(1,0)處的切線是否經(jīng)過原點。12.（10分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c。已知a=3,b=√7,C=60°。(1)求邊c的長；(2)求sin(A)的值。13.（10分）設(shè)函數(shù)f(x)=√(x+1)-ax(a∈R)。(1)若f(x)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)在(1)的條件下，若對于任意x?>-1，總存在x?>-1，使得f(x?)+f(x?)=2，求實數(shù)a的最大值。14.（10分）已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=2,a_n+1=(n+1)*(a_n/(n+a_n))(n≥1)。(1)求數(shù)列{a_n*n}的通項公式；(2)求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n。15.（15分）設(shè)z=x+yi(x,y∈R)是方程x2+y2-2x+4yi=0的一個根。(1)求復(fù)數(shù)z的模|z|；(2)設(shè)復(fù)數(shù)w=z2+2z，求復(fù)數(shù)w在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的區(qū)域（用陰影表示），并寫出該區(qū)域邊界上復(fù)數(shù)w的最大值和最小值對應(yīng)的點（用坐標(biāo)表示）。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.B4.D5.C二、填空題6.a≤2e^(-1)7.-3/28.(-∞,-3)∪(2,+∞)9.(x-1)2+(y-1)2=5或(x+1)2+(y+1)2=510.n三、解答題11.解：(1)f'(x)=3x2-p。由題意，f'(1)=0，且f(1)=0。代入得3*12-p=0,13-p*1+q=0。解得p=3,q=2。(2)由(1)知p=3,q=2，故f(x)=x3-3x+2。f'(x)=3x2-3。切線斜率k=f'(1)=0。又f(1)=0，故切線方程為y=0。切線過原點(0,0)。12.解：(1)由余弦定理，c2=a2+b2-2ab*cosC=32+(√7)2-2*3*√7*cos60°=9+7-3√7=16-3√7。故c=√(16-3√7)。(2)由正弦定理，a/sinA=c/sinC。sinA=(a*sinC)/c=(3*sin60°)/√(16-3√7)=(3*√3/2)/√(16-3√7)=3√3/[2√(16-3√7)]。分母有理化：√(16-3√7)*√(16+3√7)=√(256-63)=√193。故sinA=3√3/[2√193]。13.解：(1)f'(x)=(1/(2√(x+1)))-a。由題意，f'(x)≥0在(-1,+∞)上恒成立。即(1/(2√(x+1))))≥a在(-1,+∞)上恒成立。令t=√(x+1)，t∈(0,+∞)，則不等式變?yōu)?/(2t)≥a，即a≤1/(2t)。該不等式在(0,+∞)上恒成立，故a≤(1/(2t))的最小值。由于1/(2t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，其最小值趨近于0。但需a≤1/(2t)對所有t>0成立，即a≤0。(2)由(1)知a=0。此時f(x)=√(x+1)。由題意，對于任意x?>-1，存在x?>-1，使得f(x?)+f(x?)=2。即√(x?+1)+√(x?+1)=2。令g(t)=√(t+1)，則問題等價于：對于任意t?>0，存在t?>0，使得g(t?)+g(t?)=2。即2√(t+1)≥2，即√(t+1)≥1。此不等式對于t>0恒成立。反之，若存在t?>0使√(t?+1)≤1，即t?≤0，則√(t?+1)+√(t?+1)≥√(t?+1)≥1>2，矛盾。故對于任意t?>0，必有t?>0使得g(t?)+g(t?)=2。因此，該條件恒成立，a=0是滿足條件的最大值。14.解：(1)令b_n=a_n*n。則b_n+1=a_(n+1)*(n+1)=(n+1)*(a_n/(n+a_n))*(n+1)=(n+1)2*(a_n/(n+a_n))。故b_n+1/b_n=(n+1)2/(n+a_n)。又b_n=a_n*n，故a_n=b_n/n。代入上式得b_n+1/b_n=(n+1)2/(n+b_n/n)=(n+1)2/((n2+n)/n+b_n/n)=(n+1)2/((n2+n+b_n)/n)=(n+1)2*n/(n2+n+b_n)。兩邊同乘b_n/(n+1)2得(b_n+1/b_n)*(b_n/(n+1)2)=n/(n2+n+b_n)。即(b_n+1/(n+1)2)=n/(n2+n+b_n)。變形得(b_n+1/(n+1)2)-(b_n/n2)=(n/(n2+n+b_n))-(b_n/n2)=(n3-b_n(n2+n+b_n))/(n2(n2+n+b_n))=(n3-n2b_n-nb_n2-b_n3)/(n?+n3+n2b_n)=0。故(b_n+1/(n+1)2)-(b_n/n2)=0，即b_n+1/(n+1)2=b_n/n2。因此，數(shù)列{b_n/n2}是常數(shù)列。令c=b_1/12=a_1*1/12=2/1=2。故b_n/n2=2，即b_n=2n2。所以a_n*n=2n2，得a_n=2n。(2)由(1)知a_n=2n。故S_n=a_1+a_2+...+a_n=2*1+2*2+...+2*n=2*(1+2+...+n)=2*(n(n+1)/2)=n(n+1)。15.解：(1)將z=x+yi代入方程x2+y2-2x+4yi=0，得(x+yi)2-2x+4yi=0。展開得x2+2xyi-y2-2x+4yi=0。整理得(x2-y2-2x)+(2xy+4y)i=0。由復(fù)數(shù)等于零的條件，實部和虛部均為零。即x2-y2-2x=0且2xy+4y=0。由2xy+4y=0，得y(2x+4)=0。若y=0，則x2-2x=0，得x(x-2)=0，x=0或x=2。若y=0，則z=0或z=2，均不滿足原方程x2+y2-2x=0(除非x=0)。故y≠0。由y(2x+4)=0得2x+4=0，x=-2。將x=-2代入x2-y2-2x=0，得(-2)2-y2-2*(-2)=0，即4-y2+4=0，y2=8，y=±2√2。故z=-2+2√2i或z=-2-2√2i。|z|=√((-2)2+(±2√2)2)=√(4+8)=√12=2√3。(2)w=z2+2z。若z=-2+2√2i，則w=(-2+2√2i)2+2(-2+2√2i)=(4-8√2i+8i2)-4+4√2i=4-8√2i-8-4+4√2i=-8-4√2i。對應(yīng)點為(-8,-4√2)。若z=-2-2√2i，則w=(-2-2√2i)2+2(-2-2√2i)=(4+8√2i+8i2)-4-4√2i=4+8√2i-8-4-4√2i=-8+4√2i。對應(yīng)點為(-8,4√2)。復(fù)數(shù)w=x+yi。當(dāng)z=-2+2√2i時，w=-8-4√2i。當(dāng)z=-2-2√2i時，w=-8+4√2i。觀察這兩個點，w的實部