第14講三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識(shí)梳理1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖像中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖像中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖像定義域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無考點(diǎn)和典型例題1、三角函數(shù)的定義域和值域【典例1-1】（2022·河北邯鄲·二模）函數(shù)在上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值1，當(dāng)，即時(shí)，取最小值大于，故值域?yàn)楣蔬x：C【典例1-2】（2022·遼寧·東港市第二中學(xué)高一期中）函數(shù)，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：函數(shù)，，，因?yàn)?，則所以，因?yàn)椋?，一個(gè)為的最大值，一個(gè)為最小值，則，或解得，或所以（i），或（ii）對于（i），當(dāng)時(shí)，的最小值是，對于（ii），當(dāng)時(shí)，的最小值是，綜上，的最小值是，故選：D【典例1-3】（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．時(shí)取得最小值C．關(guān)于對稱 D．時(shí)取得最大值【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)的最小正周期，A錯(cuò)誤，，BC錯(cuò)誤，，D正確.故選：D.【典例1-4】（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知不等式對恒成立，則m的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)椴坏仁綄愠闪?，所以不等式對恒成立，令，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，解得，所以m的最小值為，故選：D【典例1-5】（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，則，要使f(x)在上的值域是，則.故選：C.2、三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性【典例2-1】（2022·山東威?！と＃┘褐瘮?shù)為偶函數(shù)，則(

)A．0 B． C． D．【答案】C【詳解】∵f(x)定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，∴，，．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)滿足題意．故選：C．【典例2-2】（2022·天津和平·三模）函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，而為偶函?shù)，所以，即，而，所以的最小值是．故選：B．【典例2-3】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模（文））已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，所以，得，所以，得，所以，所以，所以，所以的最小正周期為，故選：C【典例2-4】（2022·陜西西安·一模（理））若函數(shù)的最小正周期為，則是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．是奇函數(shù)也是偶函數(shù)【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，解得，所以，，所以，函數(shù)為偶函數(shù).故選：B.【典例2-5】（2022·新疆克拉瑪依·三模（文））已知函數(shù)的最小值周期為，將的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的一個(gè)值是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題可得，即，則函數(shù)的解析式為，將的圖象向右平移個(gè)單位長度所得的函數(shù)解析式為：，又函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時(shí)，，則①，令，可得：，其余選項(xiàng)不適合①式.故選：B．3、三角函數(shù)的單調(diào)性【典例3-1】（2022·天津南開·三模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的值可能為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的值可能為，故選：B【典例3-2】（2022·湖北·荊州中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)在單調(diào)遞減，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，令，解得，，因?yàn)?，所以，則，故，解得，所以最大值為．故選：B．【典例3-3】（2022·全國·模擬預(yù)測（文））將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再保持所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，則使得單調(diào)遞增的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再保持所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，則，則單調(diào)遞增區(qū)間為：，則當(dāng)時(shí)，.故選：C.【典例3-4】（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（文））下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】A.因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故正確；B.，所以是偶函數(shù)，易知在上遞增，在上遞減，故錯(cuò)誤；C.，所以是偶函數(shù)，易知在上遞減，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)?，所以，則不是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：A【典例3-5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變，得到，再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，即，若在上單調(diào)遞減，則的周期，即，得，由，，得，，即，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，，若在上單調(diào)遞減，則，，即，，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍是.故選：D．【典例3-6】（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：，，