第4講函數(shù)及其性質(zhì)學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理基本概念1.函數(shù)的概念概念一般地，給定兩個非空實數(shù)集A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中的每一個實數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A三要素對應關系y＝f(x)，x∈A定義域自變量取值的范圍值域所有函數(shù)值組成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}2.同一個函數(shù)(1)前提條件：①定義域相同；②對應關系相同.(2)結論：這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法.4.分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.單調(diào)性與最值1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，且I?D如果對任意x1，x2∈I，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，則稱y＝f(x)在I上是增函數(shù)如果對任意x1，x2∈I，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，則稱y＝f(x)在I上是減函數(shù)圖像描述自左向右看圖像是上升的自左向右看圖像是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I具有單調(diào)性，區(qū)間I稱為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，且x0∈D：如果對任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x)的最大值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最大值點；如果對任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x)的最小值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最小值點.最大值和最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點和最小值點統(tǒng)稱為最值點.奇偶性、周期性1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖像特點偶函數(shù)一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，則稱y＝f(x)為偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則稱y＝f(x)為奇函數(shù)關于原點對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.考點和典型例題1、函數(shù)的概念【典例1-1】（2022·河南·長葛市第一高級中學模擬預測（理））已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，則（

）A．27 B．－27 C．54 D．－54【答案】A【詳解】由已知可得，，因此，．故選:A．【典例1-2】（2022·河南·長葛市第一高級中學模擬預測（文））若函數(shù)則（

）A．10 B．9 C．12 D．11．【答案】A【詳解】當時，，所以．故選：A.【典例1-3】（2022·北京·模擬預測）函數(shù)的定義域是_______．【答案】【詳解】由題意可得，，解之得則函數(shù)的定義域是故答案為：【典例1-4】（2022·浙江·模擬預測）已知，則___________.【答案】11【詳解】由于，從而.故答案為：11.【典例1-5】（2022·浙江溫州·三模）已知函數(shù)若，則實數(shù)a的值等于___________.【答案】【詳解】①當即時，，則（舍）②當即時，Ⅰ：當,即時,有Ⅱ:當時，即時，有無解綜上，.故答案為：2、單調(diào)性及其應用【典例2-1】（2022·北京·二模）下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上有相同單調(diào)性的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由為奇函數(shù)且在上遞增，A、B：、非奇非偶函數(shù)，排除；C：為奇函數(shù)，但在上不單調(diào)，排除；D：，顯然且定義域關于原點對稱，在上遞增，滿足.故選：D【典例2-2】（2022·貴州遵義·三模（文））若奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由是奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且可知：當時，，當時，，又或，解得：或滿足的x的取值范圍是或故選：D【典例2-3】（2022·河北唐山·二模）已知函數(shù)，若，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：定義域為R，又，所以是奇函數(shù)，當時，，當時，，易知在上遞增，所以在定義域R上遞增，又，所以，解得，故選：C【典例2-4】（2022·山西太原·二模（文））已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．的圖象關于直線x=1對稱 D．的圖象關于點對稱【答案】C【詳解】因為，，所以，所以A不正確；因為，，所以，故B不正確；因為，所以的圖象關于直線x=1對稱，故C正確；在的圖象上取一點，則其關于點的點為，因為，所以點不在函數(shù)的圖象上，故的圖象不關于點對稱，故D不正確.故選：C【典例2-5】（2022·貴州遵義·三模（文））已知函數(shù)滿足：①；②；③在上單調(diào)遞減，寫出一個同時滿足條件①②③的函數(shù)_________．【答案】（答案不唯一）【詳解】由題意可知，的圖象關于直線對稱，且在上單調(diào)遞減，且，可取滿足條件.故答案為：（答案不唯一）.【典例2-6】（2022·全國·三模（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．【答案】【詳解】當時，，則其在上遞減，當時，，則，當時，，所以在上遞減，綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：3、奇偶性及其應用【典例3-1】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（文））函數(shù)滿足，，函數(shù)的圖象關于點對稱，則（

）A．-8 B．0 C．-4 D．-2【答案】B【詳解】∵關于對稱，∴關于對稱，即是奇函數(shù)，令得，，即，解得．∴，即，∴，即函數(shù)的周期是4．∴．故選：B.【典例3-2】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（文））已知函數(shù)，則圖象為下圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意，函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)圖象關于原點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，對于A中，函數(shù)不是奇函數(shù)，所以A不符合題意；對于B中，函數(shù)不是奇函數(shù)，所以B不符合題意；對于C中，函數(shù)此時函數(shù)為奇函數(shù)，又由，當時，，此時函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而圖象中先增后減，所以C不符合題意.故選：D.【典例3-3】（2022·上海市市西中學高三階段練習）已知函數(shù)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，若前2022項和小于零，則的值(

)A．恒為正數(shù) B．恒為負數(shù) C．恒為0 D．可正可負【答案】B【詳解】函數(shù)是R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)，，且當，；當，．設等差數(shù)列前n項和為，由題可知，則，即，則(1≤n≤2011，)．所以，結合函數(shù)在R上的單調(diào)增和奇函數(shù)性質(zhì)，可得，所以∴<0；綜上，的值恒為負數(shù)．故選：B．【典例3-4】（2022·河南開封·三模（理））函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故CD不正確；當時，，故B不正確.故選：A【典例3-5】（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預測（文））下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于A，，，，故為非奇非偶函數(shù)，對于B，，定義域為，，為偶函數(shù)，對于C，，為偶函數(shù)，對于D，易知定義域為R,，，為奇函數(shù)．故選：D4、函數(shù)性質(zhì)的綜合應用【典例4-1】（2022·福建福州·三模）已知函數(shù)，以下結論中錯誤的是（

）A．是偶函數(shù) B．有無數(shù)個零點C．的最小值為 D．的最大值為【答案】C【詳解】對于A，定義域為，，為偶函數(shù)，A正確；對于B，令，即，，解得：，有無數(shù)個零點，B正確；對于C，，若的最小值為，則是的一個極小值點，則；，，不是的極小值點，C錯誤；對于D，，；則當，，即時，取得最大值，D正確.故選：C.【典例4-2】（2022·吉林白山·三模（理））已知函數(shù)，若對任意，，恒成立，則m的最大值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．e【答案】C【詳解】由題知對任意，恒成立，等價于，即，即對任意，恒成立，不妨設，令，則，則原式等價于，即在恒成立，設，，則，所以在上為增函數(shù)，所以，所以，即m的最大值為，當且僅當，即時取得最大值，故選：C.【典例4-3】（2022·江蘇南京·三模）已知，若?x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．（－1，＋∞） B．C．（0，＋∞） D．【答案】B【詳解】時，，符合題意；時，，即顯然在R上遞增，則對恒成立對恒成立則：；綜上，，故選：B．【典例4-4】（2022·全國·高三專題練習）（多選題）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若是偶函數(shù)，則 B．若，則函數(shù)是奇函數(shù)C．若，則函數(shù)存在最小值 D．若函數(shù)存在極值，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】ACD【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，且，則，則，則，故恒成立，故，故A正確；對于B，若，則，，，不成立，故B不正確；對于C，當時，，可得，令，即，解得，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，所以C正確；對于D，，因為存在極值，則有解，令，即，所以，則，即，解得，所以D正確.故選：ACD.【典例4-5】（2022·河南·模擬預測（理））已知的定義域為R，若函數(shù)滿足，則稱為的一個不動點，有下列結論：①的不動點是3；②存在不動點；③若函數(shù)為奇函數(shù)，則其存在奇數(shù)個不動點；若為偶函數(shù)，則其存在偶數(shù)個不動點；④若為周期函數(shù)，則其存在無數(shù)個不動點；⑤若存在不動點，則也存在不動點，以上結論正確的序號是____________.【答案】①⑤【詳解】①則，①正確；②構建則令則∴在上遞減，在上遞增，則∴即不存在不動點，②不正確；③為偶函數(shù)，顯然只有一個不動點；③不正確；(為奇函數(shù),顯然有無數(shù)個不動點)④為周期函數(shù)，顯然只有