第3練均值不等式及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、單選題1．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A． B．4 C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，故，其中，，由，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，滿足，故的最小值為，故選：D.2．函數(shù)的最小值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，，利用基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：D.3．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：D.4．函數(shù)的最小值為（

）A．7 B．7 C．6 D．2【答案】B【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：B5．下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．函數(shù)中最小值為C．若，則D．若，則【答案】A【詳解】由可得，所以，A對(duì)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值為-10，故B錯(cuò)，當(dāng)時(shí)，，所以，C錯(cuò)，取，則，D錯(cuò)，故選：A.6．下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，成立的條件為，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，故，正確.故選：D7．已知中，點(diǎn)D為線段（不包括端點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，且實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D為線段（不包括端點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，且實(shí)數(shù)x，y滿足，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故選：A8．若，且，則的最小值為（

）A．9 B．3 C．1 D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?，即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最小值為.故選：C二、多選題9．已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】由題可知，，又，所以，D錯(cuò)誤；因?yàn)?，有．所以A正確；由基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；又因?yàn)?，，所以，故，B正確；由于，，所以，C正確.故選：ABC．10．已知，是兩個(gè)正數(shù)，4是與的等比中項(xiàng)，則下列說法正確的是（

）A．的最小值是1 B．的最大值是1C．的最小值是 D．的最大值是【答案】BC【詳解】因?yàn)?，所以，所以，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為1，故錯(cuò)誤，B正確．因?yàn)?，故的最小值為，無最大值，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC11．下列函數(shù)最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，，最小值為2；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取得最小值2；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值2；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)取得最小值1，綜上可知：ABC正確.故選：ABC.12．設(shè)，且，則(

)A． B． C． D．【答案】AC【詳解】對(duì)于A：，且，，解得，故A正確；對(duì)于B：，即，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，故C正確；對(duì)于D，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∵－3＝，∴，∴D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13．若，，且，則的最小值為___________【答案】##【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為：14．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.【答案】##0.75【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.15．某工廠的產(chǎn)值第二年比第一年的增長(zhǎng)率是，第三年比第二年的增長(zhǎng)率是，而這兩年的平均增長(zhǎng)率為，在為定值的情況下，的最大值為___________（用?表示）【答案】【詳解】設(shè)第一年的產(chǎn)值為，則第二年的產(chǎn)值為，第三年的產(chǎn)值為，又這兩年的平均增長(zhǎng)率為，所以，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，所以的最大值為.故答案為：16．小明用某款手機(jī)性能測(cè)試app對(duì)10部不同品牌的手機(jī)的某項(xiàng)性能進(jìn)行測(cè)試，所得的分?jǐn)?shù)按從小到大的順序（相等數(shù)據(jù)相鄰排列）排列為：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知總體的中位數(shù)為90，若要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則_________.【答案】0【詳解】因?yàn)榭傮w的中位數(shù)為90，所以，平均數(shù)為，要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，即方差最小，即最小，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故.故答案為：0四、解答題17．已知，，，求證：(1)；(2).【解析】(1)由題意，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，所以，所以．(2)由，所以，，所以，所以，所以，所以．18．某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？【答案】(1)400；(2)不能獲利，至少需要補(bǔ)貼35000元.【解析】(1)由題意可知：，每噸二氧化碳的平均處理成本為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴該單位每月處理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低；(2)該單位每月的獲利：，因，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，所以，該單位每月不能獲利，國(guó)家至少需要補(bǔ)貼35000元才能使該單位不虧損.18．某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似