2025年福建省事業(yè)單位招聘考試教師招聘數(shù)學學科專業(yè)知識試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題：下列各題只有一個選項是最符合題意的，請將正確選項的字母填在括號內。1.若集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},則A∩B=?（A）{x|-1<x<1}（B）{x|1≤x<3}（C）{x|x>-1}（D）{x|x<3}2.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+1)的定義域是？（A）(-∞,1)∪(1,+∞)（B）[0,2]（C）R（D）{1}3.已知等差數(shù)列{a<0xE2><0x82><0x99>}的前n項和為S<0xE2><0x82><0x99>，若a?=5,S?=25，則該數(shù)列的公差d等于？（A）1（B）2（C）3（D）44.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是？（A）π/2（B）π（C）2π/3（D）2π5.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c。若a2=b2+c2-bc，則角A的大小是？（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°6.拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為5的概率是？（A）1/6（B）1/12（C）5/36（D）1/187.點P(x,y)在直線3x-4y+12=0上，且到點A(0,0)的距離為5，則點P的坐標可以是？（A）(4,3)（B）(-4,-3)（C）(0,3)（D）(0,-3)8.拋物線y2=8x的焦點坐標是？（A）(2,0)（B）(-2,0)（C）(0,2)（D）(0,-2)9.若函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則實數(shù)a的值為？（A）3（B）-3（C）2（D）-210.“對于任意實數(shù)x，x2≥0”這一命題的否定是？（A）存在實數(shù)x，x2<0（B）存在實數(shù)x，x2≥0（C）對于任意實數(shù)x，x2<0（D）對于任意實數(shù)x，x2≤0二、填空題：請將答案填在橫線上。1.若向量m=(1,k)與向量n=(3,-2)垂直，則實數(shù)k的值為________。2.不等式|2x-1|<3的解集是________。3.已知圓心在直線x-y=0上，半徑為5的圓與直線x+2y-10=0相切，則該圓的方程是________。4.數(shù)列{a<0xE2><0x82><0x99>}的通項公式為a<0xE2><0x82><0x99>=n(n+1)/2，則該數(shù)列的前n項和S<0xE2><0x82><0x99>=________。5.在直角坐標系中，由點A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)圍成的圖形的面積是________。三、解答題：請寫出詳細的解答過程。1.已知函數(shù)f(x)=x2-mx+2。(1)若f(x)在x=1處的切線斜率為-4，求實數(shù)m的值。(2)判斷函數(shù)f(x)是否存在零點，若存在，求出零點所在的區(qū)間；若不存在，請說明理由。2.在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知a=3,b=√7,C=60°。(1)求邊c的長。(2)求sin(A)的值。3.已知數(shù)列{a<0xE2><0x82><0x99>}是等比數(shù)列，a?=2,a?=16。(1)求數(shù)列{a<0xE2><0x82><0x99>}的通項公式。(2)設b<0xE2><0x82><0x99>=log?(a<0xE2><0x82><0x99>)，求數(shù)列{b<0xE2><0x82><0x99>}的前n項和S<0xE2><0x82><0x99>。4.已知函數(shù)f(x)=e?-x。(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間。(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值和最小值。5.在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在原點O，長軸在x軸上，離心率為√2/2，且過點(2,0)。(1)求橢圓C的標準方程。(2)設P為橢圓C上異于長軸端點的任意一點，過點P作橢圓C的兩條切線，分別交x軸于點M、N。求線段MN長度的最小值。6.為了了解某校高三學生的視力健康情況，隨機抽取了部分學生進行視力檢查，將檢查結果（視力范圍）整理后，繪制成如下不完整的頻率分布直方圖和頻率分布表（每組數(shù)據(jù)包含組內下限，不包含組內上限）。|視力范圍|頻數(shù)|頻率||-------------|----|----||[-0.5,0.5)|10|0.1||[0.5,1.5)||||[1.5,2.5)||||[2.5,3.5)||0.4||[3.5,4.5)||||合計||1|(1)完成頻率分布表，并補全頻率分布直方圖。(2)根據(jù)頻率分布表，估計該校高三學生視力在2.5以上（含2.5）的概率。(3)若從視力在[1.5,2.5)和[2.5,3.5)的學生中隨機抽取2名學生進行跟蹤調查，求這2名學生視力都在2.5以上（含2.5）的概率。7.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間。(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值和最小值。(3)若關于x的方程f(x)-k=0在區(qū)間(1,3)上有實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍。8.在平面直角坐標系xOy中，過點P(0,t)(t>0)作直線l與拋物線C:y2=4x交于A(x?,y?),B(x?,y?)兩點，且A,B在拋物線的同一支上。(1)求直線l的斜率k與t的關系式。(2)是否存在點P，使得|PA|=|PB|？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。---試卷答案一、單項選擇題1.B2.B3.C4.B5.C6.A7.A8.A9.A10.A二、填空題1.-6/3=-22.(-1,2)3.(x-1)2+(y+1)2=25或(x+1)2+(y-1)2=254.n(n+1)(n+2)/65.2三、解答題1.解：(1)f'(x)=2x-m。由題意，f'(1)=-4，即2*1-m=-4，解得m=6。(2)將m=6代入f(x)，得f(x)=x2-6x+2=(x-3)2-7。因為(x-3)2≥0，所以f(x)≥-7。又f(0)=2>0，f(6)=2-36+2=-32<0。由零點存在性定理，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,6)內存在零點。又因為f(3)=-7<0，且f(x)在x=3左右由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)，結合f(0)>0，可知零點唯一，且在區(qū)間(0,3)內。2.解：(1)由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=32+(√7)2-2*3*√7*cos60°=9+7-3√7=16-3√7。所以c=√(16-3√7)。(2)由正弦定理，a/sinA=c/sinC，得sinA=(a*sinC)/c=(3*sin60°)/√(16-3√7)=(3*√3/2)/√(16-3√7)=3√3/[2√(16-3√7)]。分母有理化：√(16-3√7)*√(16+3√7)=√(256-63)=√193。所以sinA=3√3/[2√(193)]。sinA=√3/2。因為a<c，所以A<C=60°。故A=60°。3.解：(1)設數(shù)列{a<0xE2><0x82><0x99>}的公比為q。由a?=a?*q3，得16=2*q3，解得q3=8，所以q=2。因此，a<0xE2><0x82><0x99>=2*2^(n-1)=2?。(2)b<0xE2><0x82><0x99>=log?(a<0xE2><0x82><0x99>)=log?(2?)=n*log?(2)=n*(1/2)=n/2。所以數(shù)列{b<0xE2><0x82><0x99>}是首項為1/2，公差為1/2的等差數(shù)列。其前n項和S<0xE2><0x82><0x99>=n/2*[2*(1/2)+(n-1)*(1/2)]=n/2*(n/2)=n2/4。4.解：(1)f'(x)=e?-1。令f'(x)>0，得e?-1>0，即e?>1，解得x>0。函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增。令f'(x)<0，得e?-1<0，即e?<1，解得x<0。函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調遞減。所以函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(0,+∞)，單調減區(qū)間為(-∞,0)。(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞增（由第一問解析可知）。因此，最小值在左端點取得，最小值為f(0)=e?-0=1。最大值在右端點取得，最大值為f(1)=e1-1=e-1。所以最大值是e-1，最小值是1。5.解：(1)由題意，e=c/a=√2/2，所以c=a/√2。因為橢圓過點(2,0)，所以a=2，c=2/√2=√2。又b2=a2-c2=22-(√2)2=4-2=2。因為焦點在x軸上，所以橢圓的標準方程為x2/4+y2/2=1。(2)設P(x?,y?)(y?≠0)。由點斜式，過點P的切線方程為y-y?=(-x?/2)(x-x?)，即x?x+2y-2y?=0。令y=0，得x=2y?/x?。所以M(2y?/x?,0)。同理，另一條切線與x軸交于N(-2y?/x?,0)。所以|MN|=|-2y?/x?-2y?/x?|=|4y?/x?|=4|y?|/|x?|。因為P(x?,y?)在橢圓上，所以x?2/4+y?2/2=1，即y?2=2(1-x?2/4)=2-x?2/2。所以|MN|=4√(2-x?2/2)/|x?|。令t=|x?|∈(0,2)，則|MN|=4√(2-t2/2)/t=4√(4-t2)/(2t)=2√(4-t2)/t。令g(t)=2√(4-t2)/t(t∈(0,2))。g'(t)=[2t*(-t/(√(4-t2)))-2√(4-t2)]/t2=[-2t2/(√(4-t2))-2√(4-t2)]/t2=-2[√(4-t2)+t2/(√(4-t2))]/t2=-2[4-t2+t2]/[t2√(4-t2)]=-8/[t2√(4-t2)]。因為t∈(0,2)，所以t2>0且√(4-t2)>0，故g'(t)<0。所以g(t)在(0,2)上單調遞減。因此，g(t)在t=2時取得最小值，即|MN|的最小值為g(2)=2√(4-22)/2=2√(4-4)/2=2*0/2=0。但這對應x?=0，即P為短軸端點，此時MN重合，長度為0，不符合題意（要求異于長軸端點）。我們需要找g(t)在(0,2)上的最小值。當t趨近于0時，g(t)趨近于無窮大。當t趨近于2時，g(t)=0。所以在(0,2)上g(t)存在最小值。令h(t)=4-t2，h'(t)=-2t。令h'(t)=0，得t=0。在(0,2)上h(t)單調遞減，所以h(t)<h(0)=4。又g(t)=2√h(t)/t，在(0,2)上，t>0，√h(t)>0。因此，g(t)的最小值出現(xiàn)在h(t)取得最小值時，即t趨近于2時。但如前所述，此時長度為0。所以線段MN長度的最小值在t接近2但不等于2時取得，其值為2√(4-t2)/t，當t接近2時，該值接近于0。然而題目要求MN長度的最小值，通常指非零的最小正值。從函數(shù)g(t)的圖像和性質看，它在(0,2)上嚴格單調遞減，從無窮大減小到0。因此，如果題目允許，最小值可以認為是0。但更嚴謹?shù)谋硎鍪?，存在點P，使得MN長度可以任意接近0，但不會大于2√2。若題目隱含要求MN為線段，則最小值為0不合適。這里可能需要根據(jù)具體考試要求理解。若理解為“最小正值”，則不存在。若理解為“極限最小值”，則最小值為0。鑒于題目條件，MN長度隨x?接近0而無限增大，隨x?接近√2而趨近于0。在(0,√2)區(qū)間內，g(t)單調遞減，從無窮大到0。在(√2,2)區(qū)間內，h(t)仍單調遞減，g(t)繼續(xù)單調遞減，從某個正值減小到0。因此，g(t)在(0,2)上的最小值確實是0，但這發(fā)生在x?=0或y?=0的情況，即P為短軸端點。如果題目要求P不是長軸端點，則不存在最小正值。若題目允許，最小值為0。6.解：(1)頻數(shù)合計=10/0.1=100。第一組頻率=10/100=0.1。第二組頻數(shù)=100-10-40=50，第二組頻率=50/100=0.5。第三組頻數(shù)=40，第三組頻率=40/100=0.4。第四組頻數(shù)=100-10-50-40=10，第四組頻率=10/100=0.1。第五組頻數(shù)=0，第五組頻率=0/100=0。補全頻率分布表如下：|視力范圍|頻數(shù)|頻率||-------------|----|----||[-0.5,0.5)|10|0.1||[0.5,1.5)|50|0.5||[1.5,2.5)|40|0.4||[2.5,3.5)|10|0.1||[3.5,4.5)|0|0||合計|100|1|補全頻率分布直方圖（此處無法繪制，請自行繪制）：橫軸為視力范圍，縱軸為頻率。五個矩形，底邊分別為各組的組距，高分別為各組的頻率。前兩矩形高分別為0.1和0.5，后兩矩形高分別為0.4和0.1，最后一矩形高為0。(2)視力在2.5以上（含2.5）的學生包括第四組和第五組的學生，其頻率之和為0.1+0=0.1。所以概率為0.1。(3)視力在[1.5,2.5)的學生有40名，其中視力在2.5以上（含2.5）的有10名。視力在[2.5,3.5)的學生有10名，其中視力在2.5以上（含2.5）的有10名。設事件A為“抽取的2名學生視力都在2.5以上（含2.5）”。從40+10=50名學生中抽取2名，總共有C(50,2)=50*49/2=1225種方式。這50名學生中，視力在2.5以上（含2.5）的有10+10=20名。從這20名學生中抽取2名，有C(20,2)=20*19/2=190種方式。所以P(A)=C(20,2)/C(50,2)=190/1225=38/245。7.解：(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)>0，得x(x-2)>0，解得x<0或x>2。函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)和(2,+∞)上單調遞增。令f'(x)<0，得0<x<2。函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上單調遞減。所以函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(-∞,0),(2,+∞)，單調減區(qū)間為(0,2)。(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,4]上的極小值在x=2處取得，極小值為f(2)=23-3*22+2=8-12+2=-2。函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,4]上的極大值在左端點取得，極大值為f(-1)=(-1)3-3*(-1)2+2=-1-3+2=-2。比較端點值：f(-1)=-2，f(4)=43-3*42+2=64-48+2=18。所以最大值是18，最小值是-2。8.解：(1)將直線l的方程y=kx+t代入拋物線C的方程y2=4x，得(kx+t)2=4x。整理得k2x2+2ktx+t2-4x=0，即k2x2+(2kt-4)x+t2=0。因為直線與拋物線有兩個交點A,B，所以該二次方程有兩個不同的實根x?,x?。所以判別式Δ=(2kt-4)2-4k2t2=4k2t2-16kt+16-4k2t2=16kt+16>0。即16(kt+1)>0，得kt+1>0。由韋達定理，x?+x?=-(2kt-4)/k2=(4-2kt)/k2，x?x?=t2/k2。點