第9講導數(shù)的概念及運算學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.導數(shù)的概念(1)稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)，即f′(x0)＝.(2)在f(x)的定義域內，f′(x)是一個函數(shù)，這個函數(shù)通常稱為函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)，記作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y(tǒng)′＝y(tǒng)x′＝，導函數(shù)也簡稱為導數(shù).2.導數(shù)的幾何意義f′(x0)是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，從而在點(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(1)C′＝0；(2)(xα)′＝α·xα－1；(3)(ax)′＝ax·lna；(4)(logax)′＝eq\f(1,xlna)；(5)(sinx)′＝cosx；(6)(cosx)′＝－sinx；(7)(ex)′＝ex；(8)(lnx)′＝eq\f(1,x).4.導數(shù)的運算法則如果f(x)，g(x)都可導，則有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；(4)[Cf(x)]′＝Cf′(x).5.復合函數(shù)的導數(shù)如果函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復合函數(shù)為y＝h(x)＝f(g(x))，則復合函數(shù)的導數(shù)h′(x)與f′(u)，g′(x)之間的關系為h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝y(tǒng)u′·ux′.考點和典型例題1、導數(shù)的概念及幾何意義【典例1-1】（2022·河北·模擬預測）曲線在處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【詳解】，.故選：B.【典例1-2】（2022·山東棗莊·三模）曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，則，直線的斜率為，由題意可得，解得.故選：C.【典例1-3】（2022·湖北·宜城市第一中學高三階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．且【答案】D【詳解】作出的圖象，由圖可知，若過點可以作曲線的兩條切線，點應在曲線外，設切點為，所以，，所以切線斜率為，整理得，即方程在上有兩個不同的解，所以，，所以且.故選：D．【典例1-4】（2022·廣西廣西·模擬預測（理））曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵∴，所以，又當時，，所以在點處的切線方程為：，即.故選：A.【典例1-5】（2022·河南洛陽·三模（理））若過點可作出曲線的三條切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知，曲線，即令，則，設切點為，切線方程的斜率為，所以切線方程為：，將點代入方程得：，整理得，設函數(shù)，過點可作出曲線的三條切線，可知兩個函數(shù)圖像與有三個不同的交點，又因為，由，可得或，所以函數(shù)在，上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為，如圖所示，當時，兩個函數(shù)圖像有三個不同的交點.故選：C.2、導數(shù)的運算【典例2-1】（2022·陜西·西安中學模擬預測（文））已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則（

）A．1 B． C．-1 D．【答案】C【詳解】因為，所以，所以，解得．故選：.【典例2-2】（2022·全國·河源市河源中學模擬預測）已知實數(shù)x滿足，，，那么的值為(

)A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【詳解】由兩邊同時乘x可得：，又，因此．由，即，可得，∴，∴．故選：C﹒【典例2-3】（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)，滿足且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】取，則有，即，又因為所以，所以，所以.故選：C【典例2-4】（2022·江蘇鹽城·三模）已知為的導函數(shù)，且滿足，對任意的總有，則不等式的解集為__________．【答案】##【詳解】設函數(shù)，則又

所以在上單調遞增，又故不等式可化為由的單調性可得該不等式的解集為．故答案為：【典例2-5】（2022·全國·贛州市第三中學模擬預測（理））已知，且，，那么___________.【答案】【詳解】因為，所以，，即，所以，，因為，則，所以，，解得，所以，，因此，.故答案為：.3、導數(shù)運算的綜合【典例3-1】（2020·陜西·咸陽市高新一中高三階段練習（理））已知，且，則實數(shù)a的值為(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，，，．故選：D．【典例3-2】（2022·河南·方城第一高級中學模擬預測（理））已知直線l的斜率為2，l與曲線：和圓：均相切，則（

）A．－4 B．－1 C．1 D．4【答案】D【詳解】設直線l：與曲線相切，切點為，因為的導數(shù)為，由，解得，所以切點為，代入得，所以切線方程為.將化為標準方程為，因為l與圓相切，所以，解得.故選：D【典例3-3】（2022·山西太原·二模（理））已知函數(shù)圖象上存在兩條互相垂直的切線，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，令，由，得，所以由題意可知，存在，使得，只需要，即，所以，，所以的最大值為.故選:D.【典例3-4】（2022·江西南昌·二模（理））已知函數(shù)f，若函數(shù)的圖象上存在兩個點，，滿足，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由函數(shù)解析式，時，，，時，，，綜上，為偶函數(shù)，易知時，單調遞增，時，單調遞減，顯然有，因此要使得成立，則，即兩點在的同側，由是偶函數(shù)，不妨設兩點都在軸右側，即在的圖象上，，，，等價于存在使得，設，，設的圖象過原點的切線的切點為，所以，解得，，所以（）的圖象過原點的切線斜率為1，即（）的圖象上的點與原點連線的斜率的最小值是1，設，，則為(*)，要使得存在