2025年西南五省一市三市事業(yè)單位教師招聘數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.請將試卷答案寫在答題紙上。2.本試卷共五大題，滿分150分，考試時(shí)間150分鐘。一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.若集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},則A∩B=?A.(-1,2)B.[1,2)C.(1,2)D.[1,+∞)2.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？A.(-∞,1)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.(-1,1)3.已知向量a=(1,k),b=(3,-2),且a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為？A.-6/2B.3/2C.-2/3D.6/24.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是？A.1/6B.1/12C.5/36D.5/125.復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是？A.1-iB.-1+iC.-1-iD.1+i6.已知等差數(shù)列{a<0xE2><0x82><0x99>}的首項(xiàng)a?=3,公差d=-2,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和S??為？A.-90B.-180C.180D.907.函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間(-2,2)上的最大值是？A.2B.-2C.4D.-48.直線L:x+y-1=0與圓C:x2+y2=2的位置關(guān)系是？A.相交B.相切C.相離D.內(nèi)含9.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a+1)y+4=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為？A.-2B.1C.-2或1D.210.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期為π/2，且圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，則φ的值為？A.π/6B.π/3C.2π/3D.5π/6二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.已知直線L過點(diǎn)(1,2)，且與直線L?:3x-y+4=0平行，則直線L的方程為__________。12.不等式|x-1|<2的解集為__________。13.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c。若a=3,b=4,C=60°，則c=__________。14.已知函數(shù)f(x)=e?-x在區(qū)間(0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的值域?yàn)開_________。15.已知數(shù)列{a<0xE2><0x82><0x99>}是等比數(shù)列，且a?=6,a?=162，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a<0xE2><0x82><0x99>=__________。三、解答題（本大題共4小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分18分）已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對于任意x?,x?∈R，都有|f(x?)-f(x?)|≤4成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。17.（本小題滿分18分）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c。已知a=2√3,b=4,∠B=60°。(1)求邊c的長；(2)求△ABC的面積S。18.（本小題滿分20分）已知數(shù)列{a<0xE2><0x82><0x99>}的前n項(xiàng)和為S<0xE2><0x82><0x99>，且滿足a?=1,a<0xE2><0x82><0x99>=S<0xE2><0x82><0x99>-S<0xE2><0x82><0x99>??(n≥2)。(1)求數(shù)列{a<0xE2><0x82><0x99>}的通項(xiàng)公式；(2)記b<0xE2><0x82><0x99>=(a<0xE2><0x82><0x99>)2/(a<0xE2><0x82><0x99>+1)，求數(shù)列{b<0xE2><0x82><0x99>}的前n項(xiàng)和T<0xE2><0x82><0x99>。19.（本小題滿分19分）已知直線l:y=kx+b與圓C:x2+y2-4x+6y-3=0交于A,B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-1)。(1)求實(shí)數(shù)k和b的值；(2)求△AOB的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。---試卷答案一、選擇題1.B2.C3.C4.A5.A6.B7.C8.A9.A10.B二、填空題11.3x-y-1=012.(-1,3)13.514.(1,+∞)15.2?3<0xE1><0xB5><0xA3>三、解答題16.解：(1)函數(shù)f(x)=x2-4x+3的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x-4。令f'(x)>0，得2x-4>0，即x>2。故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞)。(2)|f(x?)-f(x?)|≤4等價(jià)于-4≤f(x?)-f(x?)≤4。即-4≤(x?2-4x?+3)-(x?2-4x?+3)≤4?；喌?4≤(x?-x?)(x?+x?-4)≤4。因?yàn)閤?,x?∈R，所以|x?-x?|≥0。要使不等式恒成立，需-4/(x?-x?)≤x?+x?-4≤4/(x?-x?)對任意x?≠x?成立。當(dāng)x?≠x?時(shí)，(x?+x?-4)/(x?-x?)=1+(4-2x?)/(x?-x?)。令t=x?-x?，則(4-2x?)/(x?-x?)=(4-2(x?-x?)-2x?)/t=(4-2t-2(-t/t))=4/t-2。則(x?+x?-4)/(x?-x?)=1+(4/t-2)=-1+4/t。要使-4≤-1+4/t≤4恒成立，等價(jià)于-3≤4/t≤5恒成立。解得-5/4≤t≤-3/4或4/5≤t≤∞。由于t=x?-x?，即-5/4≤x?-x?≤-3/4或4/5≤x?-x?≤∞。但x?-x?可以取任意非零實(shí)數(shù)，故需取交集。結(jié)合-5/4≤x?-x?≤-3/4或4/5≤x?-x?≤∞，得到x?-x?≤-3/4或x?-x?≥4/5。即x?+x?-4≤-3/4或x?+x?-4≥4/5。解得x?+x?≤16/4-3/4=13/4或x?+x?≥20/5+4/5=24/5。即x?+x?≤13/4或x?+x?≥24/5。綜合考慮，x?,x?∈R，且需滿足上述條件。令g(x)=f(x)-2=x2-4x+1，g(x)的最大值和最小值應(yīng)在區(qū)間端點(diǎn)或極值點(diǎn)處取得。g'(x)=2x-4，令g'(x)=0，得x=2。g(2)=22-4*2+1=-3。當(dāng)x→-∞或x→+∞時(shí)，g(x)→+∞。故g(x)的值域?yàn)閇-3,+∞)。要使-4≤f(x?)-f(x?)≤4，即-4≤g(x?)-g(x?)≤4，即-4≤(x?2-4x?+1)-(x?2-4x?+1)≤4，即-4≤(x?-x?)(x?+x?-4)≤4。等價(jià)于-4/(x?-x?)≤x?+x?-4≤4/(x?-x?)恒成立。等價(jià)于-3≤x?+x?-4≤4。等價(jià)于1≤x?+x?≤8。故實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|1≤x≤8}。（注：此部分解法較復(fù)雜，也可通過圖像法或利用函數(shù)最值直接判斷，如f(x)在x=2處取最小值-3，在x=0和x=4處取值3，故最大值為3，最小值為-3，最大最小值之差為6，故|x?-x?|最大為6，要使|x?-x?|(f(x?)-f(x?))/|x?-x?|=f(x?)-f(x?)≤4，只需f(x?)-f(x?)≤4|x?-x?|。最小值之差為6，故f(x?)-f(x?)≤6*4=24。即-24≤f(x?)-f(x?)≤24。又f(x)最大值3，最小值-3，故-6≤f(x?)-f(x?)≤6。要使-6≤f(x?)-f(x?)≤4恒成立，只需-6≤-4恒成立，且4≤6恒成立，顯然成立。所以只需x?+x?-4的取值范圍在[-6,6]內(nèi)。即-6≤x?+x?-4≤6。即-2≤x?+x?≤10。結(jié)合f(x)的圖像和最值，x的取值范圍是[1,8]。）17.解：(1)根據(jù)余弦定理，c2=a2+b2-2abcosB。代入已知數(shù)據(jù)，得c2=(2√3)2+42-2*2√3*4*cos60°。c2=12+16-16√3*1/2。c2=28-8√3。c2=4(7-2√3)。c2=(√7-√3)2。由于c>0，得c=√7-√3。(2)根據(jù)正弦定理，a/sinA=b/sinB。sinA=(a/sinB)*sinB=(2√3/sin60°)*(sin60°)=2√3/(√3/2)=4/√3=4√3/3。sinA=2√3/3。由于a<b，且B=60°，所以A<B，故A=arcsin(2√3/3)?！鰽BC的面積S=(1/2)*ab*sinC。sinC=sin(180°-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB。cosA=√(1-sin2A)=√(1-(2√3/3)2)=√(1-4/3)=√(-1/3)。此步驟發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，sinA=2√3/3>1，計(jì)算有誤。重新計(jì)算sinA=a*sinB/b=2√3*(√3/2)/4=3/4。cosA=√(1-sin2A)=√(1-(3/4)2)=√(1-9/16)=√(7/16)=√7/4。sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=(3/4)*(1/2)+(√7/4)*(√3/2)=3/8+√21/8=(3+√21)/8。S=(1/2)*2√3*4*sinC=4√3*[(3+√21)/8]=√3*(3+√21)/2。18.解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，a<0xE2><0x82><0x99>=S<0xE2><0x82><0x99>-S<0xE2><0x82><0x99>??。即a<0xE2><0x82><0x99>=(a?+a?+...+a<0xE2><0x82><0x99>)-(a?+a?+...+a<0xE2><0x82><0x99>??)=a<0xE2><0x82><0x99>。所以a<0xE2><0x82><0x99>=a<0xE2><0x82><0x99>??+a<0xE2><0x82><0x99>??。得a<0xE2><0x82><0x99>=2a<0xE2><0x82><0x99>??(n≥2)。由于a?=1，且a<0xE2><0x82><0x99>=2a<0xE2><0x82><0x99>??(n≥2)，所以數(shù)列{a<0xE2><0x82><0x99>}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。a<0xE2><0x82><0x99>=a?*q<0xE2><0x82><0x99>??=1*2<0xE2><0x82><0x99>??=2<0xE2><0x82><0x99>??。(2)b<0xE2><0x82><0x99>=(a<0xE2><0x82><0x99>)2/(a<0xE2><0x82><0x99>+1)=(2<0xE2><0x82><0x99>??)2/(2<0xE2><0x82><0x99>??+1)=4<0xE2><0x82><0x99>?2/(2<0xE2><0x82><0x99>?1+1)。令t=2<0xE2><0x82><0x99>?1，則t>0。b<0xE2><0x82><0x99>=4t2/(t+1)=4(t2/(t+1))=4(t-1+1/(t+1))=4(t-1+1/t+1/t)=4(t+1/t-1+1/t)。T<0xE2><0x82><0x99>=Σb<0xE2><0x82><0x99>=4Σ(t<0xE2><0x82><0x99>+1/t<0xE2><0x82><0x99>-1+1/t<0xE2><0x82><0x99>)。Σt<0xE2><0x82><0x99>=1+2+4+...+2<0xE2><0x82><0x99>??=2<0xE2><0x82><0x99>-1。Σ1/t<0xE2><0x82><0x99>=1/1+1/2+1/4+...+1/2<0xE2><0x82><0x99>??=1+1/2+1/4+...+1/(2<0xE2><0x82><0x99>??)=(1-(1/2)<0xE2><0x82><0x99>)/(1-1/2)=2*(1-(1/2)<0xE2><0x82><0x99>)。Σ(-1)=-n。Σ(1/t<0xE2><0x82><0x99>)=2*(1-(1/2)<0xE2><0x82><0x99>)=2-2<0xE2><0x82><0x99>?1。T<0xE2><0x82><0x99>=4*[(2<0xE2><0x82><0x99>-1)+(2-2<0xE2><0x82><0x99>?1)-n]=4*[4-1-n-2<0xE2><0x82><0x99>?1]=4*(3-n-2<0xE2><0x82><0x99>?1)。T<0xE2><0x82><0x99>=12-4n-4*2<0xE2><0x82><0x99>?1=12-4n-2*2<0xE2><0x82><0x99>?1=12-4n-2t。19.解：(1)將直線l:y=kx+b代入圓C:x2+y2-4x+6y-3=0，得x2+(kx+b)2-4x+6(kx+b)-3=0。x2+k2x2+2bkx+b2-4x+6kx+6b-3=0。(1+k2)x2+(2bk+6k-4)x+(b2+6b-3)=0。由于直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?)。根據(jù)韋達(dá)定理，x?+x?=-(2bk+6k-4)/(1+k2)，x?x?=(b2+6b-3)/(1+k2)。線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-1)，所以x?+x?=2，y?+y?=-2。y?+y?=(kx?+b)+(kx?+b)=k(x?+x?)+2b=-2。-2=k*2+2b，即-1=k+b。將x?+x?=2代入x?+x?=-(2bk+6k-4)/(1+k2)，得2=-(2bk+6k-4)/(1+k2)。2(1+k2)=-2bk-6k+4。2+2k2=-2bk-6k+4。2k2+6k+2=-2bk+4。2k2+6k-2=-2bk。k2+3k-1=-bk。b=-(k2+3k-1)/k。將b=-(k2+3k-1)/k代入-1=k+b，得-1=k-(k2+3k-1)/k。-1=k-k-(k2+3k-1)/k。-1=-(k2+3k-1)/k。-k=k2+3k-1。k2+4k-1=0。解得k=(-4±√(16+4))/2=(-4±√20)/2=(-4±2√5)/2=-2±√5。當(dāng)k=-2+√5時(shí)，b=-((-2+√5)2+3(-2+√5)-1)/(-2+√5)=-((4-4√5+5-6+3√5-1)/(-2+√5))=-(12-√5)/(-2+√5)=(12-√5)/(2-√5)*(2+√5)/(2+√5)=(24+12√5-2√5-5)/(4-5)=(19+10√5)/(-1)=-19-10√5。當(dāng)k=-2-√5時(shí)，b=-((-2-√5)2+3(-2-√5)-1)/(-2-√5)=-((4+4√5+5+6+3√5-1)/(-2-√5))=-(24+7√5)/(-2-√5)=(24+7√5)/(2+√5)*(2-√5)/(2-√5)=(48-24√5+14√5-35)/(4-5)=(13-10√5)/(-1)=-13+10√5。由于直線過點(diǎn)(2,-1)，代入y=kx+b，得-1=k*2+b。若k=-2+√5,b=-19-10√5，則-1=(-2+√5)*2+(-19-10√5)=-4+2√5-19-10√5=-23-8√5≠-1。此解不滿足。若k=-2-√5,b=-13+10√5，則-1=(-2-√5)*2+(-13+10√5)=-4-2√5-13+10√5=-17+8√5≠-1。此解也不滿足?？磥碛?jì)算有誤，重新檢查。-1=k+b。代入b=-(k2+3k-1)/k，得-1=k-(k2+3k-1)/k。-1=k-k-(k2+3k-1)/k。-1=-(k2+3k-1)/k。-k=k2+3k-1。k2+4k-1=0。k=(-4±√20)/2=-2±√5。-1=k+b=-2±√5+b。b=-1-(-2±√5)=1±2-√5。若k=-2+√5，則b=1+2-√5=3-√5。若k=-2-√5，則b=1-2+√5=-1+√5。檢查直線過點(diǎn)(2,-1)：若k=-2+√5,b=3-√5，代入y=kx+b，得-1=(-2+√5)*2+(3-√5)=-4+2√5+3-√5=-1+√5≠-1。此解不滿足。若k=-2-√5,b=-1+√5，代入y=kx+b，得-1=(-2-√5)*2+(-1+√5)=-4-2√5-1+√5=-5-√5≠-1。此解也不滿足。再次檢查方程-k=k2+3k-1，解得k=-2±√5。檢查-1=k+b=-2±√5+b，解得b=1±2-√5。檢查直線方程y=kx+b是否過點(diǎn)(2,-1)：若k=-2+√5，b=3-√5，代入x=2,y=-1，左邊-1，右邊(-2+√5)*2+(3-√5)=-4+2√5+3-√5=-1+√5≠-1。若k=-2-√5，b=-1+√5，代入x=2,y=-1，左邊-1，右邊(-2-√5)*2+(-1+√5)=-4-2√5-1+√5=-5-√5≠-1。發(fā)現(xiàn)計(jì)算b=(2k-4)/(2bk+6k-4)=(2k-4)/(2(k+b)k+6k-4)=(2k-4)/(2k2+2bk+6k-4)=(2k-4)/(2k2+6k+2bk-4)。-1=k+b=k+(2k-4)/(2k2+6k+2bk-4)。-k-1=(2k-4)/(2k2+6k+2bk-4)。(-k-1)(2k2+6k+2bk-4)=2k-4。-2k3-6k2-2bk2-4k-4k2-12k-4bk+8=2k-4。-2k3-10k2-(2b+4)k+8=2k-4。-2k3-10k2-(2b+4+2)k+8+4=0。-2k3-10k2-(2b+6)k+12=0。由于b=-1-k，代入得-2k3-10k2-(2(-1-k)+6)k+12=0。-2k3-10k2-(-2-2k+6)k+12=0。-2k3-10k2-(4-2k)k+12=0。-2k3-10k2-4k+2k2+12=0。-2k3-8k2-4k+12=0。k3+4k2+2k-6=0。(k-1)(k2+5k+6)=0。k=1或k2+5k+6=0。k=1或k=(-5±√25-24)/2=(-5±1)/2。k=1或k=-2或k=-3。檢查k=1,-2,-3時(shí)b的值及是否過點(diǎn)(2,-1)：若k=1，b=-1-1=-2。直線y=x-2。代入(2,-1)，-1=2-2，成立。若k=-2，b=-1-(-2)=1。直線y=-2x+1。代入(2,-1)，-1=-2*2+1=-4+1=-3≠-1。不滿足。若k=-3，b=-1-(-3)=2。直線y=-3x+2。代入(2,-1)，-1=-3*2+2=-6+2=-4≠-1。不滿足。故k=1,b=-2。(2)圓心O(2,-3)，半徑r=√(42+(-3)2)=√(16+9)=√25=5。直線l:y=x-2與圓C:(x-2)2+(y+3)2=25相交。圓心O(2,-3)到直線l:x-y-2=0的距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)=|1*2+(-1)*(-3)-2|/√(12+(-1)2)=|2+3-2|/√2=3/√2=3√2/2。由于d<r(3√2/2<5)，直線與圓相交。設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?)為交點(diǎn)。AB中點(diǎn)M(2,-1)，即(x?+x?)/2=2,(y?+y?)/2=-1。得x?+x?=4,y?+y?=-2。AB中垂線垂直于直線l，其斜率為l的斜率的負(fù)倒數(shù)。l的斜率k_l=1。中垂線斜率k_⊥=-1。中垂線方程：y-(-1)=-1(x-2)，即y+1=-x+2，整理得x+y-1=0。設(shè)圓心O到直線AB的距離為d?=|1*2+1*(-3)-1|/√(12+12)=|2-3-1|/√2=|-2|/√2=2√2/2=√2?！鰽OB的面積S=(1/2)*|AB|*d?。需要求出弦長|AB|。圓心角θ=2arcsin(d/r)=2arcsin(3√2/(2√2))=2arcsin(3/2)。此步驟發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，sinθ=d/r=(3√2/2)/5=3√2/10。θ=arcsin(3√2/10)。弦長|AB|=2r*sin(θ/2)=2*5*sin(arcsin(3√2/10)/2)=10*sin(π/4)=10*√2/2=5√2。（此部分計(jì)算有誤，弦長應(yīng)為2*r*sin(θ/2)，θ為圓心角，sinθ=3√2/5。|AB|=2*5*sin(arcsin(3√2/5)/2)=10*sin(arcsin(3√2/5)/2)。此計(jì)算復(fù)雜，可使用幾何方法。）更簡便的方法：連接OM，則OM⊥AB。OM=√(OA2-AM2)=√(52-(√2)2)=√(25-2)=√23。在直角三角形OMA中，|AB|=2*AM=2*√(OA2-OM2)=2*√(25-(√23)2)=2*√(25-23)=2*√2。S=(1/2)*|AB|*d?=(1/2)*(2√2)*(√2)=2*(√2*√2)/2=2*2/2=2。---試卷答案一、選擇題1.B2.C3.C4.A5.A6.B7.C8.A9.A10.B二、填空題11.3x-y-1=012.(-1,3)13.514.(1,+∞)15.2?3<0xE1><0xB5><0xA3>三、解答題16.解：(1)函數(shù)f(x)=x2-4x+3的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x-4。令f'(x)>0，得2x-4>0，即x>2。故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞)。(2)|f(x?)-f(x?)|≤4等價(jià)于-4≤f(x?)-f(x?)≤4。即-4≤(x?2-4x?+3)-(x?2-4x?+3)≤4?；喌?4≤(x?-x?)(x?+x?-4)≤4。因?yàn)閤?,x?∈R，所以|x?-x?|≥0。要