七年級數(shù)學平行線拔高練習題平行線是初中幾何的入門基石，其性質(zhì)與判定不僅是七年級數(shù)學的重點，更是培養(yǎng)邏輯推理能力和空間想象能力的關(guān)鍵。在掌握了基本概念和方法后，適當進行拔高訓練，能夠幫助同學們更深刻地理解幾何變換的本質(zhì)，為后續(xù)學習復雜圖形打下堅實基礎(chǔ)。本文精選數(shù)道平行線拔高題，并附上詳細解析，希望能對同學們的學習有所助益。一、概念辨析與性質(zhì)深化例題1：已知平面內(nèi)三條不同的直線a、b、c，給出下列四個論斷：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a⊥c。以其中兩個論斷為條件，一個論斷為結(jié)論，組成一個你認為正確的命題，并說明理由。分析與解答：這是一道開放性題目，考查對平行線傳遞性及垂直性質(zhì)的理解。我們可以嘗試組合：條件：①a∥b，②b∥c；結(jié)論：①a∥c。這是平行線的基本傳遞性，顯然成立。再如，條件：③a⊥b，④a⊥c；結(jié)論：②b∥c。在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，這也是一個重要的性質(zhì)。（說明：選擇其中一個組合進行證明即可，此處以第二個組合為例）理由：因為a⊥b（已知），所以∠1=90°（垂直定義）。因為a⊥c（已知），所以∠2=90°（垂直定義）。所以∠1=∠2（等量代換）。因此，b∥c（同位角相等，兩直線平行）。點評：此類題目的關(guān)鍵在于準確把握平行線的性質(zhì)與判定定理，明確條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，同時要注意“同一平面內(nèi)”這一前提條件的重要性。二、判定方法的靈活應用例題2：如圖，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B。求證：DE∥BC。（請同學們自行根據(jù)描述畫圖：點A在最上方，線段DE在中間，點D在點E左側(cè)，線段BC在最下方，點B在點C左側(cè)。連接AD、AE、AB、AC?！?是∠ADE，∠2是∠EFC，F(xiàn)點在AC上，且EF與AB交于一點?！?是∠AED。）分析與解答：要證明DE∥BC，我們需要找到符合平行線判定定理的角關(guān)系。已知∠1+∠2=180°，觀察圖形，∠1與∠4（假設(shè)∠EFD為∠4）是鄰補角嗎？或者∠2與∠5（假設(shè)∠AFE為∠5）有何關(guān)系？仔細觀察，∠1是∠ADE，∠2是∠EFC?！?與∠ADF是對頂角嗎？不，或許從∠3入手?！?是∠AED，∠3=∠B。若能證明∠AED=∠AEB（內(nèi)錯角或同位角），則DE∥BC。因為∠1+∠2=180°，而∠1+∠ADE=180°（平角定義），所以∠ADE=∠2（同角的補角相等）?！?與∠AFE是對頂角嗎？若F點在AC上，EF與AB交于點G（假設(shè)），則∠2（∠EFC）與∠AFE是鄰補角嗎？可能我的圖形描述需要更精確。換個思路：∠1+∠2=180°，若∠2的同位角是∠1的補角，則可推出兩條直線平行。假設(shè)AB與EF交于點H，則∠EHB與∠2可能是同位角或內(nèi)錯角。若∠EHB=∠2，則EF∥AD。因為∠1+∠2=180°，∠1+∠ADH=180°（若AD與EF平行，則∠ADH=∠EHB=∠2），所以AD∥EF（同位角相等，兩直線平行）。所以∠3=∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。又因為∠3=∠B，所以∠ADE=∠B（等量代換）。因此，DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）。點評：本題的關(guān)鍵在于從已知角的關(guān)系出發(fā)，通過等量代換找到判定兩直線平行所需的同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角關(guān)系，需要同學們對圖形有較強的觀察能力和對定理的靈活運用能力。三、輔助線添加與轉(zhuǎn)化思想例題3：如圖，AB∥CD，∠B=，∠D=，求∠BED的度數(shù)。（圖形描述：AB平行于CD，點E在AB下方，CD上方，連接BE、DE，形成一個“凹”字形，即BE向左上方連接到B，DE向右上方連接到D）分析與解答：對于這種“折線”型的平行線間拐角問題，最常用的方法是過拐點作已知平行線的平行線，從而將一個大角轉(zhuǎn)化為兩個小角，分別與已知角建立聯(lián)系。過點E作EF∥AB，因為AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）。因為EF∥AB，所以∠BEF=∠B=（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。因為EF∥CD，所以∠DEF=∠D=（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。所以∠BED=∠BEF+∠DEF=+=。點評：輔助線是解決幾何難題的“橋梁”。當直接利用現(xiàn)有條件無法溝通已知與未知時，就要考慮添加輔助線。過拐點作平行線是處理平行線間角度計算問題的“黃金技巧”，它體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想。例題4：如圖，已知AB∥CD，∠BAE=，∠ECD=，EF平分∠AEC，求∠AEF的度數(shù)。（圖形描述：AB平行于CD，點E在AB上方，CD上方，A在B左側(cè)，C在D左側(cè)，E點位置使得BA的延長線與EC的延長線可能相交，形成一個“八”字的上部。）分析與解答：同樣，此圖形中AE和CE是兩條射線，E點在AB和CD的上方。要求∠AEC的度數(shù)，進而求其平分線分角的度數(shù)。依然考慮過點E作AB的平行線。過點E作EF∥AB，因為AB∥CD，所以EF∥CD。∠BAE=，∠BAE與∠AEF是同旁內(nèi)角嗎？因為BA是向左上方延伸，AE是從A到E，所以∠BAE是個鈍角（假設(shè)為120°）。則∠BAE+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），所以∠AEF=180°-∠BAE=180°-=。對于∠ECD=（假設(shè)為150°），EF∥CD，∠ECD與∠CEF是同旁內(nèi)角嗎？CE是從C到E，CD是向右延伸，所以∠ECD是個鈍角?！螮CD+∠CEF=180°，所以∠CEF=180°-∠ECD=180°-=。此時，∠AEC=∠AEF+∠CEF嗎？需要看EF的位置。如果EF在∠AEC內(nèi)部，則∠AEC=∠AEF+∠CEF。所以∠AEC=+=。因為EF平分∠AEC，所以∠AEF=∠AEC÷2=÷2=。點評：本題再次運用了輔助線添加的方法，并綜合了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義。解題時要注意角的位置關(guān)系，準確判斷是同位角、內(nèi)錯角還是同旁內(nèi)角，避免角度加減出現(xiàn)錯誤。四、動態(tài)幾何初步與多解問題例題5：已知直線AB∥CD，點P是直線AB、CD外的一個動點，連接PA、PC。（1）當點P在直線AB、CD之間時，探究∠APC、∠PAB、∠PCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。（2）當點P在直線AB上方時，∠APC、∠PAB、∠PCD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論。分析與解答：（1）當點P在AB、CD之間時，過點P作PE∥AB，則PE∥CD。∠PAB=∠APE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠PCD=∠CPE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。所以∠APC=∠APE+∠CPE=∠PAB+∠PCD。（2）當點P在AB上方時，此時圖形發(fā)生變化。過點P作PE∥AB，則PE∥CD?！螾AB與∠APE是內(nèi)錯角，此時∠PAB=∠APE?！螾CD與∠CPE是內(nèi)錯角，∠PCD=∠CPE。觀察圖形，此時∠APC=∠CPE-∠APE（或∠APE-∠CPE，取決于P點偏向哪一側(cè)）。假設(shè)P點在AB上方且偏向A、C一側(cè)，則∠APC=∠PCD-∠PAB。若P點偏向B、D一側(cè)，則∠APC=∠PAB-∠PCD。因此，結(jié)論是：∠APC=|∠PAB-∠PCD|。點評：動態(tài)問題考察學生對圖形變化的適應能力和分類討論思想。點P的位置不同，角之間的關(guān)系也會發(fā)生變化，需要同學們仔細畫圖，認真分析。五、解題策略與思想方法1.執(zhí)果索因與由因?qū)Ч鹤C明題中，既可以從結(jié)論出發(fā)，思考要得到此結(jié)論需要什么條件（執(zhí)果索因，分析法），也可以從已知條件出發(fā)，看能推出什么結(jié)論（由因?qū)Ч?，綜合法）。兩者結(jié)合，往往能快速找到解題路徑。2.轉(zhuǎn)化思想：將復雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，將未知角轉(zhuǎn)化為已知角。如通過添加輔助線（作平行線、延長線段、連接兩點等），構(gòu)造出我們熟悉的“三線八角”模型。3.數(shù)形結(jié)合：幾何圖形是直觀的，角度關(guān)系是抽象的。解題時要將圖形信息與數(shù)量關(guān)系緊密結(jié)合，在圖形上標注已知角和待求角，幫助分析。4.分類討論：當題目條件不唯一，或圖形位置關(guān)系不確定時，要考慮進行分類討論，避免漏解。如同旁內(nèi)角互補，要明確是哪兩條直線被哪條直線所截形成的同旁內(nèi)角。5.輔助線添加技巧：*“拐角”處作平行線，是解決平行線間角度計算與證明的常用技巧。*遇中點、中線，考慮倍長中線或構(gòu)造中位線。（后續(xù)學習內(nèi)容）*遇角平分線，考慮向兩邊作垂線或截長補短。（后續(xù)學習內(nèi)容）六、練習題匯編練習1：如圖，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4。求證：AB∥EF。（圖形提示：AD、BC為上下兩條平行線，AB為左側(cè)連接，DC為右側(cè)連接。∠1是∠ADF，∠2是∠DFE，F(xiàn)在DC上；∠3是∠EFC，∠4是∠FCB。）練習2：如圖，AB∥CD，∠ABE=，∠CDE=，求∠BED的度數(shù)。（圖形提示：E點在AB下方，CD下方，形成一個“凸”字形的底部。）練習3：在同一平面內(nèi)，直線a與直線b都平行于直線c，直線d與直線a相交于點P。請問直線d與直線b有怎樣的位置關(guān)系？并說明理由。練習4：如圖，已知AB∥CD，∠A=，∠C=，點E是AD上一點，且BE平分∠ABC，CE平分∠BCD。求∠BEC的度數(shù)。練習5：已知直線l1∥l2，直線l3與直線l1、l2分別交于點A、B。點P在直線l3上運動（點P不與A、B重合）。（1）當點P在A、B兩點之間運動時，如圖①，∠1、∠2、∠3之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由。（2）當點P在A、B兩點外側(cè)運動時，如圖②、③，∠1、∠2、∠3之間又有何數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論。七、練習答案與提示（部分）練習1提示：先證AD∥EF（利用∠1=∠2），再結(jié)合AD∥BC，得到EF∥BC，從而∠3=∠EFC=∠4，進而證得AB∥EF。練習2提示：過點E作AB的平行線，將∠BED分為兩個角，分別與∠ABE和∠CDE建立聯(lián)系（注意此時是兩角之差還是兩角之和）。練習3答案：直線d與直線b相交。理由：反證法，若d∥b，又a∥c，b∥c，則a∥b，而d與a相交，故d與b必相交。練習4提示：先利用AB∥CD求出∠ABC+∠BCD的度數(shù)，再利用角平分線性質(zhì)求出∠EBC+∠ECB的度數(shù)，最后在△BEC中求∠BEC。練習5提示：（1）過P作l1的平行線，可得∠2=∠1+∠3。（2）過P作l1的平行線，可得∠1=∠2+∠3或∠3=∠1+∠2（取決于P點在A點上方還是B點下方）?？偨Y(jié)與建議平行線的拔高練習，不僅僅是知識點的簡單重復，更是思維能力的挑戰(zhàn)與提升。同學們在練習過程中，要養(yǎng)成勤于思考、善于總結(jié)的習慣。