高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)研究：幾何知識(shí)（4）第六節(jié):球的問(wèn)題一、預(yù)備知識(shí)（一）、基本定義1.球的定義:空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫球.2.外接球的定義:若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上,則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體,這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球.3.內(nèi)切球的定義:若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切,則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體,這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.（二）、必備公式球的表面積公式:S=4π在本書(shū)中,我們約定:若無(wú)特殊說(shuō)明,所有外接圓、內(nèi)切圓的半徑為r,球的半徑為R（三）、重要定理1.在圓的問(wèn)題當(dāng)中,我們知道垂徑定理:圓心與弦中點(diǎn)相連垂直于弦。那么在球的問(wèn)題當(dāng)中,也有相似的:球心與任何截面圓的圓心相連總垂直于截面圓所在的平面。換言之,球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心.2.過(guò)球心的平面截球面所得圓是大圓,大圓的半徑與球的半徑相等。經(jīng)過(guò)小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過(guò)球心,該平面截球所得圓是大圓。3.在圓的問(wèn)題當(dāng)中,我們知道:兩條弦的中垂線的交點(diǎn)即圓心。那么在球的問(wèn)題當(dāng)中,經(jīng)過(guò)兩個(gè)截面圓的圓心且與截面圓所在平面垂直的兩條直線的交點(diǎn)即球心.（四）、三角形外接圓、內(nèi)切圓的求法外接圓半徑內(nèi)切圓半徑直角三角形a,b為鄰邊，rr等腰三角形a為底邊，b為腰，?為高rr任意三角形、等邊三角形aS二、外接球(一)墻角模型定義:墻角模型以“正方體、長(zhǎng)方體”為載體,將不規(guī)則幾何體放入其中利用公式求解.該模型主要解決:正方體、長(zhǎng)方體(正四棱柱)、能放入長(zhǎng)方體和正方體的棱錐、對(duì)棱相等、墻角問(wèn)題(兩兩垂直)的幾何體外接球問(wèn)題.公式:設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為a、b、【經(jīng)典例題一:長(zhǎng)方體的外接球】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a,解:由題可知,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a,所以球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度,故2R解得R=6【同源練習(xí)】已知長(zhǎng)方體ABCD?A1解:AB+所以AB故外接球半徑r=AB【經(jīng)典例題二:正方體的外接球】體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為?解:由正方體的體積為8可知,其棱長(zhǎng)為a=即2R=3a,所以【同源練習(xí)】一個(gè)四面體的頂點(diǎn)都在球面上,它們的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是如圖所示,圖中圓內(nèi)有一個(gè)以圓心為中心邊長(zhǎng)為1的正方形,則這個(gè)四面體的外接球的表面積是()解:由三視圖可知,該四面體是正方體的一個(gè)內(nèi)接正四面體此四面體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線,故此四面體外接球表面積為4π×【經(jīng)典例題三:對(duì)棱相等題型一】四面體A?BCD中,AB=解:該四面體為對(duì)棱相等的四面體,必能放在長(zhǎng)方體當(dāng)中設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為a則有aR=a【同源練習(xí)】(炎德英才大聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中,AB=22,BC=3,cosA=23,以解:由余弦定理可得BD又AE=AD所以為球模型的對(duì)棱相等題型,易求得外接球半徑為13【經(jīng)典例題四:對(duì)棱相等題型二】三棱錐中成異面直線的一對(duì)棱稱為相對(duì)的棱,已知三棱錐A?BCD中三組相對(duì)的棱分別相等,AB=5,解:由題意,構(gòu)造長(zhǎng)方體,其面上的對(duì)角線構(gòu)成三棱錐D設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a,b,c∴三棱錐D?ABC的體積是注:若長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為a、b【經(jīng)典例題五:對(duì)棱相等題型三之正四面體】正四面體的各條棱長(zhǎng)都為2,則該正面體外接球的體積為_(kāi)__.解:正四面體對(duì)棱相等,放入正方體中計(jì)算可得2R【同源練習(xí)】棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如下圖,則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是___.解:如解答圖,將正四面體放入正方體中,截面為△PCO1,面積是注:正四面體外接球半徑R=64a,內(nèi)切球半徑正八面體外接球半徑22a,內(nèi)切球半徑R=【經(jīng)典例題六:正四棱柱】已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且側(cè)棱垂直于底面)高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是()解:由題意知正四棱柱的底面積為4,所以正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，正四棱柱的底面對(duì)角線長(zhǎng)為22,正四棱柱的體對(duì)角線為26，而球的直徑等于正四棱柱的體對(duì)角線,即2R=26注:上、下底面都是正方形,且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱,是長(zhǎng)方體特殊情形.【同源練習(xí)】半正多面體亦稱“阿基米德多面體”,如圖所示,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,如此共可截去八個(gè)三棱錐,得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體,它們的邊長(zhǎng)都相等,其中八個(gè)為正三角形,六個(gè)為正方形,稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.若二十四等邊體的棱長(zhǎng)為2,則該二十四等邊體外接球的表面積為_(kāi)__.解:由已知根據(jù)該幾何體的對(duì)稱性可知,該幾何體的外接球即為底面棱長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱的外接球,∴2R∴該二十四等邊體的外接球的表面積S=【經(jīng)典例題七:可放入正方體、長(zhǎng)方體的三棱錐】（全國(guó)卷）已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,A.86πB.46π解:因?yàn)镻A=PB=易得PB⊥AC.又E,所以EF//PB,所以又EF所以EF⊥平面PAC,所以∠BPA=所以P?ABC為正方體一部分,2R=2+好題精練【例1】已知四棱錐P?ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,若該球的半徑為4,ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,∠PAB解:放進(jìn)長(zhǎng)方體,對(duì)角線為8,所以PD=2【例2】已知球O的球面上有四點(diǎn)A、B、C、解:以DA,AB,BC2R(二)漢堡模型定義:漢堡模型以“直三棱柱、圓柱”為載體,將不規(guī)則幾何體放入其中利用公式求解.該模型主要解決:直三棱柱、圓柱、可放入直三棱柱的三棱錐等幾何體的外接球問(wèn)題.公式:設(shè)三棱柱的高為?,底面外接圓半徑為r,則該三棱柱的外接球半徑為R【經(jīng)典例題一:直棱柱、圓柱的外接球直接考察】設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱長(zhǎng)都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為()解:根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長(zhǎng)都為a的正三棱柱,則其外接球的半徑為R=a好題精練【例1】三棱柱ABC?A1B1解:R【例2】已知直三棱柱ABC?A1B1C1解:40【例3】已知三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,側(cè)棱垂直于底面且側(cè)棱長(zhǎng)為2,若該棱柱的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為()解:根據(jù)條件可知該三棱柱是正三棱柱,上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心,如圖,則其外接球的半徑R=外接球的表面積S=【例4】一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的體積為98解:設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為a,正六棱柱的高為?,底面外接圓的半徑為r,則a=正六棱柱的底面積為S=∴?=3【經(jīng)典例題二:能放入直三棱柱的三棱錐】已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=解:易知平面ACD⊥平面ABC,則底面△ACD的外接圓半徑r為22,由故而R=2好題精練【例1】已知A,B,C,D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn),其中解:三棱錐D?把A,B,則EF的中點(diǎn)為外接球的球心O,球心O與A的距離為球的半徑,AD=△ABC是正三角形,設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r,則△ABC外接圓直徑為2r=6sinπ3=43在直角△所以R=43【例2】在矩形ABCD中,BC=4,M為BC的中點(diǎn),將△ABM和△DCM分別沿AM,DM翻折,使點(diǎn)B與C重合于點(diǎn)解:由MP⊥PA,MP⊥設(shè)△ADP外接圓的半徑為r,由正弦定理可得ADsin∠APD=2r設(shè)三棱錐M?PAD外接球的半徑R所以外接球的表面積為S=【例3】已知三棱錐D?ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上,ABC,AC=解:在△ABC中,由cos∠ACB解得sin∠ACB=12所以由余弦定理得A代入得AB2=3+設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由正弦定理得3sin120設(shè)△ABC的外心為O′,OO′=?,過(guò)則在ΔO′OA中,?2+聯(lián)立解得?=1,則R=2,所以球（三）切瓜模型【經(jīng)典例題一:圓錐】已知圓錐的高為5,底面圓的半徑為5,它的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一球的球面上,求該球的表面積.解:設(shè)球半徑為R∴【同源練習(xí)】球內(nèi)有一個(gè)圓錐,且圓錐底面圓周和頂點(diǎn)均在球面上,其底面積為3π,已知球的半徑R=2,則此圓錐的體積為_(kāi)__.解:設(shè)圓錐底面半徑為r,由πr2=3π,得O1為圓錐底面圓的圓心,設(shè)O1O所以圓錐的高?=R+V=1評(píng):圓錐外接球半徑R【經(jīng)典例題二:棱錐】已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),⊙O1為△ABC解:設(shè)圓O1半徑為r,球的半徑為R,得π∵△ABC為等邊三角形,由正弦定理可得AB∴OO1=AB∴O∴球O的表面積S=【同源練習(xí)】①已知△ABC是面積為934的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π,則O解:設(shè)球O的半徑為R,則4πR2=16π,解得:R=2.設(shè)∵△ABC是面積為934的等邊三角形,∴∴r∴球心O到平面ABC的距離d=②在四面體ABCD中,AD=23,∠BAC=60解:過(guò)點(diǎn)D作平面ABC的垂線,垂足為H,作DE垂足為E、F,則HE由于△AEH?△DH=AD從而四面體ABCD外接球面的球心O在DH的延長(zhǎng)線上,設(shè)外接球的半徑為rr2=r【經(jīng)典例題三:圓臺(tái)】已知空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),且EF⊥解:線段AB,CD分別為圓臺(tái)兩個(gè)底面的直徑,EF為連接底面中心的線段,球rOE2?OFOE+OF所以半徑r【經(jīng)典例題四:埋球模型】如下圖,湖面上漂浮著一個(gè)丟棄的籃球,當(dāng)湖面結(jié)冰后將球取出,冰面上留下一個(gè)直徑為24,深為8的球坑,則該籃球的體積是()解:球坑的半徑為12,相當(dāng)于冰面與球體形成的截