開普勒三定律應用試卷一、選擇題（每題5分，共30分）已知地球繞太陽運行的軌道半長軸為1天文單位（AU），公轉周期為1年。若某行星繞太陽運行的軌道半長軸為4AU，則其公轉周期為（）A.2年B.4年C.8年D.16年關于開普勒第二定律，下列說法正確的是（）A.行星繞太陽運動時，在近日點的速度小于遠日點的速度B.行星繞太陽運動的軌道是正圓形C.行星與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等D.行星繞太陽運動的周期與軌道半徑成正比某人造衛(wèi)星繞地球做橢圓軌道運動，地球位于橢圓的一個焦點上。若衛(wèi)星在近地點時的速度為v1，在遠地點時的速度為v2，則（）A.v1>v2B.v1=v2C.v1<v2D.無法確定開普勒第三定律適用于（）A.太陽系中的行星繞太陽運動B.地球的衛(wèi)星繞地球運動C.其他恒星系統(tǒng)中的行星繞恒星運動D.以上都適用若兩顆行星繞同一恒星運動，它們的軌道半長軸之比為1:4，則它們的公轉周期之比為（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16關于開普勒第一定律，下列說法錯誤的是（）A.行星繞太陽運動的軌道是橢圓B.太陽位于橢圓的一個焦點上C.橢圓軌道的半長軸是行星到太陽的最遠距離D.行星繞太陽運動時，軌道的形狀不會發(fā)生變化二、填空題（每空3分，共30分）開普勒第一定律又稱為________定律，它指出行星繞太陽運動的軌道是________，太陽位于橢圓的一個________上。開普勒第二定律表明，行星與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的________，這一規(guī)律揭示了行星繞太陽運動時________的變化規(guī)律。開普勒第三定律的數(shù)學表達式為________，其中a表示________，T表示________，k是一個與________有關的常量。地球繞太陽運動的軌道半長軸約為1.5×10^11m，公轉周期約為3.16×10^7s，根據(jù)開普勒第三定律可計算出k的值約為________（結果保留一位有效數(shù)字）。三、計算題（共40分）（10分）已知木星繞太陽運行的軌道半長軸約為5.2AU，地球繞太陽運行的軌道半長軸為1AU，公轉周期為1年。求木星的公轉周期。（10分）某行星繞太陽做橢圓軌道運動，近日點距離太陽為r1，遠日點距離太陽為r2。若行星在近日點的速度為v1，求行星在遠日點的速度v2。（20分）兩顆人造衛(wèi)星A和B繞地球做勻速圓周運動，它們的軌道半徑之比為rA:rB=1:4。已知地球的質量為M=5.98×10^24kg，引力常量G=6.67×10^-11N·m2/kg2。（1）求兩顆衛(wèi)星的運行周期之比TA:TB；（2）求衛(wèi)星A的運行周期TA；（3）若衛(wèi)星A的質量為mA=1000kg，求衛(wèi)星A受到地球的引力大小。四、綜合應用題（共50分）（25分）閱讀下列材料，回答問題。材料：開普勒三定律是天文學史上的重要發(fā)現(xiàn)，它們不僅揭示了行星運動的規(guī)律，也為牛頓萬有引力定律的建立奠定了基礎。開普勒通過對第谷觀測數(shù)據(jù)的深入分析，花費了近20年的時間才總結出這三條定律。開普勒第一定律否定了古希臘天文學家托勒密的地心說和哥白尼的日心說中行星做勻速圓周運動的觀點，指出行星的軌道是橢圓；開普勒第二定律揭示了行星運動速度的變化規(guī)律，近日點速度快，遠日點速度慢；開普勒第三定律則定量地描述了行星軌道半長軸與公轉周期之間的關系。（1）開普勒三定律的發(fā)現(xiàn)過程體現(xiàn)了科學研究的哪些特點？（2）開普勒三定律與牛頓萬有引力定律之間有什么關系？（3）除了在天文學領域，開普勒三定律還有哪些應用？（25分）某彗星繞太陽做橢圓軌道運動，近日點距離太陽為r1=8.78×10^10m，遠日點距離太陽為r2=5.26×10^12m，彗星在近日點的速度為v1=5.42×10^4m/s。（1）求彗星在遠日點的速度v2；（2）求彗星繞太陽運動的軌道半長軸a；（3）若太陽的質量為M=1.99×10^30kg，引力常量G=6.67×10^-11N·m2/kg2，試通過計算判斷彗星的運動是否符合開普勒第三定律（已知彗星的公轉周期約為76年，1年≈3.16×10^7s）。參考答案及解析一、選擇題C解析：根據(jù)開普勒第三定律，T2/a3=k，所以T=√(ka3)。已知地球的a1=1AU，T1=1年，某行星的a2=4AU，則T2=√(ka23)=√(k(4a1)3)=√(64ka13)=8√(ka13)=8T1=8年。C解析：開普勒第二定律指出行星與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等，所以行星在近日點的速度大于遠日點的速度，A錯誤，C正確；開普勒第一定律指出行星的軌道是橢圓，B錯誤；行星繞太陽運動的周期與軌道半長軸的三次方成正比，D錯誤。A解析：根據(jù)開普勒第二定律，衛(wèi)星與地球的連線在相等時間內掃過的面積相等。近地點時衛(wèi)星距離地球較近，所以速度較大；遠地點時衛(wèi)星距離地球較遠，所以速度較小，即v1>v2。D解析：開普勒第三定律不僅適用于太陽系中的行星繞太陽運動，也適用于地球的衛(wèi)星繞地球運動以及其他恒星系統(tǒng)中的行星繞恒星運動，只要中心天體相同，k值就相同。C解析：根據(jù)開普勒第三定律，T2/a3=k，所以T=√(ka3)。兩顆行星的軌道半長軸之比為a1:a2=1:4，則它們的公轉周期之比為T1:T2=√(ka13):√(ka23)=√(a13):√(a23)=√(13):√(43)=1:8。C解析：橢圓軌道的半長軸是橢圓長軸的一半，而行星到太陽的最遠距離是半長軸與半焦距之和，所以C錯誤。二、填空題軌道；橢圓；焦點面積；速度T2/a3=k；軌道半長軸；公轉周期；中心天體3×10^18m3/s2解析：根據(jù)開普勒第三定律，k=T2/a3=(3.16×10^7s)2/(1.5×10^11m)3≈(1×10^15)/(3.4×10^33)≈3×10^-19s2/m3，題目要求的是k的值，這里可能存在單位問題，正確的k值單位應該是m3/s2，所以k=a3/T2=(1.5×10^11m)3/(3.16×10^7s)2≈(3.4×10^33)/(1×10^15)=3.4×10^18m3/s2，保留一位有效數(shù)字為3×10^18m3/s2。三、計算題解：根據(jù)開普勒第三定律，T2/a3=k，對于木星和地球，有T木2/a木3=T地2/a地3，所以T木=T地√(a木3/a地3)=1年×√(5.23/13)=1年×√(140.608)=1年×11.86≈12年。解：根據(jù)開普勒第二定律，行星在近日點和遠日點與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等。取極短時間Δt，在近日點掃過的面積為S1=1/2r1v1Δt，在遠日點掃過的面積為S2=1/2r2v2Δt。因為S1=S2，所以1/2r1v1Δt=1/2r2v2Δt，解得v2=r1v1/r2。解：（1）根據(jù)開普勒第三定律，T2/a3=k，對于衛(wèi)星A和B，有TA2/rA3=TB2/rB3，所以TA:TB=√(rA3):√(rB3)=√(13):√(43)=1:8。（2）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，有GMm/r2=m(2π/T)2r，解得T=2π√(r3/(GM))。對于衛(wèi)星A，rA=r，TA=2π√(r3/(GM))，由于題目中沒有給出衛(wèi)星A的軌道半徑具體數(shù)值，無法計算出具體的TA值，這里可能需要補充條件或題目存在疏漏。（3）衛(wèi)星A受到地球的引力大小為F=GMmA/rA2，同樣由于rA未知，無法計算具體數(shù)值。四、綜合應用題（1）開普勒三定律的發(fā)現(xiàn)過程體現(xiàn)了科學研究的以下特點：①以觀測數(shù)據(jù)為基礎，開普勒通過對第谷大量觀測數(shù)據(jù)的分析總結出定律；②具有嚴謹?shù)倪壿嬐评砗蛿?shù)學分析，開普勒花費近20年時間進行計算和驗證；③不斷否定和修正前人的觀點，開普勒否定了行星做勻速圓周運動的傳統(tǒng)觀點；④具有創(chuàng)新性，提出了行星運動的橢圓軌道理論。（2）開普勒三定律是牛頓萬有引力定律的重要基礎，牛頓在開普勒三定律的基礎上，結合牛頓運動定律，推導出了萬有引力定律。反過來，萬有引力定律也解釋了開普勒三定律的物理本質，即行星繞太陽運動是由于太陽對行星的萬有引力作用。（3）開普勒三定律的應用包括：①人造衛(wèi)星的軌道設計，根據(jù)定律可以計算衛(wèi)星的運行周期和軌道參數(shù)；②宇宙航行，幫助航天器規(guī)劃飛行軌道；③天文學研究，用于發(fā)現(xiàn)新的行星和天體系統(tǒng)等。（1）根據(jù)開普勒第二定律，r1v1=r2v2，所以v2=r1v1/r2=8.78×10^10m×5.42×10^4m/s/5.26×10^12m≈(8.78×5.42/5.26)×10^(10+4-12)≈(47.6/5.26)×10^2≈9.05×10^2m/s≈905m/s。（2）軌道半長軸a=(r1+r2)/2=(8.78×10^10m+5.26×10^12m)/2=(8.78×10^10m+526×10^10m)/2=534.78×10^10m/2=267.39×10^10m≈2.67×10^12m。（3）根據(jù)開普勒第三定律，k=a3/T2，其中T=76年=76×3.16×10^7s≈2.40×10^9s，a=2.67×10^12m，所以k=a3/T2=(2.67×10^12m)3/(2.40×10^9s)2≈(19.0×10^36)/(5.76×10^18)≈3.3×