精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）新課預(yù)習(xí).培優(yōu)卷4.4探索三角形相似的條件一．選擇題（共7小題）1．（2025春?萊蕪區(qū)期末）在△ABC中，D、E分別是AC、BC上的點(diǎn)，BD、AE交于點(diǎn)F，下列不能判定△BCD∽△ACE的是（）A．BCCA=CDCE B．DF?FB＝C．∠CDB＝∠AEC D．BC2．（2025?河北）如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長(zhǎng)BA，BC，分別交直線DE于點(diǎn)M，N．若添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△MAE∽△DCN，則這個(gè)條件是（）A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠33．（2025春?青神縣期中）如圖，點(diǎn)P是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，連結(jié)BP，以下條件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．ABAP=AC4．（2024秋?渠縣期末）如圖，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．5．（2025?淮北三模）如圖，E是BC上一點(diǎn)，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，連接AD．若∠EAD＝∠DEC，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．DE平分∠ADC B．BCC．BE＝CE D．△ADE∽△EDC6．（2025?鄒城市二模）如圖，四邊形ABCD和OEFG是正方形，點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)G分別在邊AB和BC上，直線FG交直線OB于點(diǎn)P，交直線AB于點(diǎn)M，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．△AOE≌△BOG B．△AOE∽△GEM C．若∠BEG＝20°，則∠BPG＝120° D．若四邊形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則EG長(zhǎng)度的最小值為27．（2025?南陵縣一模）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線CA平分∠BCD，補(bǔ)充下列條件后仍不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠ADC＝∠BAC B．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC?CD D．AD二．填空題（共5小題）8．（2025春?淮安期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝m（m＞2），點(diǎn)E是AD邊上一定點(diǎn)，且AE＝2．在線段AB上找一點(diǎn)F，使△AEF與△BCF相似．若這樣的點(diǎn)F恰好有3個(gè)，則m的取值范圍是．9．（2025?臨滄模擬）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B停止，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)到點(diǎn)A停止，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/s，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s，如果兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，那么以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．10．（2025?臨川區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．點(diǎn)P在BD上移動(dòng)，當(dāng)以P，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似時(shí)，則PB的長(zhǎng)為．11．（2025?安慶二模）如圖，在△ABC紙板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長(zhǎng)的取值范圍是．12．（2024秋?梅里斯區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P、Q分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△PQB沿PQ折疊，使點(diǎn)B們對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AC上，當(dāng)△APD與△ABC相似時(shí)，AP的長(zhǎng)為．三．解答題（共3小題）13．（2025春?姑蘇區(qū)期末）如圖，△ABC和△ADE的頂點(diǎn)A重合，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D．（1）若AB＝3AD，BC＝4，求DE的長(zhǎng)；（2）連接BD，CE，求證：△ABD∽△ACE．14．（2025春?張店區(qū)校級(jí)月考）如圖：在△ABC中，AB＝5，AC＝4，P是AB上一點(diǎn)，且AP＝3，若Q在AC上，試確定Q點(diǎn)的位置，使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．15．（2025春?瑤海區(qū)校級(jí)月考）如圖，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接DE、AE、BD．（1）求DE的長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）點(diǎn)F為邊CD上的一點(diǎn)，連接AF，交DE于點(diǎn)G，連接EF，AF⊥EF．求證：△AGE∽△DGF．

新課預(yù)習(xí).培優(yōu)卷4.4探索三角形相似的條件參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．（2025春?萊蕪區(qū)期末）在△ABC中，D、E分別是AC、BC上的點(diǎn)，BD、AE交于點(diǎn)F，下列不能判定△BCD∽△ACE的是（）A．BCCA=CDCE B．DF?FB＝C．∠CDB＝∠AEC D．BC【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】由BCCA=CDCE，∠C＝∠C，根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”證明△BCD∽△ACE，可判斷A不符合題意；由DF?FB＝AF?EF，得FBAF=EFDF，可證明△BFE∽△AFD，推導(dǎo)出∠CBD＝∠CAE，而∠C＝∠C，可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△BCD∽△ACE，可判斷B不符合題意；由∠CDB＝∠AEC，∠C＝∠C，可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△BCD∽△ACE，可判斷C不符合題意；因?yàn)锽CAC=BD【解答】解：∵BCCA=CDCE，∠∴△BCD∽△ACE，故A不符合題意；∵DF?FB＝AF?EF，∴FBAF∵∠BFE＝∠AFD，∴△BFE∽△AFD，∴∠EBF＝∠DAF，即∠CBD＝∠CAE，∵∠CBD＝∠CAE，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACE，故B不符合題意；∵∠CDB＝∠AEC，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACE，故C不符合題意；∴BCAC=BDAE，∠∴由BCAC=BDAE不能判定△故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定，適當(dāng)選擇相似三角形的判定定理證明△BCD∽△ACE是解題的關(guān)鍵．2．（2025?河北）如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長(zhǎng)BA，BC，分別交直線DE于點(diǎn)M，N．若添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△MAE∽△DCN，則這個(gè)條件是（）A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，當(dāng)添加∠B+∠4＝180°時(shí)，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等證明∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，則根據(jù)相似三角形的判定方法可對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；當(dāng)添加CD∥AB時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，則根據(jù)相似三角形的判定方法可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；當(dāng)添加∠1+∠4＝180°時(shí)，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等證明∠DCN＝∠MAE，則根據(jù)相似三角形的判定方法可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；當(dāng)添加∠2＝∠3時(shí)，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等證明∠AEM＝∠CDN＝∠CND，于是根據(jù)相似三角形的判定方法可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵AE∥BC，∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，當(dāng)添加∠B+∠4＝180°時(shí)，∵∠DCN+∠4＝180°，∴∠DCN＝∠B，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)添加CD∥AB時(shí)，∴∠DCN＝∠B，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)添加∠1+∠4＝180°時(shí)，∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以C選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)添加∠2＝∠3時(shí)，∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°，∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND∴不能判斷△MAE∽△DCN，所以D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了平行線的性質(zhì)．3．（2025春?青神縣期中）如圖，點(diǎn)P是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，連結(jié)BP，以下條件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．ABAP=AC【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】證明題；圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】通過題圖發(fā)現(xiàn)∠A是公共角，利用相似三角形的判定方法，逐個(gè)判斷得結(jié)論．【解答】解：∵△ABP與△ACB有公共角∠A，當(dāng)添加條件∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC，都滿足“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”的判定方法，故添加條件A、B能判斷△ABP∽△ACB；由于AB、AP、AC、AB都是夾著∠A的邊，當(dāng)添加條件ABAP滿足“兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等”的判定方法，故添加條件C能判斷△ABP∽△ACB；當(dāng)添加條件BPCB故添加條件D不能判斷△ABP∽△ACB．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．4．（2024秋?渠縣期末）如圖，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理：有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行求解即可．【解答】A、∵有兩邊對(duì)應(yīng)邊成比例但是夾角不相等，∴兩三角形不相似，故該選項(xiàng)符合題意；B、∵6?39?7=32，96∴兩三角形相似，故該選項(xiàng)不符合題意；C、∵陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，∴兩三角形相似，故該選項(xiàng)不符合題意；D、∵陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，∴兩三角形相似，故該選項(xiàng)不符合題意，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵要明確：兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個(gè)三角形相似；三組邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．5．（2025?淮北三模）如圖，E是BC上一點(diǎn)，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，連接AD．若∠EAD＝∠DEC，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．DE平分∠ADC B．BCC．BE＝CE D．△ADE∽△EDC【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，首先得出∠EAD+∠ADE＝∠DEC+∠EDC＝90°，得到∠EAD＝∠DEC，等量代換得到∠ADE＝∠EDC，即可判斷A；結(jié)合∠AED＝∠C＝90°即可得到△ADE∽△EDC，即可判斷D；根據(jù)同角的余角相等得到∠BAE＝∠DEC，等量代換得到∠BAE＝∠EAD，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到BE＝FE，EF＝EC，即可得到BE＝EC，進(jìn)而判斷C；首先得到BE=12BC，證明出△ABE∽△ECD，得到ABEC=BECD，然后等量代換得到BC2【解答】解：AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，∴∠AED＝∠C＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝∠DEC+∠EDC＝90°，∵∠EAD＝∠DEC，∴∠ADE＝∠EDC，∴DE平分∠ADC，故A正確，不符合題意；又∵∠AED＝∠C＝90°，∴△ADE∽△EDC，故D正確，不符合題意；∵AE⊥DE，AB⊥BC，∴∠B＝∠AED＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∵∠EAD＝∠DEC，∴∠BAE＝∠EAD，∵AB⊥BC，EF⊥AD，∴BE＝FE，∵DE平分∠ADC，∴EF＝EC，∴BE＝EC，故C正確，不符合題意；∴BE=1∵∠BAE＝∠DEC，∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECD，∴ABEC∴BE?EC＝AB?CD，即12∴BC2＝4AB?CD，故B錯(cuò)誤，符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2025?鄒城市二模）如圖，四邊形ABCD和OEFG是正方形，點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)G分別在邊AB和BC上，直線FG交直線OB于點(diǎn)P，交直線AB于點(diǎn)M，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．△AOE≌△BOG B．△AOE∽△GEM C．若∠BEG＝20°，則∠BPG＝120° D．若四邊形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則EG長(zhǎng)度的最小值為2【考點(diǎn)】相似三角形的判定；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOB＝∠EOG＝90°，OA＝OB，OE＝OG，則∠AOE＝∠BOG，所以根據(jù)“SAS”可證明△AOE≌△BOG，于是可對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠OAE＝∠OEG＝∠EGM＝45°，再利用三角形外角性質(zhì)證明∠MAG＝∠EOA，則根據(jù)相似三角形的判定方法得到△AOE∽△GEM，從而可對(duì)B選項(xiàng)；由于∠BOG＝∠AOE＝∠BEG＝20°，則利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠BPG＝110°，于是可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)正方形的性質(zhì)得到EG=2OG，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)OG⊥BC時(shí)，OG得長(zhǎng)度最小，則根據(jù)正方形的性質(zhì)得到此時(shí)OG=12BC＝1，從而得到EG長(zhǎng)度的最小值為2【解答】解：∵四邊形ABCD和OEFG是正方形，∴∠AOB＝∠EOG＝90°，OA＝OB，OE＝OG，∴∠AOE＝∠BOG，在△AOE和△BOG中，OA=OB∠AOE=∠BOG∴△AOE≌△BOG（SAS），所以A選項(xiàng)的說(shuō)法正確；∵四邊形ABCD和OEFG是正方形，∴∠OAE＝∠OEG＝∠EGM＝45°，∵∠OEM＝∠OAE+∠EOA，即∠MEG+45°＝45°+∠EOA，∴∠MAG＝∠EOA，而∠EGM＝∠OAE，∴△AOE∽△GEM，所以B選項(xiàng)的說(shuō)法正確；∵∠BOG＝∠AOE＝∠BEG＝20°，∴∠BPG＝∠PGO+∠POG＝90°+20°＝110°，所以C選項(xiàng)的說(shuō)法錯(cuò)誤；∵四邊形OEFG是正方形，∴EG=2OG∵當(dāng)OG⊥BC時(shí)，OG得長(zhǎng)度最小，此時(shí)OG=12∴EG長(zhǎng)度的最小值為2，所以D選項(xiàng)的說(shuō)法正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，利用相似比表示線段之間的關(guān)系或進(jìn)行幾何計(jì)算．也考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理、全等三角形的判定．7．（2025?南陵縣一模）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線CA平分∠BCD，補(bǔ)充下列條件后仍不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠ADC＝∠BAC B．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC?CD D．AD【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】三角形；圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義得∠DAC＝∠ACB，當(dāng)∠ADC＝∠BAC時(shí)，則△ADC∽△BAC，據(jù)此可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷；根據(jù)∠DAC＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB得△ADC∽△BAC，據(jù)此可對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行判斷；根據(jù)AC2＝BC?CD得到ACBC=CDAC，再根據(jù)∠DAC＝∠ACB得△ADC∽△BAC，據(jù)此可對(duì)選項(xiàng)出C進(jìn)行判斷；雖然ADCD=AB【解答】解：∵CA平分∠BCD，∴∠DAC＝∠ACB，對(duì)于選項(xiàng)A，∵∠ADC＝∠BAC，∠DAC＝∠ACB，∴△ADC∽△BAC，∴選項(xiàng)A中的條件能判定△ADC和△BAC相似，故選項(xiàng)A不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B，∵∠DAC＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB，∴△ADC∽△BAC，∴選項(xiàng)B中的條件能判定△ADC和△BAC相似，故選項(xiàng)B不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，∵AC2＝BC?CD，∴ACBC又∵∠DAC＝∠ACB，∴△ADC∽△BAC，∴選項(xiàng)C中的條件能判定△ADC和△BAC相似，故選項(xiàng)C不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，∵ADCD但是根據(jù)已知條件無(wú)法判定∠D＝∠BAC，∴選項(xiàng)D中的條件不能判定△ADC和△BAC相似，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）8．（2025春?淮安期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝m（m＞2），點(diǎn)E是AD邊上一定點(diǎn)，且AE＝2．在線段AB上找一點(diǎn)F，使△AEF與△BCF相似．若這樣的點(diǎn)F恰好有3個(gè)，則m的取值范圍是2＜m＜8且m≠6．【考點(diǎn)】相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】2＜m＜8且m≠6．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，交點(diǎn)個(gè)數(shù)分類討論即可解決問題．【解答】解：延長(zhǎng)DA，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接CE′，交AB于點(diǎn)F1，連接CE，以CE為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)F2、F3，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△AE′F1∽△BCF1，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：△AEF1≌△AE′F1，∴△AEF1∽△BCF1，當(dāng)m＝4時(shí)，∴AB＝BC＝CD＝DA＝8，∴ED＝AD﹣AE＝6，∴CE=D即圖中⊙O的直徑為5，作OG⊥CD于點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理，得CG＝DG，∴OG∥AD，OG=12∴此時(shí)圖中所作⊙O的圓心到AB的距離為8﹣3＝5，等于⊙O的半徑，此時(shí)F2，F(xiàn)3重合，此時(shí)△AEF2∽△BCF2，即當(dāng)m＝4時(shí)，符合條件的F有2個(gè)，為F2，F(xiàn)1；當(dāng)m＞8時(shí)，圖中所作⊙O和AB相離，此時(shí)F2，F(xiàn)3不存在了，即此時(shí)符合條件的F只有1個(gè)，為F1，當(dāng)m＝6時(shí)，且△AEF∽△BFC時(shí)，∴AEBF設(shè)AF＝x，∵AB＝8，BC＝6（m＞1），AE＝2，∴BF＝AB﹣AF＝8﹣x，∴x6解得x1＝2，x2＝6；當(dāng)△AEF∽△BCF時(shí)，∴AEBC設(shè)AF＝x，∵AB＝8，BC＝m（m＞1），AE＝2，∴BF＝AB﹣AF＝8﹣x，∴26解得x＝2，故m＝6時(shí)，符合題意的點(diǎn)F有兩個(gè)，故當(dāng)2＜m＜8且m≠6有3個(gè)，故答案為：2＜m＜8且m≠6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—相似變換，矩形的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．9．（2025?臨滄模擬）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B停止，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)到點(diǎn)A停止，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/s，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s，如果兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，那么以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3或4.8秒．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】3或4.8．【分析】如果以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，由于A與A對(duì)應(yīng)，那么分兩種情況：①D與B對(duì)應(yīng)；②D與C對(duì)應(yīng)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別作答．【解答】解：如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①當(dāng)D與B對(duì)應(yīng)時(shí)，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②當(dāng)D與C對(duì)應(yīng)時(shí)，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．所以當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒．故答案為：3或4.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程的應(yīng)用，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)．本題分析出以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，有兩種情況是解決問題的關(guān)鍵．10．（2025?臨川區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．點(diǎn)P在BD上移動(dòng)，當(dāng)以P，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似時(shí)，則PB的長(zhǎng)為8.4或2或12．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；幾何直觀．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)DP＝x，則BP＝BD﹣x＝14﹣x，根據(jù)垂直的定義得到∠B＝∠D＝90°，再根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，當(dāng)ABDP=BPDC時(shí)，△ABP∽△PDC，即【解答】解：設(shè)DP＝x，則BP＝BD﹣x＝14﹣x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B＝∠D＝90°，當(dāng)ABCD=BPDP時(shí)，△即64解得：x=28∴BP＝14?28當(dāng)ABDP=BPDC時(shí)，△ABP∽△整理得x2﹣14x+24＝0，解得x1＝2，x2＝12，BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，∴當(dāng)BP為8.4或2或12時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似．故答案為：8.4或2或12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．11．（2025?安慶二模）如圖，在△ABC紙板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長(zhǎng)的取值范圍是6≤AP＜8．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；應(yīng)用意識(shí)．【答案】6≤AP＜8．【分析】分四種情況討論，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到AP的長(zhǎng)的取值范圍．【解答】解：如圖所示，過P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，則△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此時(shí)0＜AP＜8；如圖所示，過P作∠APF＝∠B交AB于F，則△APF∽△ABC，此時(shí)0＜AP≤8；如圖所示，過P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，則△CPG∽△CBA，此時(shí)，△CPG∽△CBA，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，∴CP＝2，AP＝6，∴此時(shí)，6≤AP＜8；綜上所述，要有4種不同的剪法，使得過點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC相似，則AP長(zhǎng)的取值范圍是6≤AP＜8．故答案為：6≤AP＜8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．12．（2024秋?梅里斯區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P、Q分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△PQB沿PQ折疊，使點(diǎn)B們對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AC上，當(dāng)△APD與△ABC相似時(shí)，AP的長(zhǎng)為258或207【考點(diǎn)】相似三角形的判定；翻折變換（折疊問題）．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】258或20【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB＝5，當(dāng)△APD與△ABC相似時(shí)，設(shè)AP＝x，則PB＝PD＝5﹣x，分兩種情況：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分別列方程求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=3當(dāng)△APD與△ABC相似時(shí)，∵點(diǎn)D始終在邊AC上，根據(jù)折疊PB＝PD，設(shè)AP＝x，則PB＝PD＝5﹣x，∴分兩種情況：①△APD∽△ABC，此時(shí)∠ADP＝∠ACB＝90°，∴PDBC=AP解得x=25∴AP=25②△APD∽△ACB，此時(shí)∠APD＝∠ACB＝90°，∴PDBC=AP解得x=20∴AP=20綜上，AP的長(zhǎng)為258或20故答案為：258或20【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，折疊的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意△APD與△ABC相似要分情況討論．三．解答題（共3小題）13．（2025春?姑蘇區(qū)期末）如圖，△ABC和△ADE的頂點(diǎn)A重合，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D．（1）若AB＝3AD，BC＝4，求DE的長(zhǎng)；（2）連接BD，CE，求證：△ABD∽△ACE．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）43【分析】（1）證明△ABC