2024-2025學(xué)年上學(xué)期河北高二數(shù)學(xué)期末

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1111

I.?分）數(shù)列-弓，,-五’…的通項(xiàng)公式可能是（

R〃-（T）"

.(T尸B-

A.an3n+2吁而短

=(T尸D〃_(T)

C.Un-2n+3D-吁2九+3

2.（5分）（2020秋?德城區(qū)校級(jí)期中）直線vir-3y-5=0的傾斜角為（）

nTC25

A.-B.-C.^ITD.不

63

3.（5分）（2023春?西山區(qū)校級(jí)期中）已知向量。=（一3,2,7）,b=（1,x,-1）,且Q_Lb,則x的值

為（）

A.4B.-4C.5D.-5

4.（5分）（2016春?紅河州校級(jí)月考）若4（-1,2）,8（0,-1）,且直線則直線/的斜率為（）

1

A.-3B.3C.D.-

3

5.15分）（2022秋?河北期中）已知均為拋物線C：f=2〃y（p>0）上的點(diǎn),F為C的焦點(diǎn)，且=7?B,

則直線48的斜率為（）

A工店B.士萃D

A.土虧c+空-+需

6.（5分）（2021秋?涼山州期末）過(guò)雙曲線C：捻一/=1的右焦點(diǎn)也作入軸的垂線，與雙曲線在第一象

限的交點(diǎn)P，且滿足|尸尸2|=|尸尸2|，則雙曲線。的離心率為（）

A.V2-1B.V24-1C.V2D.V2+2

7.（5分）（2023春?河南月考）在等差數(shù)列｛“〃｝中，已知42+43+44+45+46=25,那么44=（）

A.4B.5C.6D.7

8.（5分）（2023秋?啟東市校級(jí)月考）已知等腰△ABC底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為8（4,0）,C（0,-4）,

則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）

A.y=xB.y=x(月2)C.y=-xD.y=-x(x#2)

二,多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

（多選）9.（5分）（2024春?相山區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)/（x）=45%-2%2+1,下列說(shuō)法中正確的有（）

A.曲線y—/（x）在點(diǎn)x—1處的切線方程為y=

B.函數(shù)/G）的極小值為4加2?1

C.函數(shù)/（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0,2）

D.當(dāng)大曰1,弓時(shí)，函數(shù)/（總的最大值為4/〃2-1,最小值為:

（多選）10.（5分）（2022秋?晉中期末）已知等比數(shù)列伍〃｝的前〃項(xiàng)積為力“m>0,公比4>1,且乃021

<1,?2022>1,則（）

A.azuz2>1

B.當(dāng)〃=2021時(shí)，。最小

C.當(dāng)〃=1011時(shí)，7）最小

D.存在〃V1011,使得anan+\=an+2

（多選）11.（5分）（2023秋?越秀區(qū)期末）已知向量3=（機(jī)，-1）,b=（-2,1）,則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.若加=1,則|Q-b|=VTJ

B.若2III,則加=2

是“［與勺夾先為鈍角”的充要條件

C.“7n>41

D.若m=-1,則b在。T上的投影向量的坐標(biāo)為（-1先-11）

（多選）12.（5分）（2U23秋?河南期木）已知雙曲線以1-y2=i,點(diǎn)A（xi,戶），B（.⑵分別

在兩條漸近線上（不與原點(diǎn)0重合），點(diǎn)M是E上的一個(gè)幻點(diǎn)，且0M=AOA+豐〃），記直線

OA,OB,0M的斜率分別為人。小koB,kQM,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.hwZozi為定值

B.當(dāng)48_Lx軸時(shí)，kaw為定值

C.巾為定值

D.入慳血為定值

三,填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2023秋?河北區(qū)期末）將直線x-.y+c=0向右平移一個(gè)單位后，被圓/+『=5截得的弦長(zhǎng)為2百，

則c=.

14.（5分）（2022春?西城區(qū)期末）設(shè)函數(shù)/（x）=塔，則/（1）=.

15.（5分）（2022秋?建甌市校級(jí)期中）在校長(zhǎng)為I的正力體ABCD-A\B\C\D\中，平面A6C與平面A\C\D

間的距離是.

16.（5分）（2023秋?海安市校級(jí)期中）寫出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列傳〃）的通項(xiàng)公式

Q）2a〃+i=a〃+a〃+2；②Va〃.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)力（2,-1）,且與直線八：x+y-1=0垂直.

（1）求直線/的方程；

（2）設(shè)圓C與直線/相切，且圓心為直線A與直線/2：2x+y=0的交點(diǎn)，求圓C的方程.

18.（12分）（2024?河?xùn)|區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列｛如｝是等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S〃，數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，

滿足。1=歷=3,1+。2=2加，S2+S4=2（S3+43）.

（I）求數(shù)列｛。〃｝和｛加｝的通項(xiàng)公式；

an,九=2k-1

h?_（依N）,求￡氏1。q+1；

UH9IL一乙K

（2

證明：^黑一「

19.（12分）（2023秋?海陵區(qū)校級(jí)期中）已知A為拋物線C：/=2p.v（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到拋物線C

的焦點(diǎn)F的距離為12,點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9.

（1）求〃的值；

（2）若斜率為1的直線/經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F,且與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn).求線段的長(zhǎng).

20.（12分）（2022?攀枝花模擬）已知函數(shù)/（x）=（，-〃］）/7（〃匯R）在（0,/（0））處的切線平

行于x軸（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若關(guān)于x的不等式f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的值.

21.（12分）（2024?房山區(qū)一模）如圖，在五面體A8CDE尸中，四邊形48co是矩形，平面平面

ABCD,△AOE是正三角形，EF=2,A8=4,AD=2.

（I）求證：EF//AB,

（II）求二面角F-8C-O的余弦值.

%2y2

22.（12分）（2023秋?濮陽(yáng)期中）已知橢圓E：—+—=1（。＞匕＞0）的上頂點(diǎn)為B,左焦點(diǎn)為尸，且8,

戶在直線x-y+2=0上.

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/與￡交于P,Q兩點(diǎn)，且四邊形8PP。為平行四邊形，求/的方程.

2024-2025學(xué)年上學(xué)期河北高二數(shù)學(xué)期末典型卷1

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

?分）數(shù)列Y，?4*…的通項(xiàng)公式可能是（）

.(-1嚴(yán)_(~1)71

A."〃=丁+2B.an~3n+2

「_(-1尸(一」

C?3271+3D.32n+3

【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；數(shù)列的函數(shù)特性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】依次將〃=1,〃=2依次選項(xiàng)驗(yàn)證，即可求解?.

【解答】解：對(duì)于AC,當(dāng)〃=1時(shí)，ax=I，故AC錯(cuò)誤；

對(duì)于8,當(dāng)〃=2時(shí)，?=*，故8錯(cuò)誤

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的表示法，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2020秋?德城區(qū)校級(jí)期中）直線Vli3y-5=0的傾斜角為（）

7T7T25

A.—B.—C.-ITD.-n

6336

【考點(diǎn)】直線的傾斜角.

【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】把直線方程化為斜截式，求出直線的斜率，由斜率公式求出直線的傾斜角.

【解答】解：由宜線岳-3y-5=0得，產(chǎn)圣一|，

???斜率上卓，.??直線的傾斜角為m

J6

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由直線方程求直線傾斜角，以及斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2023春?西山區(qū)校級(jí)期中）已知向量3=（-3,2,7）,b=（1,%,-1）,且31￡則x的值

為（）

A.4B.-4C.5D.-5

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】向量垂直時(shí)，數(shù)量積等于零，向量數(shù)量積用坐標(biāo)進(jìn)行表示即可.

【解答】解：因?yàn)橄蛄炕?(-3,2,7),b=(1,x,-1),Ha1b,

所以：工=0,即(-3)X|+Zr+7X(-1)=2x70=0,

則x=5.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)(2016春?紅河州校級(jí)月考)若A(-I,2),B(0,7)，且直線A8_L/,則直線/的斜率為()

11

A.-3B.3C.—nD.—

33

【考點(diǎn)】直線的斜率.

【專題】計(jì)算題：方程思想；綜合法：直線與圓.

【答案】D

【分析】求出直線A/3的斜率，利用直線A3_L/,求出直線/的斜率.

【解答】解：?.?人(-I,2),R(0,-I),

.,2+12

??以3=萬(wàn)丁-3,

???直線

工直線/的斜率為點(diǎn)

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率，考查兩條直線垂直關(guān)系的運(yùn)用，比較基礎(chǔ).

5.15分)(2022秋?河北期中)已知均為拋物線C：』=2〃y(p>0)上的點(diǎn),F為C的焦點(diǎn)，且=7FB,

則直線A8的斜率為()

A.±fB.土等C.土警D.土嚅

【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】當(dāng)直線48的斜率大于。時(shí)，過(guò)A,B作準(zhǔn)線的垂線，作BG_LA。，根據(jù)3余=7港，設(shè)依回

=7x,陽(yáng)月=3心推出|AG|,|8G|的值，計(jì)算以8=tanN/WG,同理計(jì)算當(dāng)直線AB的斜率小于0時(shí)的以歷

即得答案.

【解答】解：當(dāng)直線A6的斜率大于0時(shí)，如圖，過(guò)A,3作準(zhǔn)線/的垂線，

垂足分別為。，E,過(guò)3作6G_LAD,G為垂足，

因?yàn)?6=7/\,所以可設(shè)|"l=7x,|8Q=3x,

因?yàn)槿耍?均在。上，所以|/W)|=|AQ=7x,\BF\=\BE\=3x,

\AG\=\AD\-\BE\=4x,\AB\=lO.v,

故"(10x)2-(4%)2=2VHA-,

則[71.1心>B=tan/N.AD8,G”=而4G=4K=—2j21

當(dāng)直線AB的斜率小于0時(shí)，同理可得kAB=-蜜

LJL

故直線AB的斜率為土蘭紅，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

6.（5分）（2021秋?涼山州期末）過(guò)雙曲線C：捺-3二1的右焦點(diǎn)尸2作工軸的垂線，與雙曲線在第一象

限的交點(diǎn)P，且滿足尸產(chǎn)2]=|尸"2|,則雙曲線C的離心率為（）

A.V2-1B./+1C.V2D.V2+2

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】B

22

【分析】根據(jù)題意求出|PEI=」h，再由IF尸2|=|P"2|,可得b一二2c,再將戶=c2-〃2代入化簡(jiǎn)可求出

Qa

雙曲線的離心率.

【解答】解：由題意得正2（c,0）,當(dāng)戈=。時(shí)，號(hào)一[=1,得y2=4，

azb2a￡

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以P（c,《），

所以1%1=1，

b2

因?yàn)閨尸產(chǎn)2|=|P戶2],所以一=2C,

a

所以c2~a2=2ac,所以e2-2e-1=0,

所以。=翌五=1±e,

因?yàn)閑>l,所以e=&+l,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求解等知識(shí)，屬于中等題.

7.（5分）（2023春?河南月考）在等差數(shù)列｛〃〃｝中，已知42+43+44+45+46=25,那么〉4=（）

A.4B.5C.6D.7

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解.

【答案】R

【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得。2+。3+。4+。5+〃6=5。4=25,變形可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，在等差數(shù)列｛〃“｝中，已知42+43+44-45+46=25,

而42+43+44+45+46=544=25,變形可得44=5.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2023秋?啟東市校級(jí)月考）已知等腰△A4C底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為“（4,0）,C<0,4）,

則頂點(diǎn)4的軌跡方程是（）

A.y=xB.y=x（xW2）C.y=-xD.y=-x（xW2）

【考點(diǎn)】軌跡方程.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓：運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)A4=AC,可得頂點(diǎn)A的軌跡是6c的垂直平分線（除去交點(diǎn)），即可得出結(jié)論.

【解答】解：???AB=AC,

工頂點(diǎn)A的軌跡是8C的垂直平分線(除去交點(diǎn)),

(4,0),C<0,-4),

：?kBC=l,BC的中點(diǎn)(2,-2),

與直線BC垂直的直線的斜率為-I,

???頂點(diǎn)A的軌跡方程是,42=-(x-2),即y=-x(x#2),

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查

學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

(多選)9.(5分)(2024春?相山區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(無(wú))=45%—±%2+1,下列說(shuō)法中正確的有()

A.曲線y=/(x)在點(diǎn)x=l處的切線方程為y=3x—慨

B.函數(shù)/(x)的極小值為4/〃2-1

C.函數(shù)/G)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2)

D.當(dāng).詫［I,e］時(shí)，函數(shù)/(4的最大值為4/〃2-1,最小值為1

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)

研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意求解判斷即可，對(duì)于8C,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值；對(duì)于。，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出函數(shù)的最值.

【解答】解：il/(x)=Mnx-x2+1,得/''-無(wú)=匕；(％>0),

114

對(duì)于A,因?yàn)閒(l)=4仇1一a+1=今ff(l)=f-l=3,

所以曲線產(chǎn)八外在點(diǎn).1=1處的切線方程為丫一，3。-1),即y=3x—￡所以A正偏；

對(duì)于B,由(%)=號(hào)^=0,得x=2或x=-2(舍去)，

當(dāng)0<xV2時(shí)，f(x)>0,當(dāng)x>2時(shí)，/(x)<0,

所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=2時(shí)，/(x)取極大值/(2)=4歷2?1,無(wú)極小值,

所以8錯(cuò)誤，C正確；

對(duì)于。，由選項(xiàng)3C,可知當(dāng)尤［1,e］時(shí)，函數(shù)/(x)在［1,2)上單調(diào)遞增，在(2,e］上單調(diào)遞減,

所以f(%)的最大值為/(2)=4/n2-1,

1p2p2i

因?yàn)閒(l)=*，/(e)=4/ne-y+l=5-y>|,

所以/(x)的最小值為"1)=3,所以。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題.

(多選)10.(5分)(2022秋?晉中期末)已知等比數(shù)列伍〃｝的前〃項(xiàng)積為了〃，?|>0,公比夕>1,且72021

<1,72022>1,則()

A.02022>I

B.當(dāng)〃=2021時(shí),行最小

C.當(dāng)〃=1011時(shí)，772最小

D.存在〃<1011,使得(ltiCln+\=Cln+2

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】AC

【分析】選項(xiàng)A,利用m>0,q>\,得到所>0,再利用條件即可得到結(jié)果；選項(xiàng)8和C,利用等比

數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合條件即可判斷出8和C的正誤；選項(xiàng)D,結(jié)合條件，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出結(jié)

果.

【解答】解:對(duì)于選項(xiàng)A,由于m>0,q>1,所以即=。通'-1>0,又ma2a2021VI,a\aza2Q22>\t

所以。2022>不二一>1，故選項(xiàng)A正確：

?l?2-a2021

對(duì)于8和C,由等比數(shù)列的性質(zhì)，。1。2021=a2a2020=""=a1010a1012=超011，

故…02021=?1011VI,則41011VI,

0102022=4242021=…=4101101012，于是由。2…。2022=>1，則。1011，故。1012〉

I,故當(dāng)〃=101I時(shí)，4142…如最小，故選項(xiàng)4錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于。，因?yàn)閙>0,q>\,所以數(shù)列｛〃”｝是單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)〃<1011時(shí)，?H<aion<b

故Va〃+i<a〃+2,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

(多選)11.(5分)(2023秋?越秀區(qū)期末)已知向量3=(m,-1),b=(-2,1),則下列說(shuō)法正確的是

()

A.若m=1,則|a-=

B.若aIIb,則加=2

C.是“［與1的夾角為鈍角”的充要條件

D.若機(jī)=7,則匕在a上的投影向量的坐標(biāo)為(一/，

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；平面向量的投影向量；平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示;

數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角；命題的真假判斷與應(yīng)用；平面向量的概念與平面向量的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】ABD

【分析】A項(xiàng)，利用向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算；8項(xiàng)，利用向量共線的坐標(biāo)條件求解；。項(xiàng)，由共線反向特

例可知：。項(xiàng)，結(jié)合數(shù)量積與單位向量表示投影向量即可.

【解答】解：選項(xiàng)A,若〃?=1,則；=(1,-1),Xb=(-2,1),

則a?力=-3,a2-2,b2-5?

則|a—b\2=a2—2a?b+b2=2+6+5=13,

故=A項(xiàng)正確；

選項(xiàng)8,a=(m,-1),b=(-2,1),

若ZIIb,則m-2=0,解得陽(yáng)=2,B項(xiàng)正確；

選項(xiàng)C,a?b=-2m—1,

若mA-》則Q?匕VO,其中當(dāng)〃?=2時(shí)、Q與b共線且反向，

1TT

即—是"Q與b的夾角為鈍角”的必要不充分條件，。項(xiàng)錯(cuò)誤；

選項(xiàng)￡>,若/"=-1,則a=(-1,-1),又b=(—2,1),

則ab=1,|a|=V2?

,TTT

則了在；上的投影向量的坐標(biāo)（學(xué)）冬=芻=卜一1,-1）=（-1,一"故o正確.

l?lkl\a\

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

丫2

（多選）12.（5分）（2023秋?河南期末）已知雙曲線E：半—必=1,點(diǎn)八（川，產(chǎn)），R（,n,v2）分別

在兩條漸近線上（不與原點(diǎn)。重合），點(diǎn)"是￡上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且而=2扇+〃兀（2工〃），記直線

OA,OB,OM的斜率分別為AQA,koB,koM,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.hwZoz?為定值

B.當(dāng)軸時(shí)，hw為定值

C.入口為定值

D.入網(wǎng)X2為定值

【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解.

【答案】AD

【分析】求出雙曲線漸近線方程，不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=乙上，點(diǎn)3在漸近線y=乙上，即可得

~由此可判斷4;當(dāng)AB_Lx軸時(shí)，x2=x\i32=-yi,結(jié)合岫“=洱化簡(jiǎn)，可判斷

Xi2x22打

(x=+nx

結(jié)合向量0M=AOA+MB（A工〃），求出02,代入雙曲線方程化簡(jiǎn)求出*-4弁）+

ly=入%+"2

〃2（第一4羽）+2加-84少1%=4,結(jié)合點(diǎn)A（XI,B（X2,yi）分別在兩條漸近線上，推出

入口LV2=1,即可判斷C,D.

【解答】解：由題意得雙曲線E：子—y2=1的漸近線方程為＞=±2,

不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=上，點(diǎn)8在漸近線y=上,

則“，也」，

Xi2x22

故k°A,k（）B=故4正確；

xlx24

設(shè)M(AO,.yo),由OM=A.OA+〃OB(AH〃)，得(xo,.yo)=A(xi,y\)+R(A?,y2),

即po=Axt+"2

當(dāng)ABA-x軸時(shí),A2=xi,y2="yi,k=摯==力上不為定值,故B錯(cuò)誤;

UMAQ/I4]十叢42I八十〃J4]

把｛L；葭代?71中，得空咨一（%+%2=1，

整理得乃（*-4yf）+〃2（君-472）+2川-8川%丫2=4，

"x

再由%=4%1，y2=|2?得4入pj.v2=4,入pnx2=l,

即入p不為定值，入山口犬2為定值，C錯(cuò)誤，。正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2023秋?河北區(qū)期末）將直線x-y+c=0向右平移一個(gè)單位后，被圓/+『=5截得的弦長(zhǎng)為2百,

則c=3或-1.

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；直線與圓相交的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】3或?1.

【分析】由題意得到新直線方程為x-y+c-1=0,利用垂徑定理即可求解.

【解答】解：將直線x-y+c=0向右平移一個(gè)單位后，得到新直線方程為x-y+c-1=0,

因?yàn)閳A的方程為了+）2=5,則圓心為（0,0）,半徑為四，

又新直線被圓/+）?=5截得的弦長(zhǎng)為2百，

所以圓心（0,0）到x-v+c-1=0的距離為！無(wú)?=V（y/s）2—（A/3）2=

解得c=3或-1.

故答案為：3或-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

14.（5分）（2022春?西城區(qū)期末）設(shè)函數(shù)/（x）=詈，則/（1）=1

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】利用求導(dǎo)法則，先求出/（1），再求/（1）.

__1一：72支1-/711

【解答】解：f(I)

X

故答案為：1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.（5分）（2022秋?建甌市校級(jí)期中）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?AIBICIDI中，平面ABC與平面Ai。。

間的距離是今.

3

【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.

【專題】數(shù)形結(jié)合：向量法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】S

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AAi所成直線為7軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出平面A81c與平面A?GD間的距離.

【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8所在直線為x軸，A。所在直線為），軸，A4所成直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),Bi(1,0,I),C(1,1,0),D(0,1,0),Ai(0,0,I),Ci(I,I,1),

設(shè)平面的法向量為m=(x,y,z),

危=(1,0,1),AC=C\,1,0),DAr=(0,-1,1),DG=(1,0,1),

則p四=x+z=0,取A』則就=(i,?L?i),

\mAC=x+y=0

設(shè)平面41。。的法向量為?i=(a,b,c),

則占巧Li+c=。，取k],則建(i,

(n-DC1=a+c=0

Vm=n,平面ABC與平面AiCi。不重合,

???平面ABC〃平面AC]。,AD=(0,1,0),

TT

???平面ABC與平面Ai。。間的距離為d=嗎網(wǎng)=W=尊

|m|V33

故答案為：y.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面的距離、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

16.（5分）（2023秋?海安市校級(jí)期中）寫出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列如八的通項(xiàng)公式/=-〃（答

案不唯一）.

CD2〃"+i=a〃+tz”+2；②a〃+i

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解.

【答案】-〃（答案不唯一）.

【分析】由題意可得數(shù)列｛，，〃｝為等差數(shù)列，且為遞減數(shù)列，即可得解.

【解答】解：因?yàn)?%+1=4沖。"2,所以數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列，

因?yàn)槿缢詳?shù)列數(shù)列為遞減數(shù)列，

則可取an=-〃.

故答案為：-〃（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的定義，屬基礎(chǔ)題.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（2,-1）,且與直線/i：x+y-1=0垂直.

（1）求直線/的方程；

（2）設(shè)圓C與直線/相切，且圓心為直線”與直線/2：2x+『=0的交點(diǎn)，求圓C的方程.

【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】（1）直線/的方程為》-），-3=0；

（2）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A+1）2+（j-2）2=18.

【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，以及直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,-1）,即可求解；

（2）求出圓心坐標(biāo)，利用圓。與直線/相切，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答】解：（1）???直線/與直線A：x+），-1=0垂直，

???可設(shè)直線1的方程為x-肘〃，=0,

???直線/過(guò)點(diǎn)A（2,-1）,

.*.2-（-1）+/〃=0,解得in=-3,

??,直線/的方程為x-y-3=0；

（2）由此二/°，可得x=7,尸2，

???圓心為（-1,2）

???圓C與直線/相切，

???半徑「等于圓心到直線/的距離d=12-31=3企，

JM

，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+l）2+（y-2）2=此

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.

18.（12分）（2024?河?xùn)|區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列｛的｝是等比數(shù)列,其前〃項(xiàng)和為S”數(shù)列｛加｝是等差數(shù)列，

滿足。1=歷=3,1+42=2加，52+54=2（S3+43）.

（I）求數(shù)列｛。〃｝和｛阮｝的通項(xiàng)公式；

an,n=2/c—1

（蛇N"）,求￡忽i『q+i；

UH9fl一4N

（2

⑺）證明：關(guān)1^3^〈猛T

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解.

【答案】（I）如=3",加=2,;-1；（II）￡思1以。+1=（竺-g）W叫身.

216人。

【分析】（I）通過(guò)題目中給出條件先求出數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式，再求出｛兒｝的通項(xiàng)公式；（II）寫出

2公1%。+】的前幾項(xiàng)，尋找規(guī)律再進(jìn)行求和；

（III）驗(yàn)證〃=1時(shí)不等式成立，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

【解答】解：（I）由S2+S4=2（S3+43），得2s2+。3+。4=2S?+4〃3，即。4=3。3，

所以等比數(shù)列｛曲｝的公比為3,a〃=3〃，所以“2=9,

由1+42=2加，得〃3=5,

所以等差數(shù)列｛加｝的公差為2,bn=2n-I；

(II)由題意，得

￡4140+1=3X1+1X3+33X3+3X35+--+32rt-1X(2〃-1)+(2n-1)X32H+I,

=1X3+3X33+…+(2/2-1)X32M1+1X33+3X35+-+(2/Z-1)X32z,+1,

令S〃=1X3+3X33+…+(2〃-1)X321,

貝ij9s〃=33+3X35+…+(2n-1)X32W+I,

則5/?-9SH=3+2X33+-+2X32,rl-(2n-1)X32/,+l=3+2X27X(1-9/r，)4-(1-9)-(2/J-1)

32n+l,

化簡(jiǎn)得,Sn=(7-^;)-32w+,+i1,

432“

令刀尸IX33+3x35+…+(2n-1)X32n+1,

同理得，Tn=(7-^-)*32M+3+^,

432”

所以有，^CkCk+1=Sn+Tn=片一9?32e+磊

Z1OAU

(【II)證明：當(dāng)〃=1,不等式左側(cè)二笑^二朵，右側(cè)屋T=3左側(cè)V右側(cè)，

假設(shè)當(dāng)〃="LI(m22,/〃€Z)時(shí)，不等式成立，

要證〃=加時(shí)，不等式依然成立，

只需證,-I)+(2n+l)+(2〃+3)<3w+,4-(2*3)-3—(2〃?+1),

只需證，(4w3w,-1)4-(2〃+1)-r(2w+3)<(6/n+3-2m-3)3-(2w+l)4-⑵+3)=4m?3'"+

(2n+l)4-(2/2+3),

顯然該式成立，所以原不等式得證.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比、等差、差比數(shù)列相關(guān)性質(zhì)，并對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式進(jìn)行考查，具有一

定計(jì)算量，屬中檔題.

19.(12分)(2023秋?海陵區(qū)校級(jí)期中)已知A為拋物線C/=2p.r(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到拋物線C

的焦點(diǎn)F的距離為12,點(diǎn)4到y(tǒng)軸的距離為9.

(1)求〃的值；

(2)若斜率為1的直線/經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)R且與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn).求線段的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線.

【專題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】(1)6；

(2)24.

【分析】（1）由題意，根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合距離公式，即可求解；

（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式再進(jìn)行求解即可.

【解答】解：（1）不妨設(shè)A（X,），），

因?yàn)辄c(diǎn)4在拋物線上，

所以）？=2px（/?>0）,

因?yàn)辄c(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為12,點(diǎn)4到），軸的距離為9,

所以4尸=9+g=12,

解得p=6；

（2）由（I）知拋物線C：⑵，焦點(diǎn)尸（3,0）,

此時(shí)直線I的方程為y=x-3,

聯(lián)立｛，二丫?消去y并整理得』-18產(chǎn)9=0,

此時(shí)A=182-4X9>0,

不妨設(shè)MCxi,y\）,N（X2,_丫2）,

由韋達(dá)定理得M+.V2=18,

則|MM=|MF1+|NQ=XI+.V2+〃=18+6=24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.（12分）（2022?攀枝花模擬）已知函數(shù)/（x）=（/-〃?）/-1（〃ER）在（0,/（（）））處的切線平

行于x軸（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性：

（2）若關(guān)于1的不等式/（x）恒成立，求實(shí)數(shù)。的值.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維.

【答案】（1）函數(shù)/（%）的遞增區(qū)間為（-8,-2）,（0,+8）,遞減區(qū)間是（-2,0）.

（2）1.

【分析】（1）根據(jù)給定的條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出如再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間，

即可得出答案.

（2）由（1）中信息，將不等式等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)g（r）/>0,再利用導(dǎo)數(shù)探討g（/）

W0恒成立即可推理出答案.

【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=（f-〃?）/-1的定義域?yàn)镽,

求導(dǎo)得/(x)=(/+2A-〃?)ev>

依題意，f(0)=0,解得切=0,

此時(shí)/(0)=-1,

所以函數(shù)/(x)在(0,/(0))處的切線為y=-1,符合題意，

因此，6=0,f(x)=.1/-1,

f(x)=(./+2丫)P=x(尸2)

當(dāng)xV-2或x>0時(shí)，/(幻>0,

當(dāng)?2VxV0時(shí)，/(x)<0,

所以/(x)在(?8,-2),(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,0)上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間為(-8,-2),(0,+8),遞減區(qū)間是(-2,0).

(2)由(1)知，/(x)=AV-1,

不等式/(x)》ax+2alnx=a(x+2/〃x)Wx2--(x2^)W.P〃-1,

因此，Vx>0,不等式/(x)2ax+2a/〃x成立，

等價(jià)于Vx>0,不等式(//)W//-1成立,

令t=j?ex,x>0,

由(1)知函數(shù)r=7",在(o,+8)上單調(diào)遞增，vx>o,>0恒成立，

于是得M>0,不等式成立，即/+1W0對(duì)V/>0恒成立，

令g(f)=alnt-r+1,/>0,

求導(dǎo)得屋⑺號(hào)7,

當(dāng)aWO時(shí)，g(/)在(0,+8)上單調(diào)遞減，而g(1)=0,

所以當(dāng)0</<1時(shí)，g(/)>0,不符合題，

當(dāng)。>0時(shí)，當(dāng)OV/Va時(shí)，屋(/)>0,

當(dāng)/>1時(shí)，晨(/)<0,

則g(t)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(n+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)t=a時(shí)，g(1)mux=g(a)=abia-a+\,

從而有alna-a+1WO,

令h(x)=xlnx-x+1,x>0,

則/(x)=lnx,

當(dāng)OVxVl時(shí)，hr(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，h1(x)>0,

即力（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增，

則Vx>0,h（x）2〃（1）=0,

從而有。+120,

所以，aIna-a+1=（）,貝I」a=1,

所以實(shí)數(shù)。的值是1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、最值

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

21.（12分）（2024?房山區(qū)一模）如圖，在五面體A8COE尸中，四邊形ABCO是矩形，平面平面

ABCD,△AOE是正三角形，EF=2,AB=4,AD=2.

（I）求證：EF//AB：

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行.

【專題】數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；向量法；綜合法；立體幾何；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；

7

【分析】（I）由A8〃OC,證明平面COEE利用直線與平面平行的性質(zhì)定理，即可證明EF//

（II）取AO的中點(diǎn)O,連接￡O,得出￡OJ_平面48C。，過(guò)點(diǎn)。作交BC于點(diǎn)、M,得出

OM1.AD,建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，求出立面的法向昂:，可以法向量求二面角的余弦

值.

【解答】（I）證明：矩形A5CZ）中，/W〃OC,ABC平面CDEF,QCu平面CDEF,所以AB〃平面CDEF,

又因?yàn)?8u平面48尸E,平面AB尸EH平面CQEF=EF,所以Eb〃4B；

（II）解：取AO的中點(diǎn)O,連接EO,

因?yàn)闉檎切?，所以EO_LA。，

又因?yàn)槠矫鍭OEJ■平面ABCD,且平面ADEO平面ABCD=AD,EOu平面ADE,所以EO_L平面ABCD,

過(guò)點(diǎn)。作。M〃AB,交BC于點(diǎn)M,則OM_LA。，

分別以O(shè)A、OM、OE所在直線為％、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖所示：

因?yàn)镋尸=2,48=4,AD=2,所以O(shè)(0,0,0),B(1,4,0),C(-I,4,0),F(0,2,百),

則左=(-2,0,0),CF=(1,-2,V3),

/T

設(shè)平面8CF的法向量為藍(lán)=(x,)，，z),則｛>呼二°,即仁益；恁=0'解得戶①令z=L

則產(chǎn)多所以m=(0,1),

TTL

04Q+1

又平面BCO的一個(gè)法向量為??=(0,0,1),所以COSVTA,n>=IT,~-=

17nl1nlJ0+J+1X1/

由圖可知，二面角〃-8C■。是銳角，所以二面角的余弦值為一丁.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，也考查了二面角的大小計(jì)算問(wèn)題，是中檔題.

“2y2

22.(12分)(2023秋?濮陽(yáng)期中)己知橢圓氏—+—=的上頂點(diǎn)為8,左焦點(diǎn)為F,且從

產(chǎn)在直線x-.y+2=0上.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/與E交于P,Q兩點(diǎn)，且四邊形BPFQ為平行四邊形，求/的方程.

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢