2024-2025學(xué)年綿陽市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月考試卷

試卷.滿分150分，考試時間120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個是符合題目要

求的.

2-4i

z=------

1.史數(shù)1+i,則z虛部為（）.

A.3B.-3C.-3iD.-1

2.已知向量d=(L32),Z?=(2+2,-3),若&//B，貝I4=()

A1B.-1C.2D.-3

3.sin20cos40+cos20cos50的值是()

V3

ABcD.1

2-I-4

4.如圖，△AB'C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，若A'C'=2cm,且5》”「=3口/,則

△noC2

A.^-cmB.—cmC.5/3CITID.娓cm

22

5.設(shè)。是空間中的一個平面，/,〃7,〃是三條不同的直線，則下列說法對的是（）

A.若〃7UQ,〃ua,I_Lm,/_L〃，貝i"_La

B.若〃7ua,〃_La,/_L〃，則/〃m

C.若/〃m,in±a,〃_Lc則/_L〃

D.若///加，mHn，/_La,則〃_La

,2

6.在VA8C中，內(nèi)角A8,C所對的邊分別為。若cos8=l-2二，則VA8C一定是（）

2ac

A直角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

7.已知正六棱柱的所有棱長均為2,則該正六棱柱的外接球的體積為（）

A16兀16石?！?0小71n20兀

3333

8.在VA8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,。，4=60°,〃=1,其面積為G，則

a+b+c,、

-----------------=（）

sinA+sinB+sinC

“BMC.亞D.叵

332

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，

全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有錯選得0分.

9.已知函數(shù)〃x）=sin（2x+°）（|同＜外，若把函數(shù)/（外的圖象向右平移微個單位長度后得到的圖

象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（）

71

A'二§

B.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于點(diǎn),*o）對稱

兀7T

C.函數(shù)“X）在區(qū)間一展一五上單調(diào)遞減

D.函數(shù)/（“在-,y上有3個零點(diǎn)

10.如圖，某八角鏤空窗的邊框呈正八邊形.已知正八邊形A8a＞瓦6〃的邊長為2,P、。為正八邊

形內(nèi)的點(diǎn)（含邊界），戶0在而上的投影向量為2而，則下列結(jié)論正確的是（）

2

A-~Ai3AG=-2yf2B-ABAE=4

C.zl的最大值為2+2&D.麗?麗￡[-2夜,4+2&]

11.如圖，一個漏斗形狀幾何體上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐四棱錐

的四條側(cè)棱都相等，兩部分的高都是,，公共面48co是一個邊長為1的正方形，則()

2

B.直線與平面48CQ所成角的正切值為立

2

C.異面直線”與cq的夾角余弦值為如

3

D.存在一個球，使得該幾何體所有頂點(diǎn)都在球面上

三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.把答案直接填在答題卷中的橫線上.

1-i

12.若復(fù)數(shù)z滿足z=——，則|制二.

14-1

,兀、2(5兀、

13.已知cos—+a=-,則sin—+2a\=____.

J5(6)

k.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，

亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間一個小正方形組成).

類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的

一個較大的等邊三角形，設(shè)而=2血+〃/(2,//eR),若DF=2AF，則'=.

三、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17小題15分，第18J9小題17分，共7分.解答應(yīng)

3

寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

―I>—?'?—?1?-"?

15.已知向量q,6，且弓=4=1,不與。2的夾角為耳■，汾n/q+/,n=3ei-2e2

(1)求證：(21-

(2)若|向=同,求力的值;

16.如圖，在四棱錐P—A4C。中，Q4_L平面48C。，底面A8CO為正方形，E為線段A3的中點(diǎn),

(2)求點(diǎn)E到平面PBD的距離.

。＞0,|同＜g的部分圖像如圖所示.

2)

(2)若Vxf一；'￡，［/(切~一，4(工)一1?0恒成立，求/取值范圍.

18.VA8c的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為小〃，c,已知卜一J5Z?)COSA+QCOSC=0.

(1)求角A的大小：

(2)若。=2,b+c=\+超+R，求VA3C的面積；

(3)若VA8c銳角三角形，且外接圓直徑為2后，求角B取何值時，2”~+3,廠有最小值,并求

2b

4

出最小值.

19.如圖，在平面五邊形A5CDE中，AB=6BC=CD=[,Z.BCD=ZCDE=y,BE=?6

△ABE的面積為瓜.現(xiàn)將五邊形ABCDE沿BE向內(nèi)進(jìn)行翻折，得到四棱錐A-BCDE.

(1)求線段DE的長度；

(2)求四棱錐A-BCDE的體積的最大值；

(3)當(dāng)二面角4一8￡-。的大小為135°時，求直線AC與平面8COE所成的角的正切值.

2024.2025學(xué)年綿陽市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月考試卷

試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個是符合題目要

求的.

2-4i

z=-------

1.復(fù)數(shù)1+i,則z的虛部為().

A3B.-3C.-3iD.-1

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.

2-4i_(2-4i)(l-i)__2-6i

=-l-3i,

【詳解】I復(fù)數(shù)I+i-(l+i|(l-i)-2~

所以z的虛部為-3

故選：B.

2.已知向量及=(1,32),/；=(2+2,-3),若力萬,則丸=()

A.1B.-1C.2D.-3

5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)锧=。，32),5=(2+4-3)且出歷，

所以34(2+/l)=lx(-3),解得義二一1.

故選：B.

3.sin20cos40+cos20cos50的值是()

J311

A.—B.-C.——D.1

222

【答案】A

【解析】

【分析】由半角公式和兩角和的正弦公式計(jì)算即可.

【詳解】原式=sin20cos40+cos20sin40°=sin60°=—.

2

故選：A.

4.如圖，△44'C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，若4C'=2cm，且△HL2則

原圖形中AC邊上的高為()

/O?

I——cmB.—cmC.73cmD.#)cm

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由三角形面積公式求出夕。'的長，結(jié)合斜二測畫法可得原圖中3。的長.

【詳解】畫出平面直角坐標(biāo)系X。)，，在/軸上取OA=O'A'，即CA=C'A'，

在圖①中，過夕作*力〃)；軸，交/軸于/元在上軸上取00=0'。'，

6

過點(diǎn)。作。8〃），軸，并使03=20,。'，

連接A8,8C,則VA6C即為△A3'。原來的圖形，如圖②所示:

圖①圖②圖③

原圖形中，8。1.4。于點(diǎn)/）,

貝!B。為原圖形中AC邊上的高，且80=2877，

在直觀圖③中作B'E'_LAC于點(diǎn)￡,則△4B'C的面積S=-4C'xBE=BE=—，

△Ade22

在直角三角形夕E77中，BD=6BE=近,

2

所以BD=2B'D'=娓,

故原圖形中4c邊上的高為幾.

故選：D.

5.設(shè)a是空間中的一個平面，/,團(tuán),〃是三條不同的直線，則下列說法對的是（）

A.若〃?ua,〃ua,IA_m,IIn,則/_1_。

B.若〃？ua,〃_La,/_L〃，則/〃m

C.若///m,m±a,〃_L。則/_L〃

D若/〃m?mHn?ILa則〃_La

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對于A中，由“ua,〃ua,I±fn,lln,只有直線團(tuán)與"相交時，可得/_La,所以

A不正確；

對于B中，由mua,〃_L。，/1,7,則/與川平行、相交或異面，所以B錯誤：

對于C中，由〃/相，〃_La,則///〃，所以C錯誤；

7

對于D中，由"/〃?，/la,可得m_La,又因?yàn)椤?/〃，所以〃_La,所以D正確.

故選：D

6.在VABC中，內(nèi)角A及C所對的邊分別為a,"c,若cosB=l-2一，則VA8C一定是（）

2ac

A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】C

【解析】

【分析】利用余弦定理得到/十「2-2比=（），即可得到。=c,從而得解.

.222r2

【詳解】因?yàn)閏os3=l-O-,又由余弦定理得cosB="一+?一，

2aclac

2

所以］_幺，2+〈2—/,庫a?十c2_2ac=0，即（々?|=0,

2ac2acv'

所以〃二c,

所以VA3C為等腰三角形.

故選：C

7.已知正六棱柱的所有棱長均為2,則該正六棱柱的外接球的體積為（）

、16?？赥6召冗「20島62（）兀

3333

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)結(jié)合球的性質(zhì)得，其外接球的球心為上卜.面外接圓圓心連線中點(diǎn)，利用勾

股定理計(jì)算半徑，代入球的體積公式求解即可.

【詳解】如圖，設(shè)正六棱柱下底面的中心為。'，其外接球的圓心為點(diǎn)。,

貝!OO'=1，A/ABO'為等邊三角形，故AO=2,即為其外接球的半徑R,

8

所以H=AO=JAC/2+OC/26，

所以該正六棱柱的外接球的體積為士兀(逐了二3嶼

33

故選：C.

8.在VA8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,A=60。，b=l,其面積為百，則

a+b+c_

）

sinA+sinB+sinC

2602>/391

A.36

33

【答案】C

【解析】

【分析】由三角形面積公式得到c=4,由余弦定理得到a=J后，由正弦定理得

a+b+c_a2\/39

-----------------------=2Kri=------=--------.

sinA+sin8+sinC---------sinA3

【詳解】因?yàn)锳=60。，b=l,其面積為G，所以S=g權(quán)節(jié)由4=；1?53160。=有，所以c=4,

由余弦定理知，a2=Z?2+c2-2Z?ccos>4=l+16-2xlx4x^=13,所以a=JI5，

a+b+ca+b+c_Dax/132x/39

由正弦定理可得,sinA+sin5+sinCh+}sinAJ33

2R[a+）（）~2

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有錯選得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+0固,若把函數(shù)/(x)的圖象向右平移9個單位長度后得到的圖

象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則()

B.函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)一%。對稱

9

jrjr

c,函數(shù)在區(qū)間-5，-不上單調(diào)遞減

41乙

D.函數(shù)“X）在上有3個零點(diǎn)

【答案】BC

【解析】

【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，再結(jié)合條件求0,由此可得函數(shù)/（力的解析式，再由正弦型函

數(shù)的性質(zhì)，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】由已知可得/（x—1—sin2（x—§）+0=sin（2x—§兀+夕

因?yàn)楹瘮?shù)/（工一的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，

22

貝［一］■兀+8=￡Z,解得夕=§TI+E,Z￡Z,又|同＜1，

貝！4=—1時，（/）=--,

3

所以/，故A錯誤；

vJ，

?/吟.(2兀)

區(qū)為/--=sm--K--=sin(F)=0,

\)ID3)

jr

所以/（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)一5，0對稱，故B正確;

I3/

兀兀］,?！?71

L212J3［_32」

4n

且函數(shù)y=sinx在一§兀，一5單調(diào)遞減，

jrTT

所以函數(shù)/（x）在區(qū)間一萬，一五上單調(diào)遞減，故c正確;

令/（x）=sin2x-yj=0,即2工_5=E，（攵cZ）,

1()

Nk7t37r

解得X=：+不兀,AwZ,又,

62142」

27

姐k=l,x=_兀，左=2?二一亢共兩個零點(diǎn)，故D借誤;

36

故選：BC.

10.如圖，某八角鏤空窗的邊框呈正八邊形.已知正八邊形48CZ）瓦6”的邊長為2,尸、。為正八邊

形內(nèi)的點(diǎn)（含邊界），而在人￡上的投影向量為尢礪，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AI3AG--241B福?亞=4

C.%的最大值為2+2J5D.他而￡[20,4+2&]

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷AB選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的兒何意義可判斷CD

選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，正八邊形的內(nèi)角為（"2）x180=135。,易知”G_LA3,

8

荏.而二相（麗+網(wǎng)=而而+而M=|阿研cosl35=22x（一

=-20，A對；

對于B選項(xiàng)，連接A石、座，則A石為正八邊形外接圓的一條直徑，則AG_L6E，

AB

所以，而?荏=福?（而+屁）=麗？+南屈=2?+（）=4,B對;

II

對于C選項(xiàng)，如下圖所示:

設(shè)PC在A豆方向上的投影向量為麗，由圖形可知，

當(dāng)P、。分別在線段〃；、CO上時，丸取最大值，

且」的最大值為2|A"k°s45+|A@=4x2+？二c錯；

畫2

對于D選項(xiàng)，過點(diǎn)”、C分別作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)陽、N,如下圖所示:

蘭點(diǎn)P在線段用上時，|麗卜0§（福，麗）取最小值，

此時，麗.而=麗.麗=一|病1謝卜一2x血二一20,

當(dāng)點(diǎn)尸在線段CO上時，RA|cos（麗，麗）取最大值，

此時，麗.麗=麗.前二|麗口麗|=|同?。同+|網(wǎng)）=2x（2+&）=4+2及，

綜上所述，而?麗￡1一2a,4+20],D對

故選：ABD.

11.如圖，一個漏斗形狀的幾何體上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐夕-43CD,四棱錐

的四條側(cè)棱都相等，兩部分的高都是I，公共面A8CO是一個邊長為1的正方形，則（）

12

2

A.該幾何體的體積為一

3

B,直線PD與平面A8CO所成角的正切值為也

2

c.異面直線”與CG的夾角余弦值為邁

3

D,存在一個球，使得該幾何體所有頂點(diǎn)都在球面上

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A,根據(jù)長方體和棱錐的體積公式求解判斷，對于B,連接AC,8。交于。，連接尸。，

則可得ZPQO為直線與平面A3CD所成角，然后求解判斷,對于C,由于CG〃A%,則可得ZA.AP

的補(bǔ)角為異面直線4尸與CG的夾角，然后在中求解判斷，對于D,先求出長方體的外接球半徑,

然后判斷點(diǎn)尸是否在該球上即可.

【詳解】對于A,該幾何體的體積為lxlxL+J.xlxlx，=L+,=2,所以A正確，

232263

對于B,連接4c,8。交于。，連接P0,由題意可知四棱錐P-A3CO為正四棱錐，

AG

所以PO_L平面A8CO,

所以N/Y)O為直線尸短與平面48co所成角，

因?yàn)檎叫?8CO的邊長為1,所以O(shè)O='BO=Y2,

22

￡

P036

所以所以B正確，

DU722

~T

對于c,設(shè)因?yàn)镃G〃AA，所以NAAP或其補(bǔ)角為異面直線”與eq的夾角,

13

1~~2G9二河+4。：二^11邛，

PA=\IPO2+AO2=—I—=—，

442

136

Z+4"4_6

所以cos/A”=2AA?PA=rr^=_T

2x—x——

22

所以異面直線八戶與cG的夾角余弦俏為巫，所以c錯誤,

3

對于D,設(shè)長方體ABC。-44G2的外接球的球心為M,半徑為A,

(i1\1Q3

則M為。。的中點(diǎn)，(2/?)2=12+12+-=2+—=一，得/?=

⑶444

113

區(qū)為PM=PO+OM=—+—=-=R,

244

所以點(diǎn)尸長方體ABC。-A4GA的外接球上,

所以存在一個球，使得該幾何體所有頂點(diǎn)都在球面上，所以D正確.

故選：ABD

三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.把答案直接填在答題卷中的橫線上.

1-i

12.若復(fù)數(shù)z滿足z=——，則|制二.

14-1

【答案】1

【解析】

【分析】由條件根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求z,再求其共枕復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式求I*.

1-i(l-i)(l-i)=-2i.

【詳解】因?yàn)椤皫?/p>

(1+。。-i)-2

所以W=i，

所以|刃=1.

故答案為：1.

2則sin(2+2a

13.已知COSy+

165I6

【答案】q

14

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式求出答案.

5兀=噸+>24">2)c°s2(*C2兀.

【詳解】sinv2a=2cos~—+a-1

~6(6J

=2x|-

(5i-T

17

報(bào)答案為：一二

25

14.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，

亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間一個小正方形組成）.

類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的

一個較大的等邊三角形，設(shè)人力=2/5+/A3（4,,若DF=2AF，則!

【解析】

【分析】因?yàn)榇笕切问堑冗吶切危钥梢酝ㄟ^建系的方法進(jìn)行求解.

【詳解】不妨設(shè)從尸=1，則AO=3,如圖，由即可知乙4。8=年

(1

AB2=AD2BD2-2AD-BDcosZADB=9+\-2x3x]x一一

<2

15

得=所以AC=Ji?，所以C?,---,A(0,0).

,BDAB所以sin/B4O=叵，所以cosNB4O=MI

乂-----------=-----------

sin/BADsinZADB2626

所以。（A￡>8SNEARAQsinNBA。），即。

,AS=(V13,0),AC=—

［處叵=房1+巫〃

262

因?yàn)槿肆?/lA方+/M3,所以《

3739x/39

----二〃

26---2

9

2

13，所以4=3.

解得<

3

故答案為：3

匹、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共7分.解答應(yīng)

寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

―I>-?1??！觥?一?

15.已知向量q,6，且4=6=1，4與&的夾角為］,訪=/61+/，萬=3q—羽

（I）求證：（21一司_1_或

（2）若同=向，求2的值;

【答案】（1）證明見解析；

（2）-3或2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義得錄$=；,利用數(shù)量積的運(yùn)算律求得（2冢一0年=0,即可證明;

（2）利用數(shù)量枳模的運(yùn)算公式結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律列式，求得22+丸一6=0,解方程即可.

【小問1詳解】

因?yàn)閑}=\e2=l，c與1的夾角為

16

所以qe2=ete2=lxlxcosy=—,

所以(2q-e?),<=2cl?g-G=2x—I2=0>

2

所以(2q

【小問2詳解】

]i*r

由(1)知，el-e2=—,因?yàn)閝=勾=1,帆=同，

所以(/q+q)=(3弓一2.)，即/VeJ+22q.g+.2=9e：—I2q.&2+4e；,

22

于是有42x12+24x1+12=9xl-12xl+4xl=7,

22

BPA2+A-6=(A+3)(2-2)=0,解得/l=—3或4=2,所以4的值為一3或2.

16.如圖，在四棱錐P-ABCO中，Q4_L平面A8CD,底面ABC。為正方形，E為線段AB的中點(diǎn),

（2）求點(diǎn)￡到平面的距離.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面附C,結(jié)合線面垂直性質(zhì)定理推得線線垂直;

（2）設(shè)點(diǎn)4到平面夕以）的距離為小得點(diǎn)七到平面的距離為結(jié)合三棱錐等體積變換

2

匕-AW）=匕_"/）求得距離.

【小問1詳解】

17

證明：?.?抬_|_平面48。力，5Du平面ABCO，

又底面4BCD為正方形，/.8￡）_LAC,

又PAnAC=4,且PAACu平面RAC,

，3￡>J_平面PAC,

???尸Cu平面以C,.?.8O_LPC.

【小問2詳解】

???E為線段43的中點(diǎn)，

???若點(diǎn)A到平面PBD的距離為d,則點(diǎn)E到平面PBD的距離為4.

2

由題易知PB=PD=BD=V22+22=2>/2，

=92a2而￥=26

,-VP-ABD=VA-PBD^.-.|x(lx2x2)x2=1x2>/3xj,解得］二班.

3233

二?點(diǎn)E到平面PBD的距離為a=宜

23

17.函數(shù)/Q）=sin（s+e）8>0,阿<9的部分圖像如圖所示.

乙）

（1）求）（X）的解析式;

⑵若vxw，［/,（式）了一〃啖3_1?0恒成立，求加的取值范圍.

【答案】（1）/（x）=sin（2x+方

18

【解析】

【分析】(1)由圖象得周期關(guān)系從而求得/，將最值點(diǎn)代入可得。，從而求得解析式；

717T

(2)求出］￡時/(X)的值域，換元法轉(zhuǎn)化不等式為二次不等式產(chǎn)-根,TWO在區(qū)間

44

恒成立問題，由二次函數(shù)圖象性質(zhì)建立不等式組可得.

【小問1詳解】

由圖可得37=學(xué)一三，即3?0二=,解得。=2

?.?函數(shù)/(x)=sin(2x+0)過點(diǎn),

所以sin(2xE十夕=1,則￡+0=四+2也(攵EZ),

\12J62

解得。=T+2E(ZEZ),又|夕|<￡,則夕二四，

323

所以f(x)=sin(2x+1)；

【小問2詳解】

區(qū)為(，所以2x+gw一］*'貝T，1，

■I7\JU乙

G

令，=/(X)/~~J，

設(shè)g(f)=--〃〃-l,函數(shù)圖象開口向上，恒過定點(diǎn)(O,-1).

由題意，g(r)〈o恒成立，由二次函數(shù)的圖象性質(zhì)可知，

-+―/??-1<0

只需〈42

g(l)=-/?<()

解得OWm工2,故〃？的取值范圍為0,1

2

19

18.7ABe內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知(c-"7kosA+acosC=0.

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,〃+c=l+JJ+癡，求VA3C的面積；

(3)若VA3c為銳角三角形，且外接圓直徑為2a，求角內(nèi)取何值時，2〃,3。一有最小值,并求出

2b

最小值.

【答案】(1)-

4

(2)3+G

2

(3)y；2>/6

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦公式與內(nèi)角和定理可得；

(2)由己知結(jié)合余弦定理可得-后c=4,又由從+c，2=S+c)2—2兒與〃+C的值代入可得

"?=J^+3拒，再由三角形面積公式可得；

(3)由正弦定理得號=芻=2后，化邊為角化簡可得生凸！=X2(4sinB+工］,由銳角

sinAsinB2b2(sin7?J

三角形得8范圍，再利用基本不等式求最值可得.

【小問1詳解】

由(c-J^"cosA+acosC=0及正弦定理得：

(sinC-V2sin8kosA+sinXcosC=sinCeosA+sinAcosC->/2sin8cosA=0,

因sinCcosA+sin>4cosC=sin(A+C)=sin(7r-B)=sinB,

所以sinB(1一夜cosA)=(),X0</?<7t,sinZ?>0,

cosA=，又0<4<兀，故人=￡；

24

【小問2詳解】

由余弦定理白2=從+/一2/七8$4,

20

又。=2,A=a，所以從+—y/2bc=4,

所以S+c)2-(2+&)歷=4,

ib+c=l+>/3+顯可得be=巫+3>/2，

故VA8c的面積S=y/?c-sinA=+3y/2^x^-=:

【小問3詳解】

由正弦定理可知——=一乙=2A/2,

sinBsinA

故〃=20sin3,且。=2及sinA=2，

因?yàn)閂A8c是銳角三角形，

()</?<-

2

0<C<-，解得.vBv」,

所以，2

42

Tt

A=-

4

A+B+C=TI

22

印“2"+3/2x8sinB+124sinB+341(A.n3)

所以---------=-------產(chǎn)------=-j=---------=_4sinB+-------

2b2x2V2sinBV2sinB2(sinBj

令sin8=f,y=47+3,<Z<1>

由基本不等式可知j=4/+|>=4G,

蘭且僅當(dāng)/=立時，yn.n=4x/3,即絲最小值為走x4b=2^；

22b2

故當(dāng)8二;時，2從+3。一有最小值,最小值為2#.

32b

19.如圖，在平面五邊形A8CDE中，AB=4^,BC=CD=\,ZBCD=ZCDE=y,BE=273，

△ABE的面積為瓜.現(xiàn)將五邊形ABCDE沿BE向內(nèi)進(jìn)行翻折，得到四楂錐A—8COE

21

AA

(1)求線段的長度；

(2)求四棱錐A—8COE的體積的最大值；

(3)當(dāng)二面角A-/丸s-C的大小為135°時，求