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文檔簡介
專題1.3勾股定理的應(yīng)用【十二大題型】
【北師大版】
>題型梳理
【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑動問題】........................................................1
【題型2應(yīng)用勾股定理解決航海問題】...........................................................4
【胭型3應(yīng)用勾股定理解決超速問題】............................................................8
【題型4應(yīng)用勾股定理解決臺風(fēng)影響問題】.......................................................12
【題型5應(yīng)用勾股定理解決杯中筷子問題】.......................................................17
【題型6應(yīng)用勾股定理解決選址問題】...........................................................19
【題型7應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度問題】......................................................23
【題型8應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行問題】......................................................26
【題型9應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前高度問題】................................................29
【題型10應(yīng)用勾股定理解決河寬問題】..........................................................33
【題型11應(yīng)用勾股定理解決地毯長度問題1...............................................................................35
【題型12應(yīng)用勾股定理解決最短路徑問題】......................................................37
【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑動問題】
【例I】(23-24八年級.陜西西安期末)如圖,學(xué)校高17.6m的教學(xué)樓48上有一塊高5m的校訓(xùn)宣傳牌AC,
為美化環(huán)境,對校訓(xùn)牌4。進行維護.一輛高2.6m的JL程車在教學(xué)樓前點M處,伸長25m的玄相(云梯最長
25m)剛好接觸到AC的底部點力處.問工程車向教學(xué)樓方向行駛多少米,長25m的云梯剛好接觸到我的頂
部點C處?
BM
【答案】工程車再向教學(xué)樓方向行駛5米
【分析】本題主要考查了根據(jù)勾股定理解決實際問題.
過點。作。E1力8交88于點E,在AEO根據(jù)勾股定理求出E0的長,設(shè)。"=xm,則。上=(20-x)m,
在Rt△CEO,中根據(jù)勾股定理列方程求出”即可.
【詳解】過點。作。父4?于點£,
由題意得力E=AB-BE=17.6-2.6=15m,CE=AB+AC-BE=17.64-5-2.6=20m,
BM
在Rt△4E。中ED2=AD2-AE2=252-152=400,
:.ED=20,
設(shè)DD'=xm,則O'E=(20-x)m,
在RtACEZT中,
D'E2+CE2=CD'2,
/.(20-X)2+202=252,
解得%=5,
.?.工程車再向教學(xué)樓方向行駛5米,云梯剛好接觸到力C的頂部點C處.
【變式1-1](23-24八年級?陜西安康?期末)2023年8月18日,IVRC世界機器人大會在北京亦莊召開.某
科技公司展示了首款人形通用機器人”1.樂樂爸爸是機器人研發(fā)工程師,其中一次機器人均的跑步測試方
案如下:在滑梯上的樂樂從滑梯頂端Q處沿著方向滑下,同時機器人〃1從樂樂對面的4處句“處跑去,
恰好在點8處與樂樂相遇,并且機器人名的跑步速度與樂樂的下滑速度相同.已知滑梯的高度=3米,
滑梯底部與機器人名的出發(fā)點之間的距離AC=9米.請問,機器人/跑步多少米與樂樂相遇?
【答案】5米
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,設(shè)機器人名跑步x米與樂樂相遇,在RtABCO中,利用勾股定理構(gòu)建
關(guān)干x的方程求解即可.
【詳解】解:設(shè)機器人/跑步工米與樂樂相遇,則48=%米,8。=(9一%)米,
???機器人片的跑步速度與樂樂的二滑速度相同,
:.DB=AB=工米,
在RtABC。中,NC=90。,
:.BD2=BC2+CD2,
.?.^2=(9-x)2+32,
解得%=5,
,機器人Hi跑步5米與樂樂相遇.
【變式1-2](23-24八年級?安徽合肥?期中)如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻,一根竹竿斜靠在
左墻時,竹竿底端。到左墻角的距離。C為2米,頂端B距墻頂?shù)木嚯x48為1米,若保持竹竿底端位置不動,
將竹竿斜靠在右墻時,竹竿底端到右墻角的距離。尸為3米,頂端E距墻頂。的距離DE為2米,點4、B、C
在一條直線上,點。、E、F在一條直線上,AC1CF,DF1CF.求:
⑴墻的高度;
(2)竹竿的長度.
【答案】(1)4米
⑵質(zhì)米
【分析】本題主要考查勾股定理的實際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩種不同狀態(tài)竹竿長不變列等式及正確計算.
(1)設(shè)墻高x米,則8c=(%-1)米,EF=(x-2)米,在RtaBC。和RtAEF。中,根據(jù)勾股定理可列出關(guān)
于I的方程,再求解即可;
(2)把(1)中的x代入勾股定理即可得到答案.
【詳解】(1)解:設(shè)墻高.1米,貝|8。二(無一1)米,EF=(%—2)米,
在Rt△8C。中,BO2=BC2+CO2=(x-I)24-22,
在RtZkEFO中,E02=EF2+F02=(x-2)2+32,
由題意可知80=E0,
.a.(x-l)2+22=0-2)2+32,
解得:x=4,
答;墻的高度為4米;
【答案】我軍巡邏艇的航行速度是34海里/小時
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用;根據(jù)方向角的定義得到NMBC=60。,4ABM=30°,得出N4BC=90°,
在RtA/lBC中,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.
【詳解】解?:如圖所示,由題意得,
Z.HAB=90°-60°=30°,4MBe=90°-Z-EBC=60°,
vAH||BM,
???LABM=乙BAH=30°,
???乙ABC=Z.ABM+乙MBC=90°,
???巡邏艇沿直線追趕,半小時后在點C處追上走私船,
BC=16x0.5=8海里,
在Rta/IBC中,AABC=90°,48=15海里,BC=8海里,
:.AC=yjAB2+BC2=V152+82=17海里,
二我軍巡邏艇的航行速度是藍=34海里/小時.
答:我軍巡邏艇的航行速度是34海里/小時.
【變式2-1](23-24八年級?江蘇泰州?期中)??輛轎車從。地以103km/h的速度向正東方向行駛,同時?輛貨
車以75km/h速度從。地向正北方向行駛,2小時后兩車同時到達MN走向公路上的4B兩地.
(1)求A、8兩地的距離;
⑵若要從。地修建一條最短新路0C到達公路MN,求。。的距離.
【答案】⑴250km;
(2)120km.
【分析】本題考查了方位角、勾股定理的應(yīng)用等知識,解題的關(guān)鍵是:
(1)直接利用勾股定理求解即可;
(2)根據(jù)等面積法求解即可.
【詳解】(1)解:根據(jù)題意,得04=2x100=200km,OB=2x75=150km,Z-AOB=90°,
=\/OA2+OB2=V2002+1502=250km,
即48兩地的距離為250km;
(2)解:根據(jù)等面積法知:^OA-OB=\AB-0C,
即2x200x150=-x250OC,
22
:?0C=120,
即0C的距離?為120km
【變式2-2](23-24八年級?福建潦州?期中)漳州某港口停著輪船A和輪船用兩艘輪船同時從該港口出發(fā),
輪船4以每小時航行16海里的速度沿北偏東25。的方向航行,輪船B以每小時航行12海里的速度沿南偏東
65c的方向航行,半個小時之后,兩艘輪船相距多少海里?
【答案】半個小時之后,兩艘輪船相距10海里
【分析】設(shè)點。為港II所在位置,點4為半個小時之后輪船A所在的位置,點4為半個小時之后輪船3所在
的位置,分別求出。4。8的長,再求出乙4。8的度數(shù),在508中利用勾股定理求出48的長即可.
【詳解】解:如圖所示,設(shè)點。為港口所在位置,點A為半個小時之后輪船A所在的位置,點B為半個小時
之后輪船8所在的位置.
1=6,Z,AOB=180°-(25°+65°)=90°.
在Rt△AOB中,LAOB=90°,根據(jù)勾股定理得48=VO/42+OB2=V82+62=10
???半個小時之后,兩艘輪船相距10海里.
【點睛】問題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用,正確理解題意得到乙4。8=90。是解題的關(guān)鍵.
【變式2-3](23-24八年級?河南漠河?階段練習(xí))我國在防控新冠疫情上取得重大成績,但新冠疫情在國外
開始蔓延,為了防止境外輸入病例的增加,我國暫時停止了一切國際航班、水運.如圖,在我國沿海有一
艘不明國籍的輪船進入我國海域,我國海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔
截,6分鐘后同時到達。地將其攔截.已知甲巡邏艇每小時航行120海里,乙巡邏艇每小時航行50海里,
乙巡航艇的航向為北偏西?1°.
北
(1)求甲巡邏艇的航行方向(用含〃的式子表示)
(2)成功攔截后,甲、乙兩艘巡邏艇同時沿原方向返回且速度不變,3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海
里?
【答案】(1)(90°-n°);(2)6,5海里
【分析】(1)先用路程等于速度乘以時間計算出力C,BC的長,利用勾股定理的逆定理得出三角形48c為直
角三角形,再利用在直角三角形中兩銳角互余求解:
(2)分別求得甲、乙航行3分鐘的路程,然后由勾股定理來求甲乙的距離.
【詳解】解:⑴"=120x標(biāo)12(海里),
8c=50x2=5(海里),
又A8=13海里
2
所以心+Bf2=ABf
所以△力BC是直角三角形,
所以〃CB=90°
由已知得乙。8力=90。一"。,所以乙8/1。二九。,
所以甲的航向為北偏東(90。一〃。),
⑵甲巡邏船航行3分鐘的路程為12。x2=6(海里)
乙甲巡邏船航行3分鐘的路程為50=2.5(海里)
60
所以3分鐘后甲、乙兩艘巡邏船相距為:V62+2.52=6.5(海旦).
【點睛】此題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及運用,難度適中.利用勾股定理的
逆定理得出三角形/BC為直角三角形是解題的關(guān)鍵.
【題型3應(yīng)用勾股定理解決超速問題】
【例3】(23-24八年級.山東濟南.期末)如圖,A中學(xué)位于南北向公路/的一側(cè),門前有兩條長度均為100
米的小路通往公路/,與公路/交于A.C兩點,旦氏。相距120米.
4、t北
、、、、△
J/
(1)現(xiàn)在想修一條從公路/到A中學(xué)的新路710(點。在/上),使得學(xué)生從公路/走到學(xué)校路程最短,應(yīng)該
如何修路(請在圖中畫出)?新路4。長度是多少?
(2)為了行車安全,在公路/上的點8和點E處設(shè)置了一組區(qū)間測速裝置,其中點E在點8的北側(cè),且距A
中學(xué)170米.一輛車經(jīng)過8E區(qū)間用時5秒,若公路/限速為60km/h(約16.7m/s),請判斷該車是否超
速,并說明理由.
【答案】(1)見解析,80米
(2)超速,見解析?
【分析】(1)根據(jù)垂線段最短可畫出圖形,根據(jù)三線合一可求出BD=60,然后利用勾股定理可求出新路4。
長度;
(2)先根據(jù)勾股定理求出DE的長,再求出BE的長,然后計算出速度判斷即可.
【詳解】(1)過點A作力交/于點D.
4t北
J、
、、、\
、、、\
Ds-----
elVAB=AC,AD1/,BC=120
=1xl20=60,WB=9。。
在At△ABD中,4408=90。,
由勾股定理得心+BD2=AB2
???AB=100,BD=60,
???AD=80
新路AD長度是80米.
(2)該車超速
在RtA/lDE中,AADE=90°,
由勾股定理得+DE2=AE2
vAE=170,AD=80,
??.DE=V1702-802=150
:.BE=DE-DB=90
???該車經(jīng)過BE區(qū)間用時5s
???該車的速度為券=18m/s
v18m/s>16.7m/s
.,.該車超速.
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,勾股定理揭示了直角三角形三邊長之間的數(shù)量關(guān)系:直角三角形兩直
角邊的平方和等于斜邊的平方.當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形,且該直角三角形的一邊為待求量時,常使用勾
股定理進行求解.
【變式3-1](23-24八年級?寧夏銀川?期中)“中華人民共和國道珞交通管理條例”規(guī)定:小汽車在城街路上
行抗速度不得超過70千米/小時,如圖,一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛,某一時刻剛好行駛到路面
對車速檢測儀4正前方60米8處,過了5秒后,測得小汽車C與車速檢測儀力間距離為10()米,這輛小汽車
超速了嗎?
觀測第
【答案】這輛小汽車沒有超速
【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,根據(jù)勾股定理求出BC的長,直接求出小汽車的時速,進而比較得
出答案.
【詳解】解:在中,
???48=60米,AC=100*,且AC為斜邊,
BC=AB2=,100二602=8。米,
???80+5=16(米/秒)
16米/秒=57.6千米/小時,
???57.6<70,
??.這輛小汽車沒有超速.
【變式3-2](23-24八年級?山西朔州?期末)限速安全駕,文明靠大家,根據(jù)道路管理條例規(guī)定,在某段筆
直的公路L上行駛的車輛,限速6()千米/時,一觀測點”到公路L的距離MN為30米,現(xiàn)測得一輛汽車從
A點到4點所用時間為5秒,已知觀測點”到A,4兩點的距離分別為50米、34米,通過計算判斷此車是
否超速.
【答案】此車沒有超速
【分析】在RtAAMN中根據(jù)勾股定理求出AN,在RtABMN中根據(jù)勾股定理求出BN,由AN-NB求出AB
的長,根據(jù)路程除以時間得到速度,即可做出判斷.
【詳解】解:?.?在中,AM=50,MN=30,
AN=yjAM2-MN2=V502-302=40米,
?.?在中,BM=34,MN=30,
BN=?BM2-MN?=V342-302=16米,
AB=AN+NB=40+16=56(米),
汽車從A到B的平均速度為56e5=11.2(米/秒),
???11.2米/秒=40.32千米/時V60千米/時,
此車沒有超速.
【點晴】本題考核知識點:勾股定理的應(yīng)用.解題關(guān)鍵點:把問題轉(zhuǎn)化為在直.角二角形中的問題.
【變式3-3](23-24八年級?河南周口?期中)交通安全是社會關(guān)注的熱點問題,安全隱患主要是超速、超載、
不按規(guī)定行駛.某中學(xué)八年級數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)進行了測試汽車速度的實驗.如圖,先在筆直的公路/
旁選取一點P,在公路/上確定點0、B,使得P。!,,PO=100米,Z,PBO=45°.這時,一輛轎車在公路
/上由4向A勻速駛來,測得此車從8處行駛到人處所用的時間為3秒,并測得乙4PO=60。.此路段限速
每小時80千米,試判斷此車是否超速?請說明理由(參考數(shù)據(jù):V2?1.4,V3?1.7).
【答案】此車超速,理由見解析.
【分析】本題主要考查勾股定理與實際問題;根據(jù)P。11,PO=100米,(PBO=45°,可知山。的長,LAPO=
60%在RtaO/lP中,可求出。4的長,從而確定的長度,根據(jù)速度等于路程除以時間可以算出汽車的速
度,再與此路段限速每小時80千米比較,由此即可求解.
【詳解】此車超速.
理由:vZ,POB=90°,Z.PBO=45°,
???△P08是等腰直角三角形.
OB=0P=100米.
在Rt^O/P中,vLAP0=60%
:.£OAP=30°.
AP=2OP=200米.
由勾股定理得。力=>JAP2-OP2=V40000-10000=100百?170米,
AB=OA-OB=70米.
汽車的速度=70-3?23(米/秒)x83千米/小時〉80千米/小時.
【題型4應(yīng)用勾股定理解決臺風(fēng)影響問題】
【例4】(23-24八年級?重慶秀山?期末)第五號臺風(fēng)“杜蘇芮”的中心于2023年7月27FI下午位于福建省廈
門市境內(nèi),最大風(fēng)力有15級(50米/秒),中心最低氣壓為940百帕,臺風(fēng)中心沿北偏西(3C)方向以15km/h
的速度向。移動,4地在距離B地130km的正北方,已知A地到BC的距離4D=50km.
北
(1)臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從8點移到。點?
(2)如果在距臺風(fēng)中心45km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)破壞的危險,正在。點休閑的游客在接到臺風(fēng)警報
后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險?
【答案】⑴8小時
(2)5小時
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,路程、速度、時間之間的關(guān)系等知識,解答本題的關(guān)鍵是利用勾股定
理求出80的長度.
(1)根據(jù)勾股定理計算8。的長,再根據(jù)時間=路程+速度進行計算;
(2)根據(jù)在45km范圍內(nèi)都要受到影響,先求出從點8到受影響的距離與結(jié)束影響的距離,再根據(jù)時間=路
程:速度計算,然后求出時間段屏可.
【詳解】(1)在Rta/BD中,根據(jù)勾股定理,
得80=y/AB2-AD2=V1302-502=120(km),
???120+15=8(小時),
則臺風(fēng)中心經(jīng)過8小時從B移動到。點;
(2)如圖,設(shè)。E=45km
???距臺風(fēng)中心45km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到臺風(fēng)破壞的危險,
,人們要在臺風(fēng)中心到達E點之前撤離,
*:BE=BD-DE=120-45=75(km),
???75+15=5(小時),
答:游人在5小時內(nèi)撤離才可脫離危險.
【變式4-1](23-24八年級.四川成都.階段練習(xí))新冠疫情期間,為了提高人民群眾防疫意識,很多地方的
宣講車開起來了,大喇叭響起來了,宣傳橫幅掛起來了,電子屏亮起來了,電視、廣播、微信、短信齊上
陣,防疫標(biāo)語、宣傳金句頻出,這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅定決心.如圖,在?條筆直公路“可的?
側(cè)點A處有一村莊,村莊A到公路MN的距離A8為800米,若宣講車周圍1700米以內(nèi)能聽到廣播宣傳,宣
講車在公路MN上沿MN方向行駛.
MRN
(1)請問村莊A能否聽到宣傳?請說明理由;
(2)如果能聽到,已知宣講車的速度是200米/分鐘,那么村莊A總共能聽到多長時間的宣傳?
【答案】(1)村莊A能聽到宣傳,理由見解析:
(2)對莊A總共能聽到15分鐘的宣傳.
【分析】(1)直接比較村莊4到公路MN的距離和P廣播宣傳距離即可;
(2)過點A作力8J.MN于點B,利用勾股定理運算出廣播影響村莊的路程,再除以速度即可得到時間.
【詳解】(1)解:村莊能聽到宣傳,
理由:???村莊A到公路M/V的距離為800米<1700米,
???村莊A能聽到宣傳;
(2)解:如圖:過點人作48_LMN于點8,
MPBQN
假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點開始影響村莊,行駛Q點結(jié)束對村莊的影響,
則4P=AQ=1700米,AB=800米,
:.BP=BQ=V17002-8002=1500(米),
:?PQ=3000米,
???影響村莊的時間為:3000-200=15(分鐘),
.?.村莊4總共能聽到15分鐘的宣傳.
【點睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì),勾股定理,仔細審題獲取相關(guān)信息合理作出圖形是解題的關(guān)鍵.
【變式4-2](23-24八年級?云南文山?期末)如圖,經(jīng)過A村和8村的筆直公路,旁有一塊山地正在開發(fā),現(xiàn)
需要在C處進行爆破.已知C處與力村的距離為900米,C處與8村的距離為1200米,WAC1BC.
(1)求力、/?兩村的距離;
⑵為了安全起見,爆破點C周圍半徑750米范圍內(nèi)不得進入,在進行爆破時,公路48段是否有危險而需要
封鎖?請說明理由.
【答案】⑴1500米
(2)沒有危險不需要封鎖,理由見解析
【分析】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用、等面積法求線段長,根據(jù)題意,數(shù)形結(jié)合,利用勾股定理及等面枳
法求出線段長即可得到答案,熟練掌握勾股定理及等面積法是解決問題的關(guān)鍵.
(1)根據(jù)題意,數(shù)形結(jié)合,利用勾股定理求解即可得到答案;
(2)過點C作CD14B,如圖所示,利用等面積法求出CD=720,根據(jù)題意比較即可得到答案.
【詳解】(1)解:;C處與入村的距離為900米,C處與8村的距離為1200米,且AC1BC,
AB=>JAC2+BC2=V9002+12002=1500,
答:A.B兩村的距離為1500米;
(2)解:沒有危險不需要封鎖,
理由如下:
過點C作CDJ.48,如圖所示:
利用面積相等得到S—8C=BC=\AB?CD,即900x1200=1500CD,解得CD=笑靠。。=720,
?爆破點C周圍半徑750米范圍內(nèi)不得進入,720<750,
???在進行爆破時,公路/口段沒有危險不需要封鎖.
【變式4-3](23-24八年級?遼寧沈陽?階段練習(xí))如圖,有一輛環(huán)衛(wèi)車沿公路由點A向點8行駛,已知點
。為一所學(xué)校,且點。與直線4B上兩點A,8的距離分別為200m和150m,A8=250m,環(huán)衛(wèi)車周圍130m以
內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域.
(1)學(xué)校。會受噪聲影響嗎?為什么?
⑵若環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時間有2min,求環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為多少?
【答案】(1)學(xué)校C會受噪聲影響,理由見解析
(2)50m/min
【分析】(1)利用勾股定理的逆定理得舟△力8c是直角三角形,進而利用三角形面積得出CD的長,即可得出
結(jié)論;
(2)利用勾股定理得出ED以及E尸的長,即可解決問題.
【詳解】(1)解:學(xué)校C會受噪聲影響,理由如下:
如圖,過點C作。DL4B于。,
???y4C=200m,8c=150m,i48=250m,
-.AC2+BC2=AB2.
???△ABC是直角三角形,〃CB=90-
^ABC=^AC-BC=^CDAB,
'.ACBC=CDAB,
即200x150=250x0
?.?環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域,
學(xué)校C會受噪聲影響.
(2)解:如圖,當(dāng)EC=130m,?=130m時,正好影響C學(xué)校,
vED=\/£,C2-CD2=V1302-1202=5D(m),
.-.EF=2ED=100(m),
?.?環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時間有2min,
???環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為:100+2=50(m/min),
答:環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為50m/min.
【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形面積等知識,解
答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形,再利用勾股定理解答.
【題型5應(yīng)用勾股定理解決杯中筷子問題】
【例5】(23-24八年級.福建三明.期中)《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作,書中記載:今有開門去閘(門
檻)一尺,不合四寸,問門廣幾何?其大意:如圖,推開雙門(大小相同),雙門間隙CD=4寸,點C、
點D與門檻A8的距離CE=D"=1尺(1尺=10寸),。是EF的中點,連接CO.
(2)求門檻AB的長.
【答案】(1)2后
⑵52
【分析】(1)根據(jù)題意得到?!?。/=TEF=TCD=2,然后根據(jù)勾股定理求解即可;
(2)由題意可得4。=/。,設(shè)/£1二%,則/。=力。=無+2,利用勾股定理即可求解.
【詳解】(1)解:是E尸的中點
:.0E=OF=-EF=-CD=2
22
*:CE1OE
:.C0=\/CE2+OE2==IO2+2,=2V26;
(2)設(shè)AE=x,則4c=力。=%+2.
*:AE2+CE2=AC2,CE=DF=1尺=10寸
:.x2+102=(x+2)2
解得:無二24
??"8=24+24+4=52.
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,弄清題意,構(gòu)建直角三角形是解題關(guān)鍵.
【變式5-1](23-24八年級.天津河西?期中)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題.有一個水池,
水面是一個邊長為10尺(/8=10尺)的正方形,在水池正中央有一根蘆葦(點P是力8的中點),它高出
水面1尺(MP=1尺).如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點,它的頂端恰好到達池邊的水面(MN=BN),
求水的深度PN.
【答案】12尺
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,將實際問題轉(zhuǎn)化成勾股定理的問題是解題的關(guān)鍵.
根據(jù)題意可得1+PN=BN,然后內(nèi)△BPN中運用勾股定理列方程求解即可.
【詳解】解:?.?48=10,點P是A8的中點,
:,BP=5.
???MP=1,MP+PN=BN,
,1+PN=BN.
在RtZkBPN中,根據(jù)勾股定理可得:BN2=52+PN2.
二(1+PN)2=52+PN2,解得PN=12.
答:水的深度PN為12尺.
【變式5-2](23-24八年級?福建龍巖.期末)如圖,有一個長方形水池,它的長是4米,池中央長了一棵蘆葦,
露出水面1米,將蘆葦拽至池邊,它的頂端剛好與水面一樣平,求水有多深?蘆葦有多長?
【答案】水深1.5米,蘆葦?shù)拈L度是2.5米
【分析】找到題中的直角三角形,設(shè)水深為工米,根據(jù)勾股定理到出方程,解方程即可.
【詳解】解:設(shè)水深工米,則蘆葦有(%+1)米,
由勾股定理得:/+22=(%+1)2,
解得:x=1.5,
則:x+1=2.5(米),
答:水深1.5米,蘆葦?shù)拈L度是2.5米.
【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.
【變式5-3](23-24八年級?陜西西安?期末)如圖,一個直徑為12cm(即8C=12c〃?)的圓柱形杯子,在杯
子底面的正中間點E處豎直放一根筷子,筷子露出杯子外2c7〃(即/G=2c〃?)>當(dāng)筷子GE倒向杯壁時(筷
子底端不動),筷子頂端正好觸到杯。,求筷子G石的長度.
【答案】筷子GE的長度是lOc/n.
【分析】根據(jù)題意可得OK=GE,Er=GE-2,注RmDFE中,根據(jù)勾股定理列出方程,解方程即可求解.
【詳解】解:設(shè)筷子GE的長度是x<7〃,那么杯子的高度E尸是Lv-2)an,
:杯子的直徑為\2cin,
???杯子半徑DF為6cm,
在/?/△DFE中,(42)2+62=*,
即/-4x+4+36=V
解得:x=10,
答:筷子G£的長度是10cm.
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.
【題型6應(yīng)用勾股定理解決選址問題】
【例6】(23-24八年級?山東煙臺?期末)如圖,某工廠A到直線公路1的距離AB為3千米,與該公路上車
站D的距離為5千米,現(xiàn)要在公路邊上建一個物品中轉(zhuǎn)站C,使CA=CD,求物品中轉(zhuǎn)站與車站之間的距
離.
【答案】自千米
O
【分析】根據(jù)題意利用勾股定理易得BD長,設(shè)AC=CD=x,根據(jù)勾股定理列方程求解.
【詳解】解:由題意可得:AB=3,AD=5
???在RtAABD中,BD=y/AD2-AB2=V52-32=4
設(shè)AOCD二x,則BC=4-x
在RSABC中,32+(4-x)2=x2,解得:x=^
8
???物品中轉(zhuǎn)站與車站之間的距離CD的長為§千米
【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,解決本題的難點是構(gòu)造已知長度的線段所在的直角三角形,利用
勾股定理求解.
【變式6-11(23-24八年級?河南安陽?階段練習(xí))如圖鐵路上A,6兩點相距40千米,C,。為兩村莊,DALAB,
CBA.AB,垂足分別為A和8,04=24千米,C8=16千米.現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個煤?!?使得C,D
兩村到煤棧的距離相等,那么煤枝E應(yīng)距4點()
D
'、B
、
、、
、、
、、
、、
C
A.20千米B.16千米C.12千米D.無法確定
【答案】B
【分析】設(shè)AE=xkm,則跖=(40-x)km,利用勾股定理得到力。?+4產(chǎn)=8。+-2,則242+設(shè)=
(40-X)2+162,解方程即可.
【詳解】解:設(shè)AE=.rkm,貝ljBE=(40-x)km,
CB±AB,C,。兩村到煤棧的距離相等,
:,AD2+AE2=DE2,BE2+BC2=CE2,
:.AD2+AE2=^BE2+BC2,
/.242+X2=(40-x)2+162,
解得:x=16?
則煤棧上應(yīng)距4點16km.
故選:B.
【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,正確理解題意得到/1D2+AE2=8£2+8C2是解題的關(guān)鍵.
【變式6-2](23-24八年級.全國?單元測試)為了豐富少年兒童的業(yè)余生活,某社區(qū)要在如圖中的所在的
直線上建一圖書室,本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點C和點。處,&41AB于A,DB1AB于B.已知力B=
2.5km,CA=1.5km,DB=1.0km,試問:圖書室E應(yīng)該建在距點A多少km處,才能使它到兩所學(xué)校的距
離相等?
【答案】1.0km
【分析】設(shè)圖書室E應(yīng)建在距A點x千米處,才能使它到兩所學(xué)校的距離相等,則8E=(2.5-幻千米;由
勾股定理建立方程即可求解.
【詳解】解:設(shè)圖書室石應(yīng)建在距八點x千米處,才能使它到兩所學(xué)校的距離相等,
則BE=(2.5-乃千米;
':CALAB,DBLAB,
:,AE2+CA2=CE2,BE2+BD2=DE2,
':CE=DE,
:,AE2+CA2=BE2+BD2,
即7+1.52=(2.5-X)2+1Q2,
解得:x=1.0,
答:圖書室E應(yīng)建在距4點1.0千米處,才能使它到兩所學(xué)校的距離相等.
【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握勾股定理解直角三角形,建立方程解方程,是解決本題
的關(guān)鍵.
【變式6-3](23-24八年級.四川達州.階段練習(xí))如圖所示,4、6兩塊試驗田相距200m,C為水源地,AC
=160加,8c=120/〃,為了方便灌溉,現(xiàn)有兩種方案修筑水渠.
水源池
甲方案:從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、&
乙方案;過點。作的垂線,垂足為從先從水源地C修筑一條水渠到所在直線上的“處,再從〃分
別問人、8進行修筑.
(1)請判斷△ABC的形狀(要求寫出推理過程);
(2)兩種方案中,哪一種方案所修的水渠較短?請通過計算說明.
【答案】(1)aABC是直角三角形,理由見解析;(2)(2)甲方案所修的水渠較短:理由見解析
【分析】(1)由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形;
(2)由△ABC的面積求出CH,得出AC+BCVCH+AH+BH,即可得出結(jié)果.
【詳解】解:(1)△ABC是直角三角形;
理由如下:
AAC2+BC2=1602+12()2=40000,AB2=2002=40000,
AAC2+BC2=AB2,
...△ABC是直角三角形.NACR=90。:
(2)甲方案所修的水渠較短;
理由如下:
?「△ABC是直角三角形,
??.△ABC的面積=:AB?CH=[AC?BC,
?CTJ_4C?8C160X120、
..CH---------=-----------=96(zm),
AB200
VAC+BC=160+120=280(m),CH+AH+BH=CH+AB=96+200=296(m),
AAC+BC<CH+AH+BH,
???甲方案所修的水渠較短.
【點睛】本題考杳了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、三角形面積的計算;熟練掌握勾股定理,由勾股
定理的逆定理證出△ABC是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.
【題型7應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度問題】
【例7】(23-24八年級?四川巴中?期末)如圖,數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿的高度,發(fā)現(xiàn)將繩子拉直,繩子
末端落在點C處,此時點C到旗桿底部B的距離BC為6米,小明拉緊繩子的末端,將繩子的末端放在2米高的
觀賽臺上的點E處,測得此時點E到旗桿的水平距離E尸為8米,求旗桿AB的高度為多少米?
小明不完整的求解過程如下:
(1)設(shè)4B=%米,則力=_(用含%的代數(shù)式表示)
(2)請幫小明求出x的值.
【答案】(1)/一4%+68
(2)8米
【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用,
(1)用x表示處AF,在RtzxAEF中,根據(jù)勾股定理即可用含%的代數(shù)式表示力解;
(2)在中,用工的代數(shù)式表示處AC?,根據(jù)4C=AE,列方程即可解出心
能靈活運用勾股定理列代數(shù)式、列方程是解題的關(guān)鍵.
【詳解】(1)解:根據(jù)題意得:AB=x,BF=DE=2,AB1EF,
.\AF=x—2,
在RtA/lE尸中,EF=8,
:,AE2=AF2+EF2=(無一2)2+82=x2-4x+68,
故答案為:x2-4%+68;
(2)解:由題知:BF=2,BC=6,EF=BD=8,AC=AE,AB1BD,
設(shè)=則Ar=(x-2),
在RtMEF中,AE2=AF2+EF2,
在Rt/kHBC中,AC2=AB2+BC2,
:.AF2+EF2=AB2+BC2,
A(x-2)2+82=x2+62,
解得:x=8,
???旗桿力8的高度為8米.
【變式7-1](23-24八年級?廣東廣州?期末)學(xué)校操場邊有一根垂直于地面,的旗桿力氏一根無彈力、不能伸
縮的繩子m緊系于旗桿頂端力處(打結(jié)處忽略不計),小杰同學(xué)通過操作、測量發(fā)現(xiàn):如圖1,當(dāng)繩子m緊靠
在旗桿上拉緊到底端8后,還多出2米,即BC=2米;如圖2,當(dāng)離開旗桿底端8處6米后,繩子恰好拉直且
繩子末端。處恰好接觸地面,即3D=6米,求旗桿的高度.
Ci
圖1
【答案】8米
【分析】本題考杳了勾股定理.設(shè)旗桿4區(qū)=x米,則<£)=0+2)米,根據(jù)勾股定理列方程即可求出旗桿的
高度,熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解.:設(shè)旗桿718=”米,則40=(%+2)米,
根據(jù)勾股定理可得,AD2=AB2^BD2,
???(%+2)2=/+62,
解得%=8,
答:旗桿力8的高度為8米.
【變式7-2](23-24八年級.山東濟南.期末)太原的五一廣場視野開闊,是一處設(shè)計別致,造型美麗的廣場
園林,成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所,某校八年級(I)班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后,為
了測得圖中風(fēng)箏的高度CE,他們進行了如卜.操作:
①測得的長為15米(注:BDLCE};
②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線8C的長為25米;
③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米.
(1)求風(fēng)箏的高度CE.
(2)過點。作垂足為“,求8H的長度.
【答案】(I)風(fēng)箏的高度CE為21.7米
(2)BH的長度為9米
【分析】(1)在RtZkCDB中由勾股定理求得CO的長,再加上Z)E即可;
(2)利用等積法求出?!钡拈L,再在口△8”。中由勾股定理即可求得5H的長.
【詳解】(1)在RtZkCDB中,由勾股定理,得:
CD=y/C2-BD2=V252-152=20(米),
所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7(米),
答:風(fēng)箏的高度CE為21.7米.
(2)由等積法知:三BDxDC=”CxDH,
解得:DH=^-=12(米).
在RtZkBHD中,BH=y/BD2-DH2=9(米),
答:8H的長度為9米.
【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用,正確運用勾股定理是關(guān)鍵,注意計算準確.
【變式7-3](23-24八年級?陜西漢中?期末)如圖,一棵大樹4。兩側(cè)各有一條斜拉的繩子,大致如圖所示,
李明想用所學(xué)知識測量大樹從。的高度,他從工作人員處了解到繩子A4的長為13米,AC的長為20米,然
后用米尺測得8、。之間的距離為21米,已知氏。、。在一條直線上,AD1BC,求大樹的高AQ.
【答案】大樹的高為12米
222
【分析】設(shè)LD=x米,則CD=BC-BD=(21-x)米,利用勾股定理得到AD?=AB2一BD?,AD=AC-CD,
即可得到132-x2=202-(21-x)2,由此求解即可.
【詳解】解:設(shè)米,則(21-)米,
\'ADA.BC,
/.NADB=NADC=9。。,
在RAAB。中,AD2=AB2-BD2,
在RAAC。中,AD2=AC2-CD2,
:.AB2-BD2=AC2-CD2,
132—x2=202—(21—%)2,
解得%=5,
:.BD=5米,
:-AD=y/AB2-BD2=12米,
答:大樹的高為12米.
【點睛】本題主要考直了勾股定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵在于能帔熟練掌握勾股定理.
【題型8應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行問題】
【例8】(23-24八年級?新疆喀什?期中)如圖,一只小鳥旋停在空中4點,A點到地面的高度48=8米,A點、
到地面。點(8,C兩點處于同一水平面)的距離AC=10米.
(1)求出8C的長度;
(2)若小鳥豎直下降到達。點(。點在線段4B上),此時小鳥到地面C點的距離與下降的距離相同,求小鳥下
降的距離.
【答案】(1)6米
⑵小鳥下降的距離為與米
【分折】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用,熟練的掌握勾股定理足解題的關(guān)鍵.
(1)在直角三角形中運用勾股定理即可解答;
(2)在RtaBDC中,根據(jù)勾股定理即可解答.
【詳解】(1)由題意知NB=90。,
*:AB=8米,AC=10米.
在Rt△ABC^AB2+BC2=AC2
???BC=V102-82=6米,
(2)設(shè)力。=x,
???到達。點(。點在線段48上),此時小鳥到地面。點的距禽與下降的距離相同,AB=8
貝!CD=AD=xtBD=8-x,
在RtABOC中,DC2=BD2+BC2,
???x2=(8—x)2+62,
解得%=看,
4
???小鳥下降的距離為1米.
4
【變式8-1](23-24八年級?全國?課后作業(yè))如圖,飛機在空中水平飛行,某一時刻剛好飛到一男孩子頭頂
上方4000米處,過了20秒,飛機距離這個男孩頭頂5000米.飛機每小時飛行多少千米?
H-H-
【答案】l50m/s
【分析】先由勾股定理求得BC的長,即可根據(jù)路程、速度、時間的關(guān)系求得結(jié)果.
【詳解】如圖,
由題意得,AC=4000米,ZC=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=V5而環(huán)FUU7=3000(米),
所以飛機飛行的速度為貴=540(千米/小時)
3600
【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用.
【變式8-2](23-24八年級.河南周口.期中)如圖,在校園內(nèi)有兩棵樹相距12米,一棵樹高14米,另一棵
樹高9米,一只小鳥從一-棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端,小鳥至少要飛多少米?
【答案】13
【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短''可知:小鳥沿著兩棵樹的頂端進行直線飛行,所行的路程最短,運用勾股
定理可將兩點之間的距離求出.
【詳解】解:如圖所示,AB,C。為樹,且48=14米,CO=9米,8。為兩樹距離12米,
過C作CE_LA8于£,
則CE=BD=\2,AE=AB-CD=5,
在直角三角形AKC中,
AC=\/AE2+CE2=y/52+122=13.
答:小鳥至少要飛13米.
故答案為:13.
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是從實際問題中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識,然后利用直
角三角形的性質(zhì)解題.
【變式8-3](23-24八年級?江蘇泰州?期中)11世紀的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”問題:小溪邊
長著兩棵棕桐樹,恰好隔岸相望一棵棕桐樹而是30肘尺(肘尺是古代的長度單位),另外一棵面20肘尺;兩
棵棕梅樹的樹干間的距離是50肘尺.每棵樹的樹頂上都停著一只鳥.忽然,兩只鳥同時看見棕植樹間的水面
上游出一條魚,它們立刻以相同的速度飛去抓飽,并且同時到達目標(biāo).問:這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕桶
樹的樹根有多遠?
【答案】20.
【詳解】解:如圖,由題意得:AB=20,0030,3c=50,設(shè)EC為x肘尺,HE為(50-x)肘尺,
在RdABE中,AE2=AB24-BE2=202+(50-%)2,
在由ZkOEC中,DE2=DC2+EC2=302^X2,
又?:AE=DE,Ax2+302=(50-x)2+202,
解得:x=20,
答:這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕檎樹的樹根20肘尺.
【題型9應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前高度問題】
【例9】(23-24八年級.四川資陽期末)如圖,在傾斜角為4S。(即NNMP=45。)的山坡MN上有一棵樹43,
由于大風(fēng),該樹從點£處折斷,其樹頂B恰好落在另?棵樹的根部。處,已知力E=lm,AC=718m.
(I)求這兩棵樹的水平距離CF;
(2)求樹力5的高度.
【答案】(l)3m
(2)6m
【分析】(1)根據(jù)平行的性質(zhì),證得力尸=。凡根據(jù)勾股定理即可求得.
(2)在RtACE尸中,根據(jù)勾股定理即可解得.
【詳解】(1)由題可知MPICF,ZF=90°
:./.ACF=乙NMP=45。,
:.AF=CF
在Rt△力CF中,
CF2+AF2=AC2,
?,?2C戶=18,
*'?AF=CF=3(m).
即這兩棵樹的水平距離為3m.
(2)在RCACEF中,
CE2=CF2+EF2
:.CE=V32+42=5,
:,AB=AE+CE=5+1=6(m).
即樹A8的高度為6m.
【點睛】此題考查了勾股定理,解題的關(guān)鍵是熟悉勾股定理的實際應(yīng)用.
【變式9-1](23-24八年級?吉林長春?期末)如圖,一木桿原來垂直于地面,在離地某處斷裂,木桿頂部落
在離木桿底部5米(即AC=5)處,己知木桿原長為25米.
(1)求木桿斷裂處離地面(即AB的長)多少米?
(2)求仆ABC的面積.
【答案】(1)木桿斷裂處離地面12米;(2)30平方米.
【分析】(1)設(shè)木桿斷裂處離地面工米,由題意根據(jù)勾股定理得-+52=
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