2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊專題13 勾股定理的應(yīng)用【十二大題型】(舉一反三)(北師大版)(解析版)_第1頁
2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊專題13 勾股定理的應(yīng)用【十二大題型】(舉一反三)(北師大版)(解析版)_第2頁
2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊專題13 勾股定理的應(yīng)用【十二大題型】(舉一反三)(北師大版)(解析版)_第3頁
2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊專題13 勾股定理的應(yīng)用【十二大題型】(舉一反三)(北師大版)(解析版)_第4頁
2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊專題13 勾股定理的應(yīng)用【十二大題型】(舉一反三)(北師大版)(解析版)_第5頁
已閱讀5頁,還剩35頁未讀, 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)

文檔簡介

專題1.3勾股定理的應(yīng)用【十二大題型】

【北師大版】

>題型梳理

【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑動問題】........................................................1

【題型2應(yīng)用勾股定理解決航海問題】...........................................................4

【胭型3應(yīng)用勾股定理解決超速問題】............................................................8

【題型4應(yīng)用勾股定理解決臺風(fēng)影響問題】.......................................................12

【題型5應(yīng)用勾股定理解決杯中筷子問題】.......................................................17

【題型6應(yīng)用勾股定理解決選址問題】...........................................................19

【題型7應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度問題】......................................................23

【題型8應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行問題】......................................................26

【題型9應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前高度問題】................................................29

【題型10應(yīng)用勾股定理解決河寬問題】..........................................................33

【題型11應(yīng)用勾股定理解決地毯長度問題1...............................................................................35

【題型12應(yīng)用勾股定理解決最短路徑問題】......................................................37

【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑動問題】

【例I】(23-24八年級.陜西西安期末)如圖,學(xué)校高17.6m的教學(xué)樓48上有一塊高5m的校訓(xùn)宣傳牌AC,

為美化環(huán)境,對校訓(xùn)牌4。進行維護.一輛高2.6m的JL程車在教學(xué)樓前點M處,伸長25m的玄相(云梯最長

25m)剛好接觸到AC的底部點力處.問工程車向教學(xué)樓方向行駛多少米,長25m的云梯剛好接觸到我的頂

部點C處?

BM

【答案】工程車再向教學(xué)樓方向行駛5米

【分析】本題主要考查了根據(jù)勾股定理解決實際問題.

過點。作。E1力8交88于點E,在AEO根據(jù)勾股定理求出E0的長,設(shè)。"=xm,則。上=(20-x)m,

在Rt△CEO,中根據(jù)勾股定理列方程求出”即可.

【詳解】過點。作。父4?于點£,

由題意得力E=AB-BE=17.6-2.6=15m,CE=AB+AC-BE=17.64-5-2.6=20m,

BM

在Rt△4E。中ED2=AD2-AE2=252-152=400,

:.ED=20,

設(shè)DD'=xm,則O'E=(20-x)m,

在RtACEZT中,

D'E2+CE2=CD'2,

/.(20-X)2+202=252,

解得%=5,

.?.工程車再向教學(xué)樓方向行駛5米,云梯剛好接觸到力C的頂部點C處.

【變式1-1](23-24八年級?陜西安康?期末)2023年8月18日,IVRC世界機器人大會在北京亦莊召開.某

科技公司展示了首款人形通用機器人”1.樂樂爸爸是機器人研發(fā)工程師,其中一次機器人均的跑步測試方

案如下:在滑梯上的樂樂從滑梯頂端Q處沿著方向滑下,同時機器人〃1從樂樂對面的4處句“處跑去,

恰好在點8處與樂樂相遇,并且機器人名的跑步速度與樂樂的下滑速度相同.已知滑梯的高度=3米,

滑梯底部與機器人名的出發(fā)點之間的距離AC=9米.請問,機器人/跑步多少米與樂樂相遇?

【答案】5米

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,設(shè)機器人名跑步x米與樂樂相遇,在RtABCO中,利用勾股定理構(gòu)建

關(guān)干x的方程求解即可.

【詳解】解:設(shè)機器人/跑步工米與樂樂相遇,則48=%米,8。=(9一%)米,

???機器人片的跑步速度與樂樂的二滑速度相同,

:.DB=AB=工米,

在RtABC。中,NC=90。,

:.BD2=BC2+CD2,

.?.^2=(9-x)2+32,

解得%=5,

,機器人Hi跑步5米與樂樂相遇.

【變式1-2](23-24八年級?安徽合肥?期中)如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻,一根竹竿斜靠在

左墻時,竹竿底端。到左墻角的距離。C為2米,頂端B距墻頂?shù)木嚯x48為1米,若保持竹竿底端位置不動,

將竹竿斜靠在右墻時,竹竿底端到右墻角的距離。尸為3米,頂端E距墻頂。的距離DE為2米,點4、B、C

在一條直線上,點。、E、F在一條直線上,AC1CF,DF1CF.求:

⑴墻的高度;

(2)竹竿的長度.

【答案】(1)4米

⑵質(zhì)米

【分析】本題主要考查勾股定理的實際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩種不同狀態(tài)竹竿長不變列等式及正確計算.

(1)設(shè)墻高x米,則8c=(%-1)米,EF=(x-2)米,在RtaBC。和RtAEF。中,根據(jù)勾股定理可列出關(guān)

于I的方程,再求解即可;

(2)把(1)中的x代入勾股定理即可得到答案.

【詳解】(1)解:設(shè)墻高.1米,貝|8。二(無一1)米,EF=(%—2)米,

在Rt△8C。中,BO2=BC2+CO2=(x-I)24-22,

在RtZkEFO中,E02=EF2+F02=(x-2)2+32,

由題意可知80=E0,

.a.(x-l)2+22=0-2)2+32,

解得:x=4,

答;墻的高度為4米;

【答案】我軍巡邏艇的航行速度是34海里/小時

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用;根據(jù)方向角的定義得到NMBC=60。,4ABM=30°,得出N4BC=90°,

在RtA/lBC中,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解?:如圖所示,由題意得,

Z.HAB=90°-60°=30°,4MBe=90°-Z-EBC=60°,

vAH||BM,

???LABM=乙BAH=30°,

???乙ABC=Z.ABM+乙MBC=90°,

???巡邏艇沿直線追趕,半小時后在點C處追上走私船,

BC=16x0.5=8海里,

在Rta/IBC中,AABC=90°,48=15海里,BC=8海里,

:.AC=yjAB2+BC2=V152+82=17海里,

二我軍巡邏艇的航行速度是藍=34海里/小時.

答:我軍巡邏艇的航行速度是34海里/小時.

【變式2-1](23-24八年級?江蘇泰州?期中)??輛轎車從。地以103km/h的速度向正東方向行駛,同時?輛貨

車以75km/h速度從。地向正北方向行駛,2小時后兩車同時到達MN走向公路上的4B兩地.

(1)求A、8兩地的距離;

⑵若要從。地修建一條最短新路0C到達公路MN,求。。的距離.

【答案】⑴250km;

(2)120km.

【分析】本題考查了方位角、勾股定理的應(yīng)用等知識,解題的關(guān)鍵是:

(1)直接利用勾股定理求解即可;

(2)根據(jù)等面積法求解即可.

【詳解】(1)解:根據(jù)題意,得04=2x100=200km,OB=2x75=150km,Z-AOB=90°,

=\/OA2+OB2=V2002+1502=250km,

即48兩地的距離為250km;

(2)解:根據(jù)等面積法知:^OA-OB=\AB-0C,

即2x200x150=-x250OC,

22

:?0C=120,

即0C的距離?為120km

【變式2-2](23-24八年級?福建潦州?期中)漳州某港口停著輪船A和輪船用兩艘輪船同時從該港口出發(fā),

輪船4以每小時航行16海里的速度沿北偏東25。的方向航行,輪船B以每小時航行12海里的速度沿南偏東

65c的方向航行,半個小時之后,兩艘輪船相距多少海里?

【答案】半個小時之后,兩艘輪船相距10海里

【分析】設(shè)點。為港II所在位置,點4為半個小時之后輪船A所在的位置,點4為半個小時之后輪船3所在

的位置,分別求出。4。8的長,再求出乙4。8的度數(shù),在508中利用勾股定理求出48的長即可.

【詳解】解:如圖所示,設(shè)點。為港口所在位置,點A為半個小時之后輪船A所在的位置,點B為半個小時

之后輪船8所在的位置.

1=6,Z,AOB=180°-(25°+65°)=90°.

在Rt△AOB中,LAOB=90°,根據(jù)勾股定理得48=VO/42+OB2=V82+62=10

???半個小時之后,兩艘輪船相距10海里.

【點睛】問題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用,正確理解題意得到乙4。8=90。是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](23-24八年級?河南漠河?階段練習(xí))我國在防控新冠疫情上取得重大成績,但新冠疫情在國外

開始蔓延,為了防止境外輸入病例的增加,我國暫時停止了一切國際航班、水運.如圖,在我國沿海有一

艘不明國籍的輪船進入我國海域,我國海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔

截,6分鐘后同時到達。地將其攔截.已知甲巡邏艇每小時航行120海里,乙巡邏艇每小時航行50海里,

乙巡航艇的航向為北偏西?1°.

(1)求甲巡邏艇的航行方向(用含〃的式子表示)

(2)成功攔截后,甲、乙兩艘巡邏艇同時沿原方向返回且速度不變,3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海

里?

【答案】(1)(90°-n°);(2)6,5海里

【分析】(1)先用路程等于速度乘以時間計算出力C,BC的長,利用勾股定理的逆定理得出三角形48c為直

角三角形,再利用在直角三角形中兩銳角互余求解:

(2)分別求得甲、乙航行3分鐘的路程,然后由勾股定理來求甲乙的距離.

【詳解】解:⑴"=120x標(biāo)12(海里),

8c=50x2=5(海里),

又A8=13海里

2

所以心+Bf2=ABf

所以△力BC是直角三角形,

所以〃CB=90°

由已知得乙。8力=90。一"。,所以乙8/1。二九。,

所以甲的航向為北偏東(90。一〃。),

⑵甲巡邏船航行3分鐘的路程為12。x2=6(海里)

乙甲巡邏船航行3分鐘的路程為50=2.5(海里)

60

所以3分鐘后甲、乙兩艘巡邏船相距為:V62+2.52=6.5(海旦).

【點睛】此題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及運用,難度適中.利用勾股定理的

逆定理得出三角形/BC為直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【題型3應(yīng)用勾股定理解決超速問題】

【例3】(23-24八年級.山東濟南.期末)如圖,A中學(xué)位于南北向公路/的一側(cè),門前有兩條長度均為100

米的小路通往公路/,與公路/交于A.C兩點,旦氏。相距120米.

4、t北

、、、、△

J/

(1)現(xiàn)在想修一條從公路/到A中學(xué)的新路710(點。在/上),使得學(xué)生從公路/走到學(xué)校路程最短,應(yīng)該

如何修路(請在圖中畫出)?新路4。長度是多少?

(2)為了行車安全,在公路/上的點8和點E處設(shè)置了一組區(qū)間測速裝置,其中點E在點8的北側(cè),且距A

中學(xué)170米.一輛車經(jīng)過8E區(qū)間用時5秒,若公路/限速為60km/h(約16.7m/s),請判斷該車是否超

速,并說明理由.

【答案】(1)見解析,80米

(2)超速,見解析?

【分析】(1)根據(jù)垂線段最短可畫出圖形,根據(jù)三線合一可求出BD=60,然后利用勾股定理可求出新路4。

長度;

(2)先根據(jù)勾股定理求出DE的長,再求出BE的長,然后計算出速度判斷即可.

【詳解】(1)過點A作力交/于點D.

4t北

J、

、、、\

、、、\

Ds-----

elVAB=AC,AD1/,BC=120

=1xl20=60,WB=9。。

在At△ABD中,4408=90。,

由勾股定理得心+BD2=AB2

???AB=100,BD=60,

???AD=80

新路AD長度是80米.

(2)該車超速

在RtA/lDE中,AADE=90°,

由勾股定理得+DE2=AE2

vAE=170,AD=80,

??.DE=V1702-802=150

:.BE=DE-DB=90

???該車經(jīng)過BE區(qū)間用時5s

???該車的速度為券=18m/s

v18m/s>16.7m/s

.,.該車超速.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,勾股定理揭示了直角三角形三邊長之間的數(shù)量關(guān)系:直角三角形兩直

角邊的平方和等于斜邊的平方.當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形,且該直角三角形的一邊為待求量時,常使用勾

股定理進行求解.

【變式3-1](23-24八年級?寧夏銀川?期中)“中華人民共和國道珞交通管理條例”規(guī)定:小汽車在城街路上

行抗速度不得超過70千米/小時,如圖,一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛,某一時刻剛好行駛到路面

對車速檢測儀4正前方60米8處,過了5秒后,測得小汽車C與車速檢測儀力間距離為10()米,這輛小汽車

超速了嗎?

觀測第

【答案】這輛小汽車沒有超速

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,根據(jù)勾股定理求出BC的長,直接求出小汽車的時速,進而比較得

出答案.

【詳解】解:在中,

???48=60米,AC=100*,且AC為斜邊,

BC=AB2=,100二602=8。米,

???80+5=16(米/秒)

16米/秒=57.6千米/小時,

???57.6<70,

??.這輛小汽車沒有超速.

【變式3-2](23-24八年級?山西朔州?期末)限速安全駕,文明靠大家,根據(jù)道路管理條例規(guī)定,在某段筆

直的公路L上行駛的車輛,限速6()千米/時,一觀測點”到公路L的距離MN為30米,現(xiàn)測得一輛汽車從

A點到4點所用時間為5秒,已知觀測點”到A,4兩點的距離分別為50米、34米,通過計算判斷此車是

否超速.

【答案】此車沒有超速

【分析】在RtAAMN中根據(jù)勾股定理求出AN,在RtABMN中根據(jù)勾股定理求出BN,由AN-NB求出AB

的長,根據(jù)路程除以時間得到速度,即可做出判斷.

【詳解】解:?.?在中,AM=50,MN=30,

AN=yjAM2-MN2=V502-302=40米,

?.?在中,BM=34,MN=30,

BN=?BM2-MN?=V342-302=16米,

AB=AN+NB=40+16=56(米),

汽車從A到B的平均速度為56e5=11.2(米/秒),

???11.2米/秒=40.32千米/時V60千米/時,

此車沒有超速.

【點晴】本題考核知識點:勾股定理的應(yīng)用.解題關(guān)鍵點:把問題轉(zhuǎn)化為在直.角二角形中的問題.

【變式3-3](23-24八年級?河南周口?期中)交通安全是社會關(guān)注的熱點問題,安全隱患主要是超速、超載、

不按規(guī)定行駛.某中學(xué)八年級數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)進行了測試汽車速度的實驗.如圖,先在筆直的公路/

旁選取一點P,在公路/上確定點0、B,使得P。!,,PO=100米,Z,PBO=45°.這時,一輛轎車在公路

/上由4向A勻速駛來,測得此車從8處行駛到人處所用的時間為3秒,并測得乙4PO=60。.此路段限速

每小時80千米,試判斷此車是否超速?請說明理由(參考數(shù)據(jù):V2?1.4,V3?1.7).

【答案】此車超速,理由見解析.

【分析】本題主要考查勾股定理與實際問題;根據(jù)P。11,PO=100米,(PBO=45°,可知山。的長,LAPO=

60%在RtaO/lP中,可求出。4的長,從而確定的長度,根據(jù)速度等于路程除以時間可以算出汽車的速

度,再與此路段限速每小時80千米比較,由此即可求解.

【詳解】此車超速.

理由:vZ,POB=90°,Z.PBO=45°,

???△P08是等腰直角三角形.

OB=0P=100米.

在Rt^O/P中,vLAP0=60%

:.£OAP=30°.

AP=2OP=200米.

由勾股定理得。力=>JAP2-OP2=V40000-10000=100百?170米,

AB=OA-OB=70米.

汽車的速度=70-3?23(米/秒)x83千米/小時〉80千米/小時.

【題型4應(yīng)用勾股定理解決臺風(fēng)影響問題】

【例4】(23-24八年級?重慶秀山?期末)第五號臺風(fēng)“杜蘇芮”的中心于2023年7月27FI下午位于福建省廈

門市境內(nèi),最大風(fēng)力有15級(50米/秒),中心最低氣壓為940百帕,臺風(fēng)中心沿北偏西(3C)方向以15km/h

的速度向。移動,4地在距離B地130km的正北方,已知A地到BC的距離4D=50km.

(1)臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從8點移到。點?

(2)如果在距臺風(fēng)中心45km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)破壞的危險,正在。點休閑的游客在接到臺風(fēng)警報

后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險?

【答案】⑴8小時

(2)5小時

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,路程、速度、時間之間的關(guān)系等知識,解答本題的關(guān)鍵是利用勾股定

理求出80的長度.

(1)根據(jù)勾股定理計算8。的長,再根據(jù)時間=路程+速度進行計算;

(2)根據(jù)在45km范圍內(nèi)都要受到影響,先求出從點8到受影響的距離與結(jié)束影響的距離,再根據(jù)時間=路

程:速度計算,然后求出時間段屏可.

【詳解】(1)在Rta/BD中,根據(jù)勾股定理,

得80=y/AB2-AD2=V1302-502=120(km),

???120+15=8(小時),

則臺風(fēng)中心經(jīng)過8小時從B移動到。點;

(2)如圖,設(shè)。E=45km

???距臺風(fēng)中心45km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到臺風(fēng)破壞的危險,

,人們要在臺風(fēng)中心到達E點之前撤離,

*:BE=BD-DE=120-45=75(km),

???75+15=5(小時),

答:游人在5小時內(nèi)撤離才可脫離危險.

【變式4-1](23-24八年級.四川成都.階段練習(xí))新冠疫情期間,為了提高人民群眾防疫意識,很多地方的

宣講車開起來了,大喇叭響起來了,宣傳橫幅掛起來了,電子屏亮起來了,電視、廣播、微信、短信齊上

陣,防疫標(biāo)語、宣傳金句頻出,這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅定決心.如圖,在?條筆直公路“可的?

側(cè)點A處有一村莊,村莊A到公路MN的距離A8為800米,若宣講車周圍1700米以內(nèi)能聽到廣播宣傳,宣

講車在公路MN上沿MN方向行駛.

MRN

(1)請問村莊A能否聽到宣傳?請說明理由;

(2)如果能聽到,已知宣講車的速度是200米/分鐘,那么村莊A總共能聽到多長時間的宣傳?

【答案】(1)村莊A能聽到宣傳,理由見解析:

(2)對莊A總共能聽到15分鐘的宣傳.

【分析】(1)直接比較村莊4到公路MN的距離和P廣播宣傳距離即可;

(2)過點A作力8J.MN于點B,利用勾股定理運算出廣播影響村莊的路程,再除以速度即可得到時間.

【詳解】(1)解:村莊能聽到宣傳,

理由:???村莊A到公路M/V的距離為800米<1700米,

???村莊A能聽到宣傳;

(2)解:如圖:過點人作48_LMN于點8,

MPBQN

假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點開始影響村莊,行駛Q點結(jié)束對村莊的影響,

則4P=AQ=1700米,AB=800米,

:.BP=BQ=V17002-8002=1500(米),

:?PQ=3000米,

???影響村莊的時間為:3000-200=15(分鐘),

.?.村莊4總共能聽到15分鐘的宣傳.

【點睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì),勾股定理,仔細審題獲取相關(guān)信息合理作出圖形是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2](23-24八年級?云南文山?期末)如圖,經(jīng)過A村和8村的筆直公路,旁有一塊山地正在開發(fā),現(xiàn)

需要在C處進行爆破.已知C處與力村的距離為900米,C處與8村的距離為1200米,WAC1BC.

(1)求力、/?兩村的距離;

⑵為了安全起見,爆破點C周圍半徑750米范圍內(nèi)不得進入,在進行爆破時,公路48段是否有危險而需要

封鎖?請說明理由.

【答案】⑴1500米

(2)沒有危險不需要封鎖,理由見解析

【分析】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用、等面積法求線段長,根據(jù)題意,數(shù)形結(jié)合,利用勾股定理及等面枳

法求出線段長即可得到答案,熟練掌握勾股定理及等面積法是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意,數(shù)形結(jié)合,利用勾股定理求解即可得到答案;

(2)過點C作CD14B,如圖所示,利用等面積法求出CD=720,根據(jù)題意比較即可得到答案.

【詳解】(1)解:;C處與入村的距離為900米,C處與8村的距離為1200米,且AC1BC,

AB=>JAC2+BC2=V9002+12002=1500,

答:A.B兩村的距離為1500米;

(2)解:沒有危險不需要封鎖,

理由如下:

過點C作CDJ.48,如圖所示:

利用面積相等得到S—8C=BC=\AB?CD,即900x1200=1500CD,解得CD=笑靠。。=720,

?爆破點C周圍半徑750米范圍內(nèi)不得進入,720<750,

???在進行爆破時,公路/口段沒有危險不需要封鎖.

【變式4-3](23-24八年級?遼寧沈陽?階段練習(xí))如圖,有一輛環(huán)衛(wèi)車沿公路由點A向點8行駛,已知點

。為一所學(xué)校,且點。與直線4B上兩點A,8的距離分別為200m和150m,A8=250m,環(huán)衛(wèi)車周圍130m以

內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域.

(1)學(xué)校。會受噪聲影響嗎?為什么?

⑵若環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時間有2min,求環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為多少?

【答案】(1)學(xué)校C會受噪聲影響,理由見解析

(2)50m/min

【分析】(1)利用勾股定理的逆定理得舟△力8c是直角三角形,進而利用三角形面積得出CD的長,即可得出

結(jié)論;

(2)利用勾股定理得出ED以及E尸的長,即可解決問題.

【詳解】(1)解:學(xué)校C會受噪聲影響,理由如下:

如圖,過點C作。DL4B于。,

???y4C=200m,8c=150m,i48=250m,

-.AC2+BC2=AB2.

???△ABC是直角三角形,〃CB=90-

^ABC=^AC-BC=^CDAB,

'.ACBC=CDAB,

即200x150=250x0

?.?環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域,

學(xué)校C會受噪聲影響.

(2)解:如圖,當(dāng)EC=130m,?=130m時,正好影響C學(xué)校,

vED=\/£,C2-CD2=V1302-1202=5D(m),

.-.EF=2ED=100(m),

?.?環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時間有2min,

???環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為:100+2=50(m/min),

答:環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為50m/min.

【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形面積等知識,解

答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形,再利用勾股定理解答.

【題型5應(yīng)用勾股定理解決杯中筷子問題】

【例5】(23-24八年級.福建三明.期中)《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作,書中記載:今有開門去閘(門

檻)一尺,不合四寸,問門廣幾何?其大意:如圖,推開雙門(大小相同),雙門間隙CD=4寸,點C、

點D與門檻A8的距離CE=D"=1尺(1尺=10寸),。是EF的中點,連接CO.

(2)求門檻AB的長.

【答案】(1)2后

⑵52

【分析】(1)根據(jù)題意得到?!?。/=TEF=TCD=2,然后根據(jù)勾股定理求解即可;

(2)由題意可得4。=/。,設(shè)/£1二%,則/。=力。=無+2,利用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解:是E尸的中點

:.0E=OF=-EF=-CD=2

22

*:CE1OE

:.C0=\/CE2+OE2==IO2+2,=2V26;

(2)設(shè)AE=x,則4c=力。=%+2.

*:AE2+CE2=AC2,CE=DF=1尺=10寸

:.x2+102=(x+2)2

解得:無二24

??"8=24+24+4=52.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,弄清題意,構(gòu)建直角三角形是解題關(guān)鍵.

【變式5-1](23-24八年級.天津河西?期中)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題.有一個水池,

水面是一個邊長為10尺(/8=10尺)的正方形,在水池正中央有一根蘆葦(點P是力8的中點),它高出

水面1尺(MP=1尺).如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點,它的頂端恰好到達池邊的水面(MN=BN),

求水的深度PN.

【答案】12尺

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,將實際問題轉(zhuǎn)化成勾股定理的問題是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得1+PN=BN,然后內(nèi)△BPN中運用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解:?.?48=10,點P是A8的中點,

:,BP=5.

???MP=1,MP+PN=BN,

,1+PN=BN.

在RtZkBPN中,根據(jù)勾股定理可得:BN2=52+PN2.

二(1+PN)2=52+PN2,解得PN=12.

答:水的深度PN為12尺.

【變式5-2](23-24八年級?福建龍巖.期末)如圖,有一個長方形水池,它的長是4米,池中央長了一棵蘆葦,

露出水面1米,將蘆葦拽至池邊,它的頂端剛好與水面一樣平,求水有多深?蘆葦有多長?

【答案】水深1.5米,蘆葦?shù)拈L度是2.5米

【分析】找到題中的直角三角形,設(shè)水深為工米,根據(jù)勾股定理到出方程,解方程即可.

【詳解】解:設(shè)水深工米,則蘆葦有(%+1)米,

由勾股定理得:/+22=(%+1)2,

解得:x=1.5,

則:x+1=2.5(米),

答:水深1.5米,蘆葦?shù)拈L度是2.5米.

【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

【變式5-3](23-24八年級?陜西西安?期末)如圖,一個直徑為12cm(即8C=12c〃?)的圓柱形杯子,在杯

子底面的正中間點E處豎直放一根筷子,筷子露出杯子外2c7〃(即/G=2c〃?)>當(dāng)筷子GE倒向杯壁時(筷

子底端不動),筷子頂端正好觸到杯。,求筷子G石的長度.

【答案】筷子GE的長度是lOc/n.

【分析】根據(jù)題意可得OK=GE,Er=GE-2,注RmDFE中,根據(jù)勾股定理列出方程,解方程即可求解.

【詳解】解:設(shè)筷子GE的長度是x<7〃,那么杯子的高度E尸是Lv-2)an,

:杯子的直徑為\2cin,

???杯子半徑DF為6cm,

在/?/△DFE中,(42)2+62=*,

即/-4x+4+36=V

解得:x=10,

答:筷子G£的長度是10cm.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

【題型6應(yīng)用勾股定理解決選址問題】

【例6】(23-24八年級?山東煙臺?期末)如圖,某工廠A到直線公路1的距離AB為3千米,與該公路上車

站D的距離為5千米,現(xiàn)要在公路邊上建一個物品中轉(zhuǎn)站C,使CA=CD,求物品中轉(zhuǎn)站與車站之間的距

離.

【答案】自千米

O

【分析】根據(jù)題意利用勾股定理易得BD長,設(shè)AC=CD=x,根據(jù)勾股定理列方程求解.

【詳解】解:由題意可得:AB=3,AD=5

???在RtAABD中,BD=y/AD2-AB2=V52-32=4

設(shè)AOCD二x,則BC=4-x

在RSABC中,32+(4-x)2=x2,解得:x=^

8

???物品中轉(zhuǎn)站與車站之間的距離CD的長為§千米

【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,解決本題的難點是構(gòu)造已知長度的線段所在的直角三角形,利用

勾股定理求解.

【變式6-11(23-24八年級?河南安陽?階段練習(xí))如圖鐵路上A,6兩點相距40千米,C,。為兩村莊,DALAB,

CBA.AB,垂足分別為A和8,04=24千米,C8=16千米.現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個煤?!?使得C,D

兩村到煤棧的距離相等,那么煤枝E應(yīng)距4點()

D

'、B

、

、、

、、

、、

、、

C

A.20千米B.16千米C.12千米D.無法確定

【答案】B

【分析】設(shè)AE=xkm,則跖=(40-x)km,利用勾股定理得到力。?+4產(chǎn)=8。+-2,則242+設(shè)=

(40-X)2+162,解方程即可.

【詳解】解:設(shè)AE=.rkm,貝ljBE=(40-x)km,

CB±AB,C,。兩村到煤棧的距離相等,

:,AD2+AE2=DE2,BE2+BC2=CE2,

:.AD2+AE2=^BE2+BC2,

/.242+X2=(40-x)2+162,

解得:x=16?

則煤棧上應(yīng)距4點16km.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,正確理解題意得到/1D2+AE2=8£2+8C2是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2](23-24八年級.全國?單元測試)為了豐富少年兒童的業(yè)余生活,某社區(qū)要在如圖中的所在的

直線上建一圖書室,本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點C和點。處,&41AB于A,DB1AB于B.已知力B=

2.5km,CA=1.5km,DB=1.0km,試問:圖書室E應(yīng)該建在距點A多少km處,才能使它到兩所學(xué)校的距

離相等?

【答案】1.0km

【分析】設(shè)圖書室E應(yīng)建在距A點x千米處,才能使它到兩所學(xué)校的距離相等,則8E=(2.5-幻千米;由

勾股定理建立方程即可求解.

【詳解】解:設(shè)圖書室石應(yīng)建在距八點x千米處,才能使它到兩所學(xué)校的距離相等,

則BE=(2.5-乃千米;

':CALAB,DBLAB,

:,AE2+CA2=CE2,BE2+BD2=DE2,

':CE=DE,

:,AE2+CA2=BE2+BD2,

即7+1.52=(2.5-X)2+1Q2,

解得:x=1.0,

答:圖書室E應(yīng)建在距4點1.0千米處,才能使它到兩所學(xué)校的距離相等.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握勾股定理解直角三角形,建立方程解方程,是解決本題

的關(guān)鍵.

【變式6-3](23-24八年級.四川達州.階段練習(xí))如圖所示,4、6兩塊試驗田相距200m,C為水源地,AC

=160加,8c=120/〃,為了方便灌溉,現(xiàn)有兩種方案修筑水渠.

水源池

甲方案:從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、&

乙方案;過點。作的垂線,垂足為從先從水源地C修筑一條水渠到所在直線上的“處,再從〃分

別問人、8進行修筑.

(1)請判斷△ABC的形狀(要求寫出推理過程);

(2)兩種方案中,哪一種方案所修的水渠較短?請通過計算說明.

【答案】(1)aABC是直角三角形,理由見解析;(2)(2)甲方案所修的水渠較短:理由見解析

【分析】(1)由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形;

(2)由△ABC的面積求出CH,得出AC+BCVCH+AH+BH,即可得出結(jié)果.

【詳解】解:(1)△ABC是直角三角形;

理由如下:

AAC2+BC2=1602+12()2=40000,AB2=2002=40000,

AAC2+BC2=AB2,

...△ABC是直角三角形.NACR=90。:

(2)甲方案所修的水渠較短;

理由如下:

?「△ABC是直角三角形,

??.△ABC的面積=:AB?CH=[AC?BC,

?CTJ_4C?8C160X120、

..CH---------=-----------=96(zm),

AB200

VAC+BC=160+120=280(m),CH+AH+BH=CH+AB=96+200=296(m),

AAC+BC<CH+AH+BH,

???甲方案所修的水渠較短.

【點睛】本題考杳了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、三角形面積的計算;熟練掌握勾股定理,由勾股

定理的逆定理證出△ABC是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

【題型7應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度問題】

【例7】(23-24八年級?四川巴中?期末)如圖,數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿的高度,發(fā)現(xiàn)將繩子拉直,繩子

末端落在點C處,此時點C到旗桿底部B的距離BC為6米,小明拉緊繩子的末端,將繩子的末端放在2米高的

觀賽臺上的點E處,測得此時點E到旗桿的水平距離E尸為8米,求旗桿AB的高度為多少米?

小明不完整的求解過程如下:

(1)設(shè)4B=%米,則力=_(用含%的代數(shù)式表示)

(2)請幫小明求出x的值.

【答案】(1)/一4%+68

(2)8米

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用,

(1)用x表示處AF,在RtzxAEF中,根據(jù)勾股定理即可用含%的代數(shù)式表示力解;

(2)在中,用工的代數(shù)式表示處AC?,根據(jù)4C=AE,列方程即可解出心

能靈活運用勾股定理列代數(shù)式、列方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解:根據(jù)題意得:AB=x,BF=DE=2,AB1EF,

.\AF=x—2,

在RtA/lE尸中,EF=8,

:,AE2=AF2+EF2=(無一2)2+82=x2-4x+68,

故答案為:x2-4%+68;

(2)解:由題知:BF=2,BC=6,EF=BD=8,AC=AE,AB1BD,

設(shè)=則Ar=(x-2),

在RtMEF中,AE2=AF2+EF2,

在Rt/kHBC中,AC2=AB2+BC2,

:.AF2+EF2=AB2+BC2,

A(x-2)2+82=x2+62,

解得:x=8,

???旗桿力8的高度為8米.

【變式7-1](23-24八年級?廣東廣州?期末)學(xué)校操場邊有一根垂直于地面,的旗桿力氏一根無彈力、不能伸

縮的繩子m緊系于旗桿頂端力處(打結(jié)處忽略不計),小杰同學(xué)通過操作、測量發(fā)現(xiàn):如圖1,當(dāng)繩子m緊靠

在旗桿上拉緊到底端8后,還多出2米,即BC=2米;如圖2,當(dāng)離開旗桿底端8處6米后,繩子恰好拉直且

繩子末端。處恰好接觸地面,即3D=6米,求旗桿的高度.

Ci

圖1

【答案】8米

【分析】本題考杳了勾股定理.設(shè)旗桿4區(qū)=x米,則<£)=0+2)米,根據(jù)勾股定理列方程即可求出旗桿的

高度,熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解.:設(shè)旗桿718=”米,則40=(%+2)米,

根據(jù)勾股定理可得,AD2=AB2^BD2,

???(%+2)2=/+62,

解得%=8,

答:旗桿力8的高度為8米.

【變式7-2](23-24八年級.山東濟南.期末)太原的五一廣場視野開闊,是一處設(shè)計別致,造型美麗的廣場

園林,成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所,某校八年級(I)班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后,為

了測得圖中風(fēng)箏的高度CE,他們進行了如卜.操作:

①測得的長為15米(注:BDLCE};

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線8C的長為25米;

③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米.

(1)求風(fēng)箏的高度CE.

(2)過點。作垂足為“,求8H的長度.

【答案】(I)風(fēng)箏的高度CE為21.7米

(2)BH的長度為9米

【分析】(1)在RtZkCDB中由勾股定理求得CO的長,再加上Z)E即可;

(2)利用等積法求出?!钡拈L,再在口△8”。中由勾股定理即可求得5H的長.

【詳解】(1)在RtZkCDB中,由勾股定理,得:

CD=y/C2-BD2=V252-152=20(米),

所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7(米),

答:風(fēng)箏的高度CE為21.7米.

(2)由等積法知:三BDxDC=”CxDH,

解得:DH=^-=12(米).

在RtZkBHD中,BH=y/BD2-DH2=9(米),

答:8H的長度為9米.

【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用,正確運用勾股定理是關(guān)鍵,注意計算準確.

【變式7-3](23-24八年級?陜西漢中?期末)如圖,一棵大樹4。兩側(cè)各有一條斜拉的繩子,大致如圖所示,

李明想用所學(xué)知識測量大樹從。的高度,他從工作人員處了解到繩子A4的長為13米,AC的長為20米,然

后用米尺測得8、。之間的距離為21米,已知氏。、。在一條直線上,AD1BC,求大樹的高AQ.

【答案】大樹的高為12米

222

【分析】設(shè)LD=x米,則CD=BC-BD=(21-x)米,利用勾股定理得到AD?=AB2一BD?,AD=AC-CD,

即可得到132-x2=202-(21-x)2,由此求解即可.

【詳解】解:設(shè)米,則(21-)米,

\'ADA.BC,

/.NADB=NADC=9。。,

在RAAB。中,AD2=AB2-BD2,

在RAAC。中,AD2=AC2-CD2,

:.AB2-BD2=AC2-CD2,

132—x2=202—(21—%)2,

解得%=5,

:.BD=5米,

:-AD=y/AB2-BD2=12米,

答:大樹的高為12米.

【點睛】本題主要考直了勾股定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵在于能帔熟練掌握勾股定理.

【題型8應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行問題】

【例8】(23-24八年級?新疆喀什?期中)如圖,一只小鳥旋停在空中4點,A點到地面的高度48=8米,A點、

到地面。點(8,C兩點處于同一水平面)的距離AC=10米.

(1)求出8C的長度;

(2)若小鳥豎直下降到達。點(。點在線段4B上),此時小鳥到地面C點的距離與下降的距離相同,求小鳥下

降的距離.

【答案】(1)6米

⑵小鳥下降的距離為與米

【分折】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用,熟練的掌握勾股定理足解題的關(guān)鍵.

(1)在直角三角形中運用勾股定理即可解答;

(2)在RtaBDC中,根據(jù)勾股定理即可解答.

【詳解】(1)由題意知NB=90。,

*:AB=8米,AC=10米.

在Rt△ABC^AB2+BC2=AC2

???BC=V102-82=6米,

(2)設(shè)力。=x,

???到達。點(。點在線段48上),此時小鳥到地面。點的距禽與下降的距離相同,AB=8

貝!CD=AD=xtBD=8-x,

在RtABOC中,DC2=BD2+BC2,

???x2=(8—x)2+62,

解得%=看,

4

???小鳥下降的距離為1米.

4

【變式8-1](23-24八年級?全國?課后作業(yè))如圖,飛機在空中水平飛行,某一時刻剛好飛到一男孩子頭頂

上方4000米處,過了20秒,飛機距離這個男孩頭頂5000米.飛機每小時飛行多少千米?

H-H-

【答案】l50m/s

【分析】先由勾股定理求得BC的長,即可根據(jù)路程、速度、時間的關(guān)系求得結(jié)果.

【詳解】如圖,

由題意得,AC=4000米,ZC=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=V5而環(huán)FUU7=3000(米),

所以飛機飛行的速度為貴=540(千米/小時)

3600

【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用.

【變式8-2](23-24八年級.河南周口.期中)如圖,在校園內(nèi)有兩棵樹相距12米,一棵樹高14米,另一棵

樹高9米,一只小鳥從一-棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端,小鳥至少要飛多少米?

【答案】13

【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短''可知:小鳥沿著兩棵樹的頂端進行直線飛行,所行的路程最短,運用勾股

定理可將兩點之間的距離求出.

【詳解】解:如圖所示,AB,C。為樹,且48=14米,CO=9米,8。為兩樹距離12米,

過C作CE_LA8于£,

則CE=BD=\2,AE=AB-CD=5,

在直角三角形AKC中,

AC=\/AE2+CE2=y/52+122=13.

答:小鳥至少要飛13米.

故答案為:13.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是從實際問題中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識,然后利用直

角三角形的性質(zhì)解題.

【變式8-3](23-24八年級?江蘇泰州?期中)11世紀的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”問題:小溪邊

長著兩棵棕桐樹,恰好隔岸相望一棵棕桐樹而是30肘尺(肘尺是古代的長度單位),另外一棵面20肘尺;兩

棵棕梅樹的樹干間的距離是50肘尺.每棵樹的樹頂上都停著一只鳥.忽然,兩只鳥同時看見棕植樹間的水面

上游出一條魚,它們立刻以相同的速度飛去抓飽,并且同時到達目標(biāo).問:這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕桶

樹的樹根有多遠?

【答案】20.

【詳解】解:如圖,由題意得:AB=20,0030,3c=50,設(shè)EC為x肘尺,HE為(50-x)肘尺,

在RdABE中,AE2=AB24-BE2=202+(50-%)2,

在由ZkOEC中,DE2=DC2+EC2=302^X2,

又?:AE=DE,Ax2+302=(50-x)2+202,

解得:x=20,

答:這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕檎樹的樹根20肘尺.

【題型9應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前高度問題】

【例9】(23-24八年級.四川資陽期末)如圖,在傾斜角為4S。(即NNMP=45。)的山坡MN上有一棵樹43,

由于大風(fēng),該樹從點£處折斷,其樹頂B恰好落在另?棵樹的根部。處,已知力E=lm,AC=718m.

(I)求這兩棵樹的水平距離CF;

(2)求樹力5的高度.

【答案】(l)3m

(2)6m

【分析】(1)根據(jù)平行的性質(zhì),證得力尸=。凡根據(jù)勾股定理即可求得.

(2)在RtACE尸中,根據(jù)勾股定理即可解得.

【詳解】(1)由題可知MPICF,ZF=90°

:./.ACF=乙NMP=45。,

:.AF=CF

在Rt△力CF中,

CF2+AF2=AC2,

?,?2C戶=18,

*'?AF=CF=3(m).

即這兩棵樹的水平距離為3m.

(2)在RCACEF中,

CE2=CF2+EF2

:.CE=V32+42=5,

:,AB=AE+CE=5+1=6(m).

即樹A8的高度為6m.

【點睛】此題考查了勾股定理,解題的關(guān)鍵是熟悉勾股定理的實際應(yīng)用.

【變式9-1](23-24八年級?吉林長春?期末)如圖,一木桿原來垂直于地面,在離地某處斷裂,木桿頂部落

在離木桿底部5米(即AC=5)處,己知木桿原長為25米.

(1)求木桿斷裂處離地面(即AB的長)多少米?

(2)求仆ABC的面積.

【答案】(1)木桿斷裂處離地面12米;(2)30平方米.

【分析】(1)設(shè)木桿斷裂處離地面工米,由題意根據(jù)勾股定理得-+52=

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評論

0/150

提交評論