第06講切線長定理與弦切角定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握切線長的定義與切線長定理，并能夠熱練的運(yùn)用

①切線長的定義與切線長定理切線長解決問題。

②三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心2.掌握并能夠畫三角形的內(nèi)切圓，掌握三角形的內(nèi)心極

③弦切角的定義與弦切角定理其性質(zhì)，并能夠運(yùn)用其解決相關(guān)問題。

3.掌握弦切角的定義與定理并熟練運(yùn)用。

思維導(dǎo)圖

_______SA

切線長卜6^

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01切線長定理

1.切線長的定義:

A

經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和之間的線段的長，

叫做這點(diǎn)到圓的切線長。

O

即如圖，若PA與PB是圓的切線，切點(diǎn)分別是A與B,則PA

與"的長度是切線長。

B

2.切線長定理：

從圓外一點(diǎn)作圓的切線，可以作2條,它們的長度一相等。圓心和這一點(diǎn)的連線」i幺一兩

條切線的夾角。

即PA=PB,ZAPO=ZBPOo

推廣：有切線長定理的結(jié)論可得：

①△①0g△BPO=NAOP=NBOPnAM=AHnABJ.OP。

題型考點(diǎn)：①切線長定理的應(yīng)用。

【即學(xué)即練1】

1.如圖，與4c的邊AC.4c分別相切于點(diǎn)。、E、F,如果44=4,AC=5,AD=\,那么

BC的長為7.

【解答】解：MB、AC、8c都是。0的切線，

：,AD=AE,BD=BF,CE=CF,

???人8=4,AC=5,AD=\,

：,AE=\,BD=3,CE=CF=4,

.??BC=BF+CF=3+4=7.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，△A4C中，ZA=60°,BC=6,它的周長為16.若0。與3C,AC,A4三邊分別切于七，F(xiàn),D

點(diǎn)，則的長為（）

【解答】解：:。。與BC,AC,AB三邊分別切于區(qū)F,。點(diǎn),

：,AD=AF,BE=BD,CE=CF,

?:BC=BE+CE=6,

???DD+CF=6,

*：AD=AF,NA=60°,

:.△4。/7是等邊三角形，

：.AD=AF=DF,

*：AB+AC+BC=}6,8c=6,

：.AI3+AC=\(),

*；BD+CF=6,

：.AD+AF=4,

?：AD=AF=DF,

：.DF=AF=AD=—X4=2,

2

故選：4.

【即學(xué)即練3】

3.如圖，。為OO外一點(diǎn)，以、P4分別切。。于A、B,C3切。0于點(diǎn)E,分別交以、PB于點(diǎn)、C、D,

若%=5,則△PCQ的周長為（）

A.5B.7C.8D.10

【解答】解：???勿、P8為圓的兩條相交切線，

：.PA=PB,

同理可得：CA=CE,DE=DB.

VAPCD的周長=PC+CE+ED+尸。，

???△PC。的周長=PC+C4+BZHPD=/^+PB=2%,

???△PCD的周長=10,

故選：D.

【即學(xué)即練4】

4.如圖所示，尸是。0外一點(diǎn)，朋，PB分別和。0切于A,B兩點(diǎn),C是定上任意一點(diǎn)，過C作的切

線分別交附，PB于D,E.若△「￡）￡：的周長為12,則附的長為（）

【解答】解：：網(wǎng),P8分別和切于4,B兩點(diǎn),

：,PA=PB,

TOE是。。的切線，

：,DA=DC,EB=EC,

??,△PDE的周長為12,

2PPD+DE+PE-PD+DC+EC+PE-PD+AD+EB+PE-PA+PB-2PA-12,

.?.必=6.

故選:B.

知識(shí)點(diǎn)02三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

I.內(nèi)切圓的定義：

如圖：與三角形各邊都.相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓7三角形

叫做圓的外切三角形.

2.內(nèi)心：

三角形的內(nèi)切的圓心叫做三角形的內(nèi)心,三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角

的交點(diǎn)。所以圓心到三角形三邊的距離的等。

特別說明：任意三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，圓有無數(shù)個(gè)外切三角形。

3.直角三角形內(nèi)切圓半徑與直角三角形的邊的關(guān)系:

若。、b是直角三角形的直角邊，c是直角三角形的斜邊。則這個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓半徑為

(a+b-c)iab

或-------

2~a+b+c—

4.三角形的面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系：

若三角形的三邊長分別是〃、3c,內(nèi)切圓半徑為r,則此三角形的面積可表示為:

__5("+6+。)__°

考點(diǎn)題型：內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)的應(yīng)用。

【即學(xué)即練1】

5.如圖，。。是△43C的內(nèi)切圓，則點(diǎn)。是aAB。的（）

A.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

B.三條角平分線的交點(diǎn)

C.三條中線的交點(diǎn)

D.三條高的交點(diǎn)

【解答】解：丁0。是△ABC的內(nèi)切圓，

則點(diǎn)。到三邊的距禽相等，

???點(diǎn)O是的三條角平分線的交點(diǎn);

故選:B.

【即學(xué)即練2】

6.如圖，在△ABC中，NC=58°,點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心，則NAOB的度數(shù)為（）

C.121°D.122°

［解答1解：??,點(diǎn)O為AABC的內(nèi)心，

???A0平分NCAB,30平分NC8A,

：,ZBAO=^ZCAB,NAB0=』NCBA,

22

AZA0B=180°--(ZCAB+ZCTA),

2

VZC=58°,

.,.ZCAB+ZCBA=122°,

??.408=180°-61°=119°,

故選：A.

【即學(xué)即練3】

7.如圖，已知等邊△ABC的內(nèi)切圓。O半徑為3,則4B的長為（）

A

A.3V3B.3遙C.673D.6^5

【解答】解：過。點(diǎn)作OQ_L8C,則0。=3；

???。是△ABC的內(nèi)心，

：,ZOBD=30°：

RtAOBD'P,NO3D=30°，OD=3,

???OB=6,

:?BD=3M，

：.AB=BC=2BD=6^3.

故選：C.

【即學(xué)即練4】

8.已知△ABC的三邊長4=3,b=4,c=5,則它的內(nèi)切圓半徑是I

/.a2+Z?2=c2,

AZACB=90°,

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切AC于E,切人B于尸，切于。，連接0/、OF、O。、OA.OC、OB,內(nèi)切圓的

半徑為R,WJOE=OF=OD=R,

*.*SaACB=SMOC^SdAOBtSdBOC,

.\AxACXfiC=—XACX0￡+—X/1BXOF+—XBCXOD,

2222

.?.3X4=4R+5R+3/6

解得：R=l.

故答案為：1.

【即學(xué)即練5】

9.已知：如圖，。。是RtZ\ABC的內(nèi)切圓，ZC=90°.若AC=12cm,BC=9cm,求。。的半徑r；若

AC=b,BC=a,AB=c,求。。的半徑二

【解答】解：如圖；

在RtZXAAC,ZC=90°,AC=\2cm,BC=9c、m；

根據(jù)勾股定理^^=7AC2+BC2=,5C,ZZ;

四邊形O”C'。中，()D=()b\ZODC=ZObC=ZC=90"；

則四邊形。FC。是正方形；

由切線長定理，得：AD=AE,CD=CF,BE=BF；

則CD=CF=—(AC+BC-AB)；

2

即：r=l(12+9-15)=3.

2

當(dāng)AC=b,BC=a,AB=c,

由以上可得：

CD=CF=—(.AC+BC-AB)；

2

即：r=—(a+b-c).

2

則。。的半徑「為：—(a+h-c).

2

知識(shí)點(diǎn)（）3弦切角定理

1.弦切角的定義：

如圖，像NACP這樣頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，—

邊與圓」0的角叫弦切角。即圓的切線與弦構(gòu)成的夾角。

2.弦切角定理：

弦切角的度數(shù)與它所夾的弧的圓周角度數(shù)」a^。等于它所夾弧B~,一一一'—

的圓心角度數(shù)的一半。

證明提示：連接圓心與切點(diǎn)，過圓心作弦的切點(diǎn)即可證明。

題型考點(diǎn)：①利用弦切角定理計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

10.如圖，在。。中，48是弦，AC是。。切線，過8點(diǎn)作8Q_LAC于。，8。交。。于￡點(diǎn)，若AE平分

ZBAD,則N43。的度數(shù)是（）

Aq.30°B.45°C.50°D.60°

【解答】解：???AC是OO切線，

：.ZDAE=ZB,

平分N84D,

：.Z1DAE=Z1BAE,

：.NDAE=NB=NBAE,

'：BDLAC,

???NOAE=NB=N8AE=30°.

故選:A.

【即學(xué)即練2】

II.如圖，AB是OO的直徑，DR.OE分別切OO于點(diǎn)8、C,若NACE=25°,則NO的度數(shù)是（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

B

o

【解答】七一■、D

解：連接BC,

〈OB、QE分別切。。于點(diǎn)8、C,

：.BD=DC,

VZ4CF=25°,

/.ZABC=25°,

TAB是。。的直徑，

???NAC8=90°,

???NOBC=NOCB=90°-25°=65°,

???NO=50°.

【即學(xué)即練3】

12.如圖，已知AB是。。的直徑，PC切。。于點(diǎn)C,NPCB=35°,則N8等于55度.

【解答】解：TPC切O。于點(diǎn)C,NPCB=35°,

/.ZA=ZPCB=35°,

??YA是。。的直徑，

AZACB=90°,

???NA+N8=90°,

A35°+NB=90°,

解得N8=55°.

故答案為:55.

題型精講

題型()1切線長定理求長度

【典例1】

如圖，。。與△ABC的邊A8、AC、8c分別相切于點(diǎn)。、E、凡如果4B=4,AC=5,AD=\,那么8c

的長為7.

【解答】解：?.?48、AC.8c都是。0的切線,

：.AD=AEfBD=BF,CE=CF,

VAB=4,AC=5,AD=\,

：,AE=\,BD=3,CE=CF=4,

：.BC=BF+CF=3+4=7.

【典例2】

如圖，AB.AC.BQ是OO的切線，切點(diǎn)分別為尸、C、D,若AB=4,AC=3,則BD的長是()

2C.1.5D.1

【解答】解：TAP、AC是。。的切線,

：,AP=AC=3,

???48=4,

：,PB=AB-AP=4-3=\,

?:BP、BD是OO的切線,

:.BD=BP=T,

故選：D.

【典例3】

如圖，。。內(nèi)切于四邊形4BCQ,A8=10,BC=7,CO=8,則A。的長度為（)

C.1()D.11

【解答】解：:。。內(nèi)切于四邊形A8CQ,

：,AD+BC=AB+CDf

???A8=10,BC=7,CO=8,

???4D+7=10+8,

解得：AD=\\.

故選：D.

【典例4】

如圖，直線AB、CD、BC分別與0。相切于￡F、G,且CO,若OB=6cm,0C=8cm,則BE+CG

C.11D.10

【解答】解:、：AB"CD,

/.ZABC+ZBCD=\SOC,

VCD.BC,A3分別與OO相切于G、F、E,

：.ZOBC=-ZABC,NOCB=L/BCD,BE=BF,CG=CF,

22

??.NOBC+NOCB=90°,

：.ZBOC=9Q°,

A?C=>7oB2+OC2=1(b

：,BE+CG=\0Cem).

故選：D.

題型02切線長與周長

【典例1】

如圖，。為。。外一點(diǎn)，必、P3分別切于點(diǎn)A、B,CD切于點(diǎn)、E,分別交以、PB于點(diǎn)、C、D,若

必=8,則△PCO的周長為（）

【解答】解：???B4、分別切。。于點(diǎn)4、B,C。切。。于點(diǎn)￡,

：.PA=PB=S,AC=EC,BD=ED,

???PGCD+PD=PC+CE*DE*PD=%八C+PD+BD^8+8=16,

卻△PC。的周長為16.

故選：C.

【典例2】

如圖，四邊形ABC。是OO的外切四邊形，且A8=8,CD=I5,則四邊形4月CQ的周長為46

【解答】解：???四邊形A8C。是。。的外切四邊形，如圖,

：,AD+BC=AB+CD=23,

:.四邊形ABCD的周長=AQ+BC+A8+CO=23+23=46,

故答案為：46.

【典例3】

以正方形ABC。的AB邊為直徑作半圓0,過點(diǎn)。作直線切半圓于點(diǎn)F,交48邊于點(diǎn)E,若△CQE的周長

A.12B.13C.14D.15

【解答】解：設(shè)AE的長為工，正方形A8CO的邊長為“，

???CE與半圓。相切于點(diǎn)F,

：.AE=EF,BC=CF,

*：EF+FC+CD+ED=\2,

:?AE+ED+CD+BC=T2,

'：AD=CD=BC=AB,

???正方形ABCD的邊長為4；

在RtZ\CQE中，ED2+CD2=CE2,即(4-x)2+42=(4+.r)2,解得：x=l,

'：AE+EF+FC+BC+AB=14,

???直角梯形A8CE周長為14.

故選：C.

題型03三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)

【典例1】

如圖，已知圓。是△ABC的內(nèi)切圓,且NA=70°,則NBOC的度數(shù)是（）

135°C.125°D.110°

【解答】解：???圓O是△4BC的內(nèi)切圓,

???點(diǎn)。為三角形的內(nèi)心，即點(diǎn)。為△/18C三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn),

?MO平分N48C,CO平分NACB.

：.ZOBC=—^ABC,NOCB=L/ACB.

22

VZA=70",

.??NABC+NACB=1800-ZX=110".

：,ZOBC+ZOCB=—(/48C+/AC8)=55°.

2

???NBOC=180°-(N08C+/0CB)=180°-55°=125°.

故選：C.

【典例2】

如圖所示，△48。內(nèi)接于OO,點(diǎn)M為△A4C的內(nèi)心，若NC=80°,則NAMN的度數(shù)是()

C.60°D.80°

【解答】解：在△ABC中，ZC=80°,

：,ZBAC+ZABC=\00a,

???NAAB=80°,

為△ABC的內(nèi)心，

JAM、BM為NBAC、NA8C的平分線，

：.ZBAM=-ZBAC,ZABM=-ZA13C,

22

，N/MM+N"M=2(N8AC+NA4C)=—(180。-ZC)=50°,

22

???NAMN=50°,

在△AMN中，NM4N=180°-(NAMN+NANM)=180°-50°-80°=50°.

故選：A.

【典例3】

如圖，在△AHC中，NAC6—80。，AC—AC,點(diǎn)M是A8上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，點(diǎn)產(chǎn)是△ACM的內(nèi)心,

則NMPC的度數(shù)()

B

M/\

P

AC

A.等于115°B.可以等于80°

C.等于120°D.無法確定

【解答】解：VZACB=80°,AC=BC,

???N8=NA=50°,

設(shè),

則NMCA=80°-x,

/.ZAMC=50°+x,

???點(diǎn)。是ACM的內(nèi)心，

平分NMC4,MP平分N4MC,

：.ZMCP=ZACP=—7MCA=—(80°-x),ZCMP=ZAMP=—7AMC=—(50+x),

2222

AZMPC=1800-ZMCP-ZCMP=180°--(800-x)--(50°+x°)=115°

22

故選:A.

【典例4】

如圖，在8c中，ZC=90°,AC=4,BC=3.。。是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、B、A8相切于點(diǎn)

D、E、F,則圓心O到頂點(diǎn)A的距離是()

A.2V2B.3C.V10D.2V3

【解答】解:如圖，連結(jié)OQ,OE,OF,設(shè)OO半徑為r,

VZC=90°,AC=4,BC=3,

A/'^=VAC2+BC2=5,

???0。是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、4B相切于點(diǎn)。、E、F,,

：,ACA.OD,AB工OF,BC上OE,OF=OD=OE=r,

???四邊形OEb是正方形,

:.CE=CD=OD=r,

：.AD=AF=AC-CD=4-r,BF=BE=BC-CE=3-r,

\'AF+BF=AB=5,

:.3-i-+4-r=5,

r=1.

???OD=CD=\,

**?AD=3?

?,^^=VAD2-H3D2=V10.

故選：C.

【典例5】

如圖，在。€0中，標(biāo)=菽，BC=6.AC=3j15，/是△4BC的內(nèi)心，則線段0/的值為(

A.1B.V10-3C.5-V10D.

【解答】解：如圖，連接AO,延長A0交8C于”，連接08.

：.AB=AC,AH1BC,

：.BH=CH=3,

2VH2=7(3V10)2-32=9'

設(shè)0A=0B=x,

在RtABOH中，:OB2=OH2+BH2,

???，=(9-x)2+32,

??x=51

，OH=AH-A0=9-5=4,

,：SMBC=^BC*AH=-*(AB+AC+BC)^H,

22

???/”=-6X，=J15-1,

6+6V10

：.OI=OH-1H=4-(V10-1)=5-V10*

故選：C.

【典例6】

如圖，△ABC的內(nèi)切圓O/與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)。，E,F,若。/的半徑為r,NA=a，則(BF+CE

-BC)的值和NFOE的大小分別為()

【解答】解：如圖，連接/尸，IE.

二?△ABC的內(nèi)切圓。/與8C,CA,A8分別相切于點(diǎn)。，E,F,

:.BF=BD,CD=CE,IFA.AB,IE±AC,

：.BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=0,ZAFI=^AEI=90°,

???N￡/F=1800?a,

:,NEDF=Z/EIF=96"--a.

22

故選：。.

題型04弦切角定理的應(yīng)用

【典例1】

如圖，A8是。。的直徑，DB、DE分別切。。于點(diǎn)8、C,若N4CE=25°,則/。的度數(shù)是（）

B

o

A

E-,D

C.60°D.65°

解：連接8C,

,:DB、OE分別切。0于點(diǎn)8、C,

:.BD=DC,

VZ4CE=25n,

AZABC=25°,

???/W是。。的直徑,

???NACB=90°,

???NO8C=NQCB=90°-25°=65°,

AZD=50°.

【典例2】

如圖，A3是。0的直徑，點(diǎn)。為上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作。。的切線，交直徑A8的延長線于點(diǎn)。，若N48C

)

C.40°D.50°

【解答】解：連接。C,如圖,

???C。為切線,

：.OCA.CD,

???NOCQ=90°,

TAB是。。的直徑,

???NAC8=90°,

VZ4=90°Z/4Z?C=90°65°=25°,

：.ZBCD=ZA=25°,

?：NOBC=NBCD+ND

???NO=65°-25°=40°.

【典例3】

如圖，8。為圓。的直徑，直線ED為圓。的切線，4、C兩點(diǎn)在圓上，AC平分八。且交8。于”點(diǎn).若

ZADE=\9°,則NAF8的度數(shù)為何？（）

C

A.97°B.104°C.116°D.142°

【解答】解：???8。是圓。的直徑，

，NBAD=90°,

又???AC平分N84。，

：.ZBAF=ZDAF=45<>,

???直線為圓。的切線，

/.ZADE=ZABD=\9°,

???NA/Z=180°-ZBAF-ZA^D=180°-45°-19°=116°.

故選：C.

【典例4】

如圖，PA.PB分別是0。的切線，A、8是切點(diǎn)，4C是。0的直徑.已知N4PB=70°,則/AC8的度數(shù)

：,PA=PB；

VZAPI3=1()°，

：.ZPBA=—(180°-NAPB)=55°,

2

,:PB切。。于8,

AZACB=ZPBA=55°.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖，AB.AC.3。分別切。。于點(diǎn)P、C、D.若A3=5,AC=3,則3。的長是（

【解答】解；???八。、八。為。。的切線，

：.AC=AP=3,

「BP、B。為。。的切線，

:.BP=BD,

：.BD=PB=AB-AP=5-3=2.

故選：C.

2.如圖，P為。。外一點(diǎn)，以、PB分別切。。于A、B,CO切。。于點(diǎn)￡,分別交必、PB于點(diǎn)、C、D,

【解答】解：PB為圓的兩條相交切線，

:.PA=PB,

同理可得：CA=CE,DE=DB.

VAPC￡>的周長=PC+C￡+及APO,

??.△PC。的周長=PC+CA+B/）+PO=附+PB=2必，

??.△PC。的周長=10,

故選：D.

3.如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC=5cm,。。是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在

00的右側(cè)沿著與OO相切的任意一條直線MN剪下△AMM則剪下的三角形的周長為（）

A.12cmD.7cm

C.6cmD.隨直線MN的變化而變化

【解答】解：設(shè)石、尸分別是00的切點(diǎn)，

:△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC=\7an,。。是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)。是其中的一個(gè)切點(diǎn)，BC

=5cmf

:.BD+CE=BC=5cm,則AD+AE=lcm,

故DM=MF,FN=EN,

，AM+AN+MN=AD+AE=7(cm).

4.如圖，在中，ZC=90°,△A8C的內(nèi)切圓。。與A&BC、C4分別相切于點(diǎn)。、E、F,若

0。的半徑為2,AD*DR=24,則42的長()

【解答】解：如圖連接0F.則由題意可知四邊形是正方形，邊長為2.

:△ABC的內(nèi)切圓。。與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)。、E、F,

，可以假設(shè)AO=AF=〃，BD=BE=b,

則AC=a+2,BC=b+2,AI3=a+h,

VAC2+^C2=AB2,

?，.(a+2)2+(Z?+2)2=(a+b)2,

???4。+48+8=〃〃，

.*.4Ca+b)=48-8,

?**a+b=10,

故選：B.

5.如圖，△ABC的內(nèi)切圓圓。與48,BC,CA分別相切于點(diǎn)D,E,F,若/OE廣=53°,則/A的度數(shù)

是（)

A

A.36°B.53°C.74°D.128°

【解答】解：連接O。、OF,

???。。分別與48、AC相切于點(diǎn)。、點(diǎn)F,

：.ABLOD,ACLOF,

???NOD4=NO%=9(r,

???NOE/=53°,

VZDOF=2ZDEF=2X53°=106°,

??.NA=360°-ZODA-ZOFA-ZDOF=360°-90°-90°-106°=74°,

故選：C.

6.已知△人8c中，NC=90°,BC=a,CA=b,AB=c.O。是△ABC的內(nèi)切圓，下列選項(xiàng)中，的半

22ca+b

【解答】解：設(shè)圓。的半徑是x，圓切AC于E,切BC于D,切4B于尸，如圖,

Io

CQD--------

VOE-LAC,OD±BC,NC=90°,

???四邊形OECO是矩形，

又：OE=OD,

???四邊形OECO是正方形，

:?CE=CD,

'：AE=AF,BD=BF,

'*a~x+b-x=c,

?va+b-c

2

???。0的半徑為*H,

故選：A.

7.點(diǎn)P是O。外一點(diǎn)，PA,"8分別切。。于點(diǎn)4、B,/尸=70°,點(diǎn)。是。。上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重

合），則NAC8等于（）

A.70°B.55°C.70°或110°D.55°或125°

【解答】解：如圖，

???％、08分別切。0于點(diǎn)A、B,

：.ZOAP=ZOBP=9（r,

VZP=70°,

???N4OB=110°,

：?NAC8=55°,

當(dāng)點(diǎn)。在劣弧人片上，

???N4OB=110°,

???弧AC3的度數(shù)為250°,

.??NAC4=125°.

故選：D.

A

\C

8.如圖，等邊△48C邊長為小點(diǎn)。是△A3C的內(nèi)心，ZFOG=\20°,繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)NPOG,分別交線段

AB.BC于。、E兩點(diǎn),連接0E,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①△OQE形狀不變；

②△OQE的面積最小不會(huì)小于四邊形ODBE的面枳的四分之一；

③四邊形ODBE的面積始終不變；

④480E周長的最小值為1.5G

上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【解答】解：連接08、0C,如圖，

???△A8C為等邊三角形，

AZABC=ZACB=6()°,

???點(diǎn)0是等邊△ABC的內(nèi)心，

/.OB=OC,OB、。。分別平分NA8C和N4C8,

???480=N04C=/OC8=30°,

：,ZBOC=120°,即N8OE+/COE=120°,

而/。?！?120°,即/8OE+/BOD=120°,

：.ZI3OD=ZCOE,

在△30。和△COE中，

/BOD=NCOE,BO=CO,NOBD=NOCE,

:?△B0D/2C0ECASA),

:.BD=CE,OD=OE,

所以①正確：

SdBOD=SKOE，

/.四邊形ODBE的面積=必。覬=工&6"=工萬，所以③正確;

33412

作。H_LOE,如圖，WODH=EH,

ZDOE=\20°,

：,ZODE=ZOEH=3Q<,,

：,OH=^OE,HE=y[3OH=^-OE

：.DE=430E,

???S&ODE=上義2?OE?J~3OE=返。爐,

224

即SzxOQE隨OE的變化而變化，

而四邊形ODBE的面枳為定值，

?：BD=CE,

???ABDE的周長=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=a+DE=a+J§OE,

當(dāng)時(shí)，OE最小，的周長最小，此時(shí)。上=與"，

:.ABDE周長的最小值=〃+▲〃=1.5〃，所以④正確：

2

:.X0DE的面枳最小為：

叵（近〃）2=叵尸，

4648

而四邊形OOBE的面積為：返“2,

12

的面積最小不會(huì)小于四邊形0Q8E的面積的四分之一，所以②正確

綜上所述：

上述結(jié)論中正確的是①②③④.

故選：A.

9.如圖，小明同學(xué)測量一個(gè)光盤的直徑，他只有一把直尺和一塊三角板，他將直尺、光盤和三角板如圖放

置于桌面上，并量出48=3?！?，則此光盤的直徑是

???NC44=120°,

??,4B和AC與OO相切，

：.ZOAB=ZOAC,

/.ZOAB=^-ZCAB=60°

2

AB=3cmf

.,.OA=()cm,

???由勾股定理得OB=3近c(diǎn)m,

???光盤的直徑是

故答案為：6A/3-

10.如圖，點(diǎn)。足△A4C的內(nèi)心，ZA=60°,OB=3,OC=6,BC=3V，則OO的半徑為

【解答】解：過。作交BC于E,設(shè)

A

BC=3V7.

在RlZXOAE中，由勾股定理可得：32=Ar,

在RlZsOCE中，由勾股定理可得：r2+（3A/7_x）2=62,

故32-x2+（3j7-x）2=36,

7

11.如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA.分別切。。于A、B,CD切。。于點(diǎn)分別交必、PB于點(diǎn)C、D,

：.PA=PB=5；

同理，可得：EC=CA,DE=DB；

APDC=PC+CE+DE+DP=PC+AC+PD+DB=FA+PB=2f^\=10.

即△入?的周長是10.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC是直角三角形，NAC8=90°,ZABC=30°,直角邊8c在x軸

上，其內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為/（0,I）,拋物線y=aP+2at+l的頂點(diǎn)為A,則〃=_-\行_.

yk

【解答】解：:△ABC是直角三角形，NACB=90°,其內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為/（0,1）,

：,CE=OC=Ol=\,OB=BD,AE=AD,

：.AI3=AD+BD=AE+OI3,

設(shè)AE=x,OB=yf

.\AC=x+\,

VZABC=30°,

：.AB=2ACf即45=2(x+1),2(x+l)=x+y,化簡得y="2①，

由勾股定理，得(x+1)2+(y+1)2=[2(x+1)]2,

化簡得3/+6x-y2-2y+2=0②，

把①代入②解得：(負(fù)值不符合題意，已舍去)，

***AC=x+l=V3+1，

A(T,V3+1),

y=ciAT+2ax+1=a(x+1)2+l-ch

，拋物線丁=。￥2+2。丫+1的頂點(diǎn)為(?1,1?a),

???拋物線)，=0?+2如+1的頂點(diǎn)為4,

.*.^3+l=