2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽塞瓦定理試卷一、選擇題（共3小題，每小題5分，共15分）在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且AD、BE、CF交于一點O。若BD=2DC，CE=2EA，則AF:FB的值為（）A.1:2B.2:1C.1:1D.3:2解析：根據(jù)塞瓦定理，(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1)。已知(\frac{BD}{DC}=2)，(\frac{CE}{EA}=2)，代入得(2\cdot2\cdot\frac{AF}{FB}=1)，解得(\frac{AF}{FB}=\frac{1}{4})？（此處計算錯誤，修正：(2\cdot2\cdot\frac{AF}{FB}=1)→(\frac{AF}{FB}=\frac{1}{4})無選項，重新檢查題目：若BD=2DC，CE=2EA，則應(yīng)為(\frac{BD}{DC}=2)，(\frac{CE}{EA}=2)，設(shè)(\frac{AF}{FB}=k)，則(2\cdot2\cdotk=1)→(k=\frac{1}{4})，題目可能有誤，若CE=EA，則(2\cdot1\cdotk=1)→(k=\frac{1}{2})，選A。此處按原題條件，正確答案應(yīng)為(\frac{1}{4})，但選項中無，推測題目應(yīng)為“CE=EA”，修正后選A。）下列關(guān)于塞瓦定理的說法正確的是（）A.塞瓦定理僅適用于銳角三角形B.塞瓦定理中的“三線共點”指的是三條高線交于垂心C.若△ABC中，AD、BE、CF分別為角平分線，則三線共點的充要條件是塞瓦定理等式成立D.塞瓦定理逆定理可直接用于證明三線平行解析：塞瓦定理適用于任意三角形，A錯誤；三線共點包括重心、垂心、內(nèi)心等，不僅限于垂心，B錯誤；角平分線交于內(nèi)心，滿足塞瓦定理，C正確；逆定理用于證明三線共點，而非平行，D錯誤。答案：C。在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，E為AD上一點，BE延長線交AC于F，CF延長線交AB于G。則AG:GB的值為（）A.1:1B.2:1C.1:2D.無法確定解析：∵AB=AC，D為BC中點，∴AD為中線（也是角平分線、高線）。根據(jù)塞瓦定理，(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CF}{FA}\cdot\frac{AG}{GB}=1)?！連D=DC，∴(\frac{BD}{DC}=1)，則(\frac{CF}{FA}\cdot\frac{AG}{GB}=1)。又∵AD為對稱軸，圖形關(guān)于AD對稱，∴AG=AF，GB=FC，設(shè)AG=AF=x，GB=FC=y，則(\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}=1)，恒成立，故AG:GB=1:1。答案：A。二、填空題（共4小題，每小題6分，共24分）在△ABC中，AD、BE、CF交于點O，若(\frac{AO}{OD}=2)，(\frac{BO}{OE}=3)，則(\frac{CO}{OF}=)________。解析：設(shè)(\frac{CO}{OF}=k)，根據(jù)塞瓦定理的面積法推論：(\frac{AO}{OD}=\frac{S_{\triangleABO}}{S_{\triangleDBO}}=\frac{S_{\triangleACO}}{S_{\triangleDCO}}=2)，設(shè)(S_{\triangleDBO}=m)，則(S_{\triangleABO}=2m)；設(shè)(S_{\triangleDCO}=n)，則(S_{\triangleACO}=2n)。由(\frac{BO}{OE}=3)，得(\frac{S_{\triangleABO}}{S_{\triangleAEO}}=3)，即(\frac{2m}{S_{\triangleAEO}}=3)→(S_{\triangleAEO}=\frac{2m}{3})。同理，(\frac{CO}{OF}=k)→(\frac{S_{\triangleACO}}{S_{\triangleAFO}}=k)→(S_{\triangleAFO}=\frac{2n}{k})。又∵(S_{\triangleABE}=S_{\triangleABO}+S_{\triangleAEO}=2m+\frac{2m}{3}=\frac{8m}{3})，(S_{\triangleCBE}=S_{\triangleCBO}+S_{\triangleCEO}=(m+n)+\frac{n}{k})（此處需結(jié)合整體面積關(guān)系，簡化：直接用塞瓦定理變形，(\frac{AO}{OD}\cdot\frac{DO}{OA}\cdot...)更簡便：根據(jù)塞瓦定理，(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1)，而(\frac{AO}{OD}=2)→(\frac{BD}{DC}=\frac{S_{\triangleABO}}{S_{\triangleACO}}=\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n})，同理(\frac{CE}{EA}=\frac{3n}{m})，(\frac{AF}{FB}=\frac{km}{3n})，三式相乘得(\frac{m}{n}\cdot\frac{3n}{m}\cdot\frac{km}{3n}=1)→(k=3)。答案：3。在△ABC中，∠A=90°，G為重心，AG=2，則BC的長為________。解析：重心G將中線AD分為AG:GD=2:1，∵AG=2，∴AD=3，即中線AD=3。在Rt△ABC中，斜邊中線AD=(\frac{1}{2})BC，∴BC=2AD=6。答案：6。如圖，△ABC中，D、E、F分別在BC、CA、AB上，AD、BE、CF交于點O，若BD=2，DC=3，CE=4，EA=5，AF=6，則FB=________。解析：直接應(yīng)用塞瓦定理：(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1)→(\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{FB}=1)→(\frac{48}{15FB}=1)→(FB=\frac{48}{15}=\frac{16}{5}=3.2)。答案：(\frac{16}{5})。在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，點P在BC上，Q在CA上，R在AB上，且AP、BQ、CR交于一點，BP=1，則CQ:QA=________（用含AR:RB的代數(shù)式表示）。解析：∵BC=4，BP=1，∴PC=3。設(shè)AR:RB=m:n（m,n>0），CQ:QA=k:1（k>0），根據(jù)塞瓦定理：(\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1)→(\frac{1}{3}\cdotk\cdot\frac{m}{n}=1)→(k=\frac{3n}{m})，即CQ:QA=3n:m=3(RB):AR。答案：3RB:AR。三、解答題（共3小題，共61分）（15分）如圖，在△ABC中，AD、BE、CF交于點O，求證：(\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1)。證明：∵(\frac{OD}{AD}=\frac{S_{\triangleOBC}}{S_{\triangleABC}})（同高三角形面積比等于底之比），同理(\frac{OE}{BE}=\frac{S_{\triangleOAC}}{S_{\triangleABC}})，(\frac{OF}{CF}=\frac{S_{\triangleOAB}}{S_{\triangleABC}})，∴(\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{\triangleOBC}+S_{\triangleOAC}+S_{\triangleOAB}}{S_{\triangleABC}}=\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleABC}}=1)。（20分）如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AD、BE、CF為三條高線，交于垂心H。求證：(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=1)。證明：∵AD、BE、CF為高線，交于H（垂心），滿足塞瓦定理條件。由第8題結(jié)論，對垂心H，有(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=1)，直接得證。（或用面積法：(\frac{HD}{AD}=\frac{S_{\triangleHBC}}{S_{\triangleABC}})，三式相加得1。）（26分）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D在BC上，BD=2，AD交∠B的平分線于E，BE交AC于F，求AF的長。解析：步驟1：求AD的長度。過A作AH⊥BC于H，∵AB=AC=5，BC=6，∴BH=3，AH=4（勾股定理：(AH=\sqrt{5^2-3^2}=4)）?！連D=2，∴DH=BH-BD=1，在Rt△AHD中，AD=(\sqrt{AH^2+DH^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17})。步驟2：應(yīng)用塞瓦定理求AF。BE為∠B的平分線，由角平分線定理：(\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{BC})？（錯誤，角平分線定理應(yīng)為(\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{BC})僅當(dāng)BE交AC于F時，正確表述：在△ABC中，BE平分∠B，交AC于F，則(\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{6})。設(shè)AF=5k，F(xiàn)C=6k，AC=AF+FC=11k=5→k=(\frac{5}{11})，AF=(\frac{25}{11})。但需驗證BE是否與AD交于E，需結(jié)合塞瓦定理：AD、BE、CF三線共點？此處CF未提及，重新修正：題目中“AD交∠B的平分線于E”，即E為AD與BE的交點，需用塞瓦定理對△ABC及點E：(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CF}{FA}\cdot\frac{AE}{ED}=1)?！連D=2，DC=4，設(shè)AE:ED=m:n，AF=x，F(xiàn)C=5-x，由角平分線定理：(\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{6})→(\frac{x}{5-x}=\frac{5}{6})→6x=25-5x→11x=25→x=(\frac{25}{11})。（另用塞瓦定理驗證：(\frac{BD}{DC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2})，(\frac{CF}{FA}=\frac{5-x}{x}=\frac{6}{5})，(\frac{AE}{ED})由AD=(\sqrt{17})，AE=