2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽容斥原理試卷一、選擇題（每題5分，共30分）某班共有40人，其中24人喜歡籃球運(yùn)動(dòng)，16人喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)，這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜歡的有6人，則喜歡籃球運(yùn)動(dòng)但不喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為（）A．17B．18C．19D．20某校高一（1）班有40名同學(xué)，其中25名參加體育活動(dòng)，15名參加科學(xué)活動(dòng)，有10名同學(xué)兩項(xiàng)活動(dòng)均未參加，則既參加體育活動(dòng)又參加科學(xué)活動(dòng)的人數(shù)為（）A．4B．6C．8D．10向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，結(jié)果顯示：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，贊成B的比贊成A的多3人，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人，則對(duì)A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為（）A．15B．18C．21D．24一群學(xué)生參加學(xué)科夏令營，每名同學(xué)至少參加一個(gè)學(xué)科考試。已知有80人參加數(shù)學(xué)考試，50人參加物理考試，45人參加化學(xué)考試，學(xué)生總數(shù)是只參加一門考試學(xué)生數(shù)的2倍，也是參加三門考試學(xué)生數(shù)的4倍，則學(xué)生總數(shù)為（）A．100B．108C．120D．前三個(gè)答案都不對(duì)某單位共有245名職工，參加乒乓球、籃球、羽毛球比賽的人數(shù)分別為140、120、108，同時(shí)參加乒乓球和籃球比賽的有72人，同時(shí)參加籃球和羽毛球比賽的有50人，同時(shí)參加三項(xiàng)比賽的有30人，三項(xiàng)比賽都不參加的有36人，則只參加羽毛球比賽的人數(shù)為（）A．21B．26C．31D．37高一（1）班共有28名學(xué)生參加比賽，有15人參加游泳比賽，8人參加田徑比賽，14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，則同時(shí)參加田徑和球類比賽的人數(shù)為（）A．5B．4C．3D．2二、填空題（每題5分，共30分）某?！疤飶竭\(yùn)動(dòng)會(huì)”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個(gè)項(xiàng)目，其中8人參加100米比賽，7人參加400米比賽，5人參加1500米比賽，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則三項(xiàng)比賽都參加的有________人。學(xué)校舉辦秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（2）班共有24名同學(xué)參加比賽，12人參加游泳比賽，9人參加田賽，13人參加徑賽，同時(shí)參加游泳和田賽的有3人，同時(shí)參加游泳和徑賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，則同時(shí)參加田賽和徑賽的有________人。某興趣班共30人，其中15人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛羽毛球運(yùn)動(dòng)，12人喜愛乒乓球但不喜愛羽毛球運(yùn)動(dòng)，則對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛的人數(shù)為________。有A、B、C三個(gè)城市，至少去過其中一個(gè)城市的有18人，去過A、B、C三個(gè)城市的分別有9人、8人、11人，同時(shí)去過A、B的有5人，同時(shí)去過B、C的有3人，同時(shí)去過A、C的有4人，則同時(shí)去過A、B、C三個(gè)城市的有________人。高一某班共有30名同學(xué)參加游泳、田徑、球類比賽，其中15人參加游泳比賽，9人參加田徑比賽，13人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳和田徑比賽的有2人，同時(shí)參加游泳和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，則只參加球類一項(xiàng)比賽的有________人。《南京照相館》《浪浪山小妖怪》《長安的荔枝》位列2025年暑期檔票房前三名。高一（1）班共有28名同學(xué)，15人觀看了《南京照相館》，8人觀看了《浪浪山小妖怪》，14人觀看了《長安的荔枝》，3人同時(shí)觀看了《南京照相館》和《浪浪山小妖怪》，3人同時(shí)觀看了《南京照相館》和《長安的荔枝》，沒有人同時(shí)觀看三部電影，則只觀看了《長安的荔枝》的人數(shù)為________人。三、解答題（共90分）（15分）某小學(xué)對(duì)小學(xué)生的課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示：參加舞蹈課外活動(dòng)的有45人，參加唱歌課外活動(dòng)的有36人，參加體育課外活動(dòng)的有50人，三種課外活動(dòng)都參加的有10人，選擇兩種課外活動(dòng)參加的有20人，不參加其中任何一種課外活動(dòng)的有8人。求接受調(diào)查的小學(xué)生總?cè)藬?shù)。（15分）用容斥原理證明：n個(gè)元素的錯(cuò)位排列數(shù)公式為$$D_n=n!\left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}\right)$$并計(jì)算當(dāng)n=5時(shí)的錯(cuò)位排列數(shù)。（20分）在1到2025的所有正整數(shù)中，求滿足以下條件的數(shù)的個(gè)數(shù)：（1）能被2或3整除；（2）能被2或3整除，但不能被5整除。（20分）某中學(xué)舉辦數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，共有100名學(xué)生參賽，其中參加數(shù)學(xué)競賽的有45人，參加物理競賽的有50人，參加化學(xué)競賽的有55人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理競賽的有20人，同時(shí)參加物理和化學(xué)競賽的有25人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)競賽的有30人。求：（1）至少參加兩科競賽的人數(shù)；（2）只參加一科競賽的人數(shù)；（3）三科競賽都參加的人數(shù)。（20分）設(shè)n為正整數(shù)，記S為{1,2,...,n}的所有子集構(gòu)成的集合，對(duì)于A∈S，定義f(A)為A中元素的和（空集的元素和為0）。求所有f(A)的總和。四、附加題（共30分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）（30分）在組合數(shù)學(xué)中，容斥原理常與生成函數(shù)結(jié)合解決復(fù)雜計(jì)數(shù)問題。已知多項(xiàng)式$$F(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k$$其中$a_k$表示集合{1,2,...,n}中不含相鄰元素的子集個(gè)數(shù)（子集元素可以為空）。（1）求$a_k$的表達(dá)式；（2）利用容斥原理證明：$F(x)=(1+x)F(x)-xF(x)+1$；（3）求F(x)的封閉形式。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡要提示）選擇題：1.B2.D3.B4.C5.A6.D填空題：7.28.29.710.211.812.8解答題：13.總?cè)藬?shù)=45+36+50-20-2×10+8=109人14.錯(cuò)位排列數(shù)$D_5=44$15.（1）1350；（2）108016.（1）60；（2）40；（3）1517.總和=$n\cdot2^{n-1}$18.（1）$a_k=C(n-k+1,k)$；（3）$F(x)=\frac{1}{1-x-x^2}$（注：完整解答過程需結(jié)合容斥原理公式$|A_1\cupA_2\cup\cd