2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽全真模擬試卷一試（共80分）一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\vertx+3\vert-3}$是定義在$(-a,a)$上的偶函數(shù)，則$a$的最大值為________。若關(guān)于$z$的復(fù)系數(shù)一元二次方程$z^2+(2+i)z+m=0$的一個根為$1-i$，則另一個根為________。設(shè)數(shù)列${a_n}$的通項公式為$a_n=\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor$，其中$\lfloorx\rfloor$表示不超過$x$的最大整數(shù)，則${a_n}$的前32項和$S_{32}=$________。已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol,\boldsymbol{c}$均為單位向量，且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，則$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+\boldsymbol\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}$的最小值為________。在梯形$ABCD$中，$AB\parallelCD$，$AB=2CD=4$，$\angleDAB=60^\circ$，$M$為$CD$邊的中點，動點$P$在$BC$邊上，$\triangleAPD$的外接圓交于點$Q$（異于點$P$），則$BQ$的最小值為________。已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的兩條漸近線互相垂直，過$C$的右焦點$F$且斜率為3的直線與$C$交于$A,B$兩點，與$C$的漸近線交于$C,D$兩點。若$\vertCD\vert=2\vertAB\vert$，則$a=$________。已知某圓臺的側(cè)面是一個圓環(huán)被圓心角為$\frac{2\pi}{3}$的扇形所截得的扇環(huán)，且圓臺的側(cè)面積為$12\pi$，則該圓臺體積的取值范圍是________。用$\Omega$表示11元集合$M={1,2,\cdots,11}$的三元子集的全體。對$\Omega$中任意一個三元子集${a,b,c}(a<b<c)$，定義$f({a,b,c})=a+b+c$，則$\sum_{S\in\Omega}f(S)$的值為________。二、解答題（本大題共3小題，共56分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本題滿分16分）已知$a,b\in\mathbb{R}$，二次函數(shù)$f(x)=x^2+ax+b$存在零點，且滿足$\vertf(1)\vert\leq1$，$\vertf(-1)\vert\leq1$，求$a^2+b^2$的最小值。（本題滿分20分）在$\triangleABC$中，$BC=2$，$\angleBAC=60^\circ$。在$AB$邊上取五等分點$D_1,D_2,D_3,D_4$，其中$AD_1<D_1D_2<D_2D_3<D_3D_4<D_4B$。記$S_k=CD_k^2(k=1,2,3,4)$，求$S_1+S_2+S_3+S_4$的值。（本題滿分20分）已知$A$是拋物線$E:y^2=2px(p>0)$上一點（異于原點），斜率為$k_1$的直線$l_1$與拋物線$E$恰有一個公共點$A$（與$x$軸不平行），斜率為$k_2$的直線$l_2$與拋物線$E$交于$B,C$兩點。若$\triangleABC$是正三角形，求$\frac{k_1}{k_2}$的取值范圍。加試（共120分）一、（本題滿分40分）設(shè)$a,b,c$均為正實數(shù)，且$a+b+c=3$，求$\frac{a^3}{b^2-b+1}+\frac{b^3}{c^2-c+1}+\frac{c^3}{a^2-a+1}$的最小值。二、（本題滿分40分）已知$\triangleABC$的內(nèi)心為$I$，三個內(nèi)角$A,B,C$的角平分線分別為$AD,BE,CF$，線段$EF$的中垂線分別與$AB,AC$交于點$M,N$。證明：$B,I,N,C$四點共圓。三、（本題滿分50分）在$n$座城市之間有兩種方式的飛行航線被執(zhí)行：任意一座城市至少和七座城市有直航；任意兩座城市可以通過有限次直航來連接。求最小的整數(shù)