2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽理想信念試卷一試（80分鐘滿分120分）一、填空題（共8小題，每題8分，滿分64分）已知函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx+2\cos^2x$，則$f(x)$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值為________。設(shè)復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-2i|=1$，且$\text{Re}(z)+\text{Im}(z)=3$，則$|z|=$________。已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為$2$，側(cè)棱長(zhǎng)為$\sqrt{5}$，則該棱錐的體積為________。在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對(duì)的邊分別為$a,b,c$，若$\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5$，且$\triangleABC$的面積為$24$，則$\triangleABC$的周長(zhǎng)為________。已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+\frac{1}{2^n}$，則數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式為$a_n=$________。從$1,2,3,4,5,6$中任取$3$個(gè)不同的數(shù)，記事件$A$為“其中至少有一個(gè)偶數(shù)”，事件$B$為“其中至少有一個(gè)奇數(shù)”，則$P(A|B)=$________。已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦點(diǎn)為$F$，過(guò)$F$且斜率為$\sqrt{3}$的直線與$C$的右支交于$A,B$兩點(diǎn)，若$|AF|=4|BF|$，則$C$的離心率為________。若關(guān)于$x$的不等式$x^2-ax+1>0$對(duì)任意$x\in[1,+\infty)$恒成立，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍為________。二、解答題（共3小題，滿分56分）（16分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\in\mathbb{R})$。（1）討論$f(x)$的單調(diào)性；（2）若$f(x)$有兩個(gè)極值點(diǎn)$x_1,x_2$，且$x_1<x_2$，證明：$f(x_2)-f(x_1)>\frac{1}{2}-\ln2$。（20分）已知橢圓$E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，過(guò)點(diǎn)$P(1,1)$的直線$l$與$E$交于$A,B$兩點(diǎn)，$M$為線段$AB$的中點(diǎn)。（1）若直線$l$的斜率為$k$，求$k$的取值范圍；（2）若$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，且$|OM|=\frac{1}{2}|AB|$，求直線$l$的方程。（20分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}(n\in\mathbb{N}^*)$。（1）證明：$a_n\geq\sqrt{2n-1}$；（2）記$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，證明：$S_n\geqn+\frac{1}{2}\lnn$。二試（170分鐘滿分180分）一、（40分）平面幾何如圖，在銳角$\triangleABC$中，$AB>AC$，$O$為外心，$H$為垂心，$AD$為$BC$邊上的高，$M$為$BC$的中點(diǎn)。過(guò)$H$作$AD$的垂線，垂足為$K$，直線$KO$與$BC$交于點(diǎn)$N$。證明：$MN=ND$。二、（40分）代數(shù)已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，數(shù)列${x_n}$滿足$x_1=2$，$x_{n+1}=f(x_n)$。（1）證明：當(dāng)$n\geq1$時(shí)，$x_n\geq2$；（2）記$y_n=\frac{x_n-1}{x_n+1}$，證明：數(shù)列${\lny_n}$為等比數(shù)列，并求$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$。三、（50分?jǐn)?shù)論）設(shè)$p$為奇素?cái)?shù)，$a,b,c$為正整數(shù)，且$a+b+c=p$。證明：$ab+bc+ca\leq\frac{p^2}{3}$，并求等號(hào)成立的條件。四、（50分）組合數(shù)學(xué)在一個(gè)$n\timesn$的方格表中，每個(gè)格子內(nèi)填入$0$或$1$，若任意$2\times2$的子方格表中都含有偶數(shù)個(gè)$1$，則稱該方格表為“平衡表”。求平衡表的個(gè)數(shù)。注：一試主要考查高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)，側(cè)重基礎(chǔ)與應(yīng)用；二試聚焦幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四大板塊，強(qiáng)調(diào)邏輯推理與創(chuàng)新思維。試卷設(shè)計(jì)參考全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽結(jié)