2025年下學期高中數(shù)學競賽輔導專題試卷一、函數(shù)與導數(shù)綜合題（一）單調性與極值綜合應用例題1已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3(a^2-1)x+1$（$a\in\mathbb{R}$），討論函數(shù)$f(x)$的單調性，并求出其極值點。解析求導分析：對$f(x)$求導得$f'(x)=3x^2-6ax+3(a^2-1)=3(x^2-2ax+a^2-1)=3[(x-a)^2-1]$，化簡后可得$f'(x)=3(x-a-1)(x-a+1)$。導數(shù)零點：令$f'(x)=0$，解得$x_1=a-1$，$x_2=a+1$，且$x_1<x_2$。單調性判斷：當$x\in(-\infty,a-1)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)$f(x)$單調遞增；當$x\in(a-1,a+1)$時，$f'(x)<0$，函數(shù)$f(x)$單調遞減；當$x\in(a+1,+\infty)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)$f(x)$單調遞增。極值點確定：因此，$x=a-1$為極大值點，$x=a+1$為極小值點。變式訓練若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[1,4]$上存在最小值，求實數(shù)$a$的取值范圍。提示：需結合極值點位置與區(qū)間$[1,4]$的關系分類討論，重點關注極小值點$x=a+1$是否在區(qū)間內，或區(qū)間端點函數(shù)值是否更小。（二）不等式恒成立問題例題2設函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}$（$a\in\mathbb{R}$），若對任意$x\in(1,+\infty)$，都有$f(x)>\frac{1}{x}-e^{1-x}$成立，求$a$的取值范圍。解析不等式變形：將不等式轉化為$\lnx+\frac{a}{x}>\frac{1}{x}-e^{1-x}$，移項得$a>1-x\lnx-xe^{1-x}$對$x\in(1,+\infty)$恒成立。構造函數(shù)：令$g(x)=1-x\lnx-xe^{1-x}$，只需$a>g(x)_{\max}$。求導分析$g(x)$：對$g(x)$求導：$g'(x)=-(\lnx+1)-[e^{1-x}+x(-e^{1-x})]=-\lnx-1-e^{1-x}+xe^{1-x}$。化簡得$g'(x)=-\lnx-1+e^{1-x}(x-1)$。當$x>1$時，$-\lnx-1<0$，$x-1>0$，$e^{1-x}>0$，但需進一步判斷符號。令$h(x)=e^{1-x}(x-1)$，則$h'(x)=e^{1-x}(1)-(x-1)e^{1-x}=e^{1-x}(2-x)$，可知$h(x)$在$(1,2)$遞增，$(2,+\infty)$遞減，$h(x)_{\max}=h(2)=\frac{1}{e}$。而當$x>1$時，$-\lnx-1<-1$，因此$g'(x)=(-\lnx-1)+h(x)<-1+\frac{1}{e}<0$，即$g(x)$在$(1,+\infty)$單調遞減。求最值：$g(x)$在$x\in(1,+\infty)$上單調遞減，故$g(x)<g(1)=1-0-1\timese^{0}=0$，因此$a\geq0$。二、數(shù)列與不等式證明（一）遞推數(shù)列的通項與求和例題3已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}$（$n\in\mathbb{N}^*$），數(shù)列${b_n}$滿足$b_n=a_n^2$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$S_n$。解析求${a_n}$的通項：對遞推式$a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}$兩邊取倒數(shù)，得$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2a_n+1}{a_n}=2+\frac{1}{a_n}$，即$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=2$。因此，${\frac{1}{a_n}}$是以$\frac{1}{a_1}=1$為首項，公差為2的等差數(shù)列，故$\frac{1}{a_n}=1+2(n-1)=2n-1$，從而$a_n=\frac{1}{2n-1}$。求${b_n}$的前$n$項和：$b_n=a_n^2=\frac{1}{(2n-1)^2}$，需計算$S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)^2}$。放縮法求和：注意到$\frac{1}{(2k-1)^2}<\frac{1}{(2k-2)(2k)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-2}-\frac{1}{2k}\right)$（$k\geq2$），因此：[S_n=1+\sum_{k=2}^n\frac{1}{(2k-1)^2}<1+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-2}-\frac{1}{2n}\right)\right]=1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{5}{4}-\frac{1}{4n}<\frac{5}{4}]（二）不等式證明中的放縮技巧例題4證明：對任意$n\in\mathbb{N}^*$，$\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}$。證明裂項放縮：利用不等式$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{2\sqrt{k}}$，即$\frac{1}{\sqrt{k}}<2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$。累加求和：[\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sum_{k=1}^n(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=2[(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})]=2(\sqrt{n+1}-1)]強化結論：由于$\sqrt{n+1}-1<\sqrt{n}$（可通過平方差驗證：$(\sqrt{n+1}-1)^2=n+2-2\sqrt{n+1}<n$），因此$\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}$。三、立體幾何與空間向量（一）空間幾何體的體積與距離例題5如圖，在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$為棱$C_1D_1$的中點，$F$為棱$BB_1$上一點，且$B_1F=\frac{1}{3}BB_1$，求三棱錐$F-AEC$的體積。解析坐標系建立：以$D$為原點，$DA,DC,DD_1$為$x,y,z$軸建立空間直角坐標系，各點坐標為：$A(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$E(0,1,2)$，$F(2,2,\frac{4}{3})$（因為$BB_1=2$，$B_1F=\frac{2}{3}$，故$BF=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$）。向量求體積：求出三棱錐$F-AEC$的底面$\triangleAEC$的法向量與高。$\overrightarrow{EA}=(2,-1,-2)$，$\overrightarrow{EC}=(0,1,-2)$，設平面$AEC$的法向量$\mathbf{n}=(x,y,z)$，則$\begin{cases}\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{EA}=2x-y-2z=0\\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{EC}=y-2z=0\end{cases}$，取$z=1$，解得$y=2$，$x=2$，即$\mathbf{n}=(2,2,1)$。向量$\overrightarrow{EF}=(2,1,-\frac{2}{3})$，點$F$到平面$AEC$的距離$d=\frac{|\overrightarrow{EF}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}=\frac{|4+2-\frac{2}{3}|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{\frac{16}{3}}{3}=\frac{16}{9}$。$\triangleAEC$的面積：$|\overrightarrow{EA}|=\sqrt{4+1+4}=3$，$|\overrightarrow{EC}|=\sqrt{0+1+4}=\sqrt{5}$，$\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EC}=0-1+4=3$，$\cos\theta=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\sin\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}$，面積$S=\frac{1}{2}\times3\times\sqrt{5}\times\frac{2}{\sqrt{5}}=3$。體積$V=\frac{1}{3}Sd=\frac{1}{3}\times3\times\frac{16}{9}=\frac{16}{9}$。（二）空間角的計算例題6在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，求二面角$B-PC-A$的余弦值。解析坐標系建立：以$A$為原點，$AB,AC,AP$為$x,y,z$軸，坐標為$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$P(0,0,3)$。求平面法向量：平面$APC$：由$AP\perpAC$，取法向量$\mathbf{n_1}=\overrightarrow{AB}=(2,0,0)$。平面$BPC$：向量$\overrightarrow{PC}=(0,2,-3)$，$\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)$，設法向量$\mathbf{n_2}=(x,y,z)$，則$\begin{cases}2y-3z=0\-2x+2y=0\end{cases}$，取$y=3$，得$x=3$，$z=2$，即$\mathbf{n_2}=(3,3,2)$。計算二面角余弦值：$\cos\langle\mathbf{n_1},\mathbf{n_2}\rangle=\frac{\mathbf{n_1}\cdot\mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}||\mathbf{n_2}|}=\frac{2\times3+0+0}{2\times\sqrt{9+9+4}}=\frac{6}{2\sqrt{22}}=\frac{3}{\sqrt{22}}=\frac{3\sqrt{22}}{22}$。由于二面角$B-PC-A$為銳二面角，故余弦值為$\frac{3\sqrt{22}}{22}$。四、解析幾何與圓錐曲線（一）橢圓的方程與性質例題7已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦點為$F(2\sqrt{3},0)$，過點$F$的直線$l$交橢圓于$A,B$兩點，若$AB$的中點為$M(4,-1)$，求直線$l$的方程。解析求橢圓方程：離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$c=2\sqrt{3}$，故$a=4$，$b^2=a^2-c^2=16-12=4$，橢圓方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。點差法求斜率：設$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，代入橢圓方程得$\frac{x_1^2}{16}+\frac{y_1^2}{4}=1$，$\frac{x_2^2}{16}+\frac{y_2^2}{4}=1$，兩式相減：$\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{16}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{4}=0$。中點$M(4,-1)$，則$x_1+x_2=8$，$y_1+y_2=-2$，代入得$\frac{(x_1-x_2)\times8}{16}+\frac{(y_1-y_2)\times(-2)}{4}=0$，化簡得$\frac{x_1-x_2}{2}-\frac{(y_1-y_2)}{2}=0$，即$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=1$，因此直線$l$的斜率$k=1$。直線方程：$y-(-1)=1\times(x-4)$，即$x-y-5=0$。（二）拋物線中的最值問題例題8已知拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，點$P$是拋物線上一動點，點$A(3,2)$，求$|PA|+|PF|$的最小值及此時點$P$的坐標。解析拋物線定義轉化：拋物線$y^2=4x$的準線為$x=-1$，由定義知$|PF|=d$（$d$為點$P$到準線的距離），因此$|PA|+|PF|=|PA|+d$。幾何意義分析：$|PA|+d$表示點$P$到點$A$的距離與到準線$x=-1$的距離之和，當$P,A$兩點與準線垂直時，距離之和最小（即$A$點到準線的距離）。計算最小值：$A(3,2)$到準線$x=-1$的距離為$3-(-1)=4$，此時點$P$的縱坐標與$A$相同，即$y=2$，代入拋物線方程得$x=1$，故$P(1,2)$，最小值為$4$。五、數(shù)論初步與組合數(shù)學（一）整除性問題例題9證明：對任意正整數(shù)$n$，$n^3+5n$能被$6$整除。證明分解因式：$n^3+5n=n(n^2+5)=n(n^2-1+6)=n(n-1)(n+1)+6n$。整除分析：$n(n-1)(n+1)$為三個連續(xù)正整數(shù)的乘積，必能被$2$和$3$整除，因此能被$6$整除；$6n$顯然能被$6$整除，故兩者之和能被$6$整除，即$n^3+5n\equiv0\pmod{6}$。（二）組合計數(shù)中的容斥原理例題10從$1$到$100$的正整數(shù)中，能被$2$或$3$整除的數(shù)有多少個？解析容斥原理公式：$|A\cupB|=|A|+|B|-|A\capB|$，其中$A$為能被$2$整除的數(shù)集，$B$為能被$3$整除的數(shù)集。計算集合元素個數(shù)：$|A|=\lfloor\frac{100}{2}\rfloor=50$，$|B|=\lfloor\frac{100}{3}\rfloor=33$，$|A\capB|=\lfloor\frac{100}{6}\rfloor=16$。結果：$|A\cupB|=50+33-16=67$。六、模擬訓練題（一）填空題函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的最大值為__________。數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則$a_n=$__________。在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，異面直線$A_1B$與$AC$所成角的大小為__________。（二）解答題已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$（$a\in\mathbb{R}$），若$f(x)\geq0$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，求$a