2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)國際組織模擬試卷一、選擇題（每小題6分，共36分）若函數(shù)$f(x)=2x+3$，則$f(-1)$的值為（）A.-1B.1C.-5D.5在直角坐標(biāo)系中，點$A(2,3)$，點$B(-1,2)$，則線段$AB$的中點坐標(biāo)為（）A.$(1,2.5)$B.$(1.5,2.5)$C.$(2.5,1.5)$D.$(1.5,1.5)$若等差數(shù)列${a_n}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項$a_n$的表達(dá)式為（）A.$a_n=a_1+(n-1)d$B.$a_n=a_1-(n-1)d$C.$a_n=a_1+nd$D.$a_n=a_1-nd$函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，則$a$的取值范圍是（）A.$a>0$B.$a<0$C.$a=0$D.$a≠0$在三角形$ABC$中，若$\angleA=45^\circ$，$\angleB=60^\circ$，則$\angleC$的度數(shù)是（）A.$45^\circ$B.$60^\circ$C.$75^\circ$D.$90^\circ$已知函數(shù)$f(x)=\log_2x$，則$f(8)$的值為（）A.2B.3C.4D.8二、填空題（每小題6分，共36分）若等比數(shù)列${a_n}$的首項為$a_1$，公比為$q$，則第$n$項$a_n$的表達(dá)式為______。函數(shù)$y=\sqrt{x-2}$的定義域為______。在直角坐標(biāo)系中，點$P(3,4)$關(guān)于原點的對稱點坐標(biāo)為______。若等差數(shù)列${a_n}$的首項$a_1=2$，公差$d=3$，則前$n$項和$S_n$的表達(dá)式為______。函數(shù)$y=|x-1|$的最小值為______。若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$為銳角，則$\cos\alpha$的值為______。三、解答題（共4小題，每小題20分，共80分）13.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（1）已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，求$f(x)$的圖像的頂點坐標(biāo)及對稱軸方程。（2）已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并求出函數(shù)的極值點。14.數(shù)列與不等式（1）已知等差數(shù)列${a_n}$的首項$a_1=2$，公差$d=3$，求第10項$a_{10}$及前10項和$S_{10}$。（2）已知等比數(shù)列${b_n}$的首項$b_1=4$，公比$q=2$，證明：對任意正整數(shù)$n$，$b_n\leq2^{n+1}$。15.幾何證明（1）在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，$D$為$BC$的中點，求證：$AD\perpBC$。（2）已知正方形$ABCD$的邊長為2，點$E$、$F$分別在邊$AB$、$CD$上，且$BE=CF=1$，連接$AE$、$DF$，求證：四邊形$AEFD$是平行四邊形。16.概率與統(tǒng)計（1）一個袋子中裝有5個紅球和3個白球，從中隨機(jī)取出2個球，求取出的2個球都是紅球的概率。（2）某班有30名學(xué)生，其中10名男生、20名女生，從中隨機(jī)選擇3名學(xué)生參加活動，求至少有1名女生的概率。四、綜合應(yīng)用題（共2小題，每小題25分，共50分）17.解析幾何已知直線$l$經(jīng)過點$A(3,0)$和$B(0,4)$，點$P(x,y)$是線段$AB$上的一動點。（1）求直線$l$的方程；（2）若$\angleAPB=60^\circ$，求點$P$的坐標(biāo)；（3）求$\triangleAOP$（$O$為原點）面積的最大值。18.組合數(shù)學(xué)與數(shù)論（1）有5個不同的球，隨機(jī)放入3個不同的盒子中，求每個盒子至少放1個球的放法數(shù)；（2）設(shè)$p$為奇素數(shù)，證明：若$p$能整除$m^2+1$，則$p\equiv1\pmod{4}$。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題B2.A3.A4.A5.C6.B二、填空題$a_n=a_1q^{n-1}$8.$[2,+\infty)$9.$(-3,-4)$10.$S_n=\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n$11.012.$\frac{4}{5}$三、解答題13.（1）$f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，頂點坐標(biāo)為$(2,-1)$，對稱軸方程為$x=2$。（10分）13.（2）$f'(x)=6x^2-6x$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=1$。經(jīng)檢驗，$x=1$為極小值點，$x=0$為極大值點。（10分）14.（1）$a_{10}=a_1+9d=2+9\times3=29$，$S_{10}=\frac{10}{2}(2a_1+9d)=5\times(4+27)=155$。（10分）14.（2）$b_n=4\times2^{n-1}=2^{n+1}$，故$b_n=2^{n+1}\leq2^{n+1}$，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)$n=1$。（10分）15.（1）證明：在$\triangleABD$和$\triangleACD$中，$AB=AC$，$BD=CD$，$AD=AD$，故$\triangleABD\cong\triangleACD$（SSS），因此$\angleADB=\angleADC=90^\circ$，即$AD\perpBC$。（10分）15.（2）證明：在正方形$ABCD$中，$AB\parallelCD$且$AB=CD$。因為$BE=CF=1$，所以$AE=AB-BE=1$，$DF=CD-CF=1$，故$AE=DF$。又$AE\parallelDF$，因此四邊形$AEFD$是平行四邊形。（10分）16.（1）總?cè)》〝?shù)為$\binom{8}{2}=28$，紅球取法數(shù)為$\binom{5}{2}=10$，概率為$\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$。（10分）16.（2）“至少有1名女生”的對立事件為“全是男生”，概率為$1-\frac{\binom{10}{3}}{\binom{30}{3}}=1-\frac{120}{4060}=\frac{3940}{4060}=\frac{197}{203}$。（10分）四、綜合應(yīng)用題17.（1）直線$l$的方程為$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$，即$4x+3y-12=0$。（8分）17.（2）設(shè)$P(x,y)$，由$AB=5$，根據(jù)余弦定理：$PA^2+PB^2-2PA\cdotPB\cos60^\circ=AB^2$，結(jié)合$4x+3y=12$，解得$P\left(\frac{3}{2},\frac{2}{3}\right)$。（8分）17.（3）$S_{\triangleAOP}=\frac{1}{2}\times3\timesy=\frac{3}{2}y$，當(dāng)$y=4$時，面積最大為6。（9分）18.（1）總放法數(shù)為$3^5=243$，減去空盒情況：$C_3^1\times2^5-C_3^2\times1^5=3\times32-3\times1=93$，故每個盒子至少1個球的放法數(shù)為$243-93=150$。（12分）18.（2）由$m^2\equiv-1\pmod{p}$，兩邊平方得$m^4\equiv1\pmod{p}$，故$m