2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)國際班試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)（）A.(\frac{\sqrt{5}}{2})B.(\frac{3\sqrt{2}}{2})C.(\frac{5}{2})D.(\frac{\sqrt{10}}{2})設(shè)集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.(\varnothing)函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期為（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)（）A.3B.4C.5D.6某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(20\pi)（注：此處默認三視圖為“一個圓柱挖去一個同底等高的圓錐”，底面半徑2cm，高3cm）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_1=2)，(S_3=14)，則公比(q=)（）A.2B.-3C.2或-3D.-2或3若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為（）A.5B.6C.7D.8已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)處取得極值，則(a=)（）A.-6B.-3C.3D.6在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})，則(c=)（）A.(\sqrt{10})B.(\sqrt{11})C.(\sqrt{12})D.(\sqrt{13})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_{\frac{1}{2}}x,&x>0\end{cases})，則(f(f(4))=)（）A.(\frac{1}{4})B.(\frac{1}{2})C.2D.4二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）曲線(y=x^2+\lnx)在點((1,1))處的切線方程為________。若((x+\frac{a}{x})^6)的展開式中(x^2)的系數(shù)為60，則實數(shù)(a=)________。已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，且過點((2,\sqrt{6}))，則該雙曲線的標準方程為________。從2，3，5，7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可得到________個不同的對數(shù)值。已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x+m)有三個不同的零點，則實數(shù)(m)的取值范圍是________。三、解答題（本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，且(2\cosA(b\cosC+c\cosB)=a)。（1）求角(A)的大?。唬?）若(a=\sqrt{3})，(\triangleABC)的面積為(\frac{3\sqrt{3}}{4})，求(b+c)的值。解：（1）由正弦定理得(2\cosA(\sinB\cosC+\sinC\cosB)=\sinA)，即(2\cosA\cdot\sin(B+C)=\sinA)。因為(A+B+C=\pi)，所以(\sin(B+C)=\sinA)，則(2\cosA\cdot\sinA=\sinA)。又(\sinA\neq0)，故(\cosA=\frac{1}{2})。因為(A\in(0,\pi))，所以(A=\frac{\pi}{3})。（2）由三角形面積公式得(\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{3\sqrt{3}}{4})，即(\frac{1}{2}bc\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4})，解得(bc=3)。由余弦定理得(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)，即(3=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc)。將(bc=3)代入得((b+c)^2=12)，故(b+c=2\sqrt{3})。17.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求直線(A_1D)與平面(B_1DE)所成角的正弦值。（1）證明：連接(A_1B)，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(B_1C_1\parallelBC)且(B_1C_1=BC)。因為(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點，所以(BD\parallelB_1E)且(BD=B_1E)，則四邊形(BDEB_1)為平行四邊形，故(DE\parallelB_1B)。又(DE\not\subset)平面(ABB_1A_1)，(B_1B\subset)平面(ABB_1A_1)，所以(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)。（2）解：以(A)為原點，(AB,AC,AA_1)所在直線分別為(x,y,z)軸建立空間直角坐標系，則(A_1(0,0,2))，(D(1,1,0))，(B_1(2,0,2))，(E(1,1,2))。(\vec{A_1D}=(1,1,-2))，(\vec{B_1D}=(-1,1,-2))，(\vec{B_1E}=(-1,1,0))。設(shè)平面(B_1DE)的法向量為(\vec{n}=(x,y,z))，則(\begin{cases}\vec{n}\cdot\vec{B_1D}=-x+y-2z=0\\vec{n}\cdot\vec{B_1E}=-x+y=0\end{cases})，令(x=1)，得(y=1)，(z=0)，故(\vec{n}=(1,1,0))。設(shè)直線(A_1D)與平面(B_1DE)所成角為(\theta)，則(\sin\theta=|\cos\langle\vec{A_1D},\vec{n}\rangle|=\frac{|\vec{A_1D}\cdot\vec{n}|}{|\vec{A_1D}|\cdot|\vec{n}|}=\frac{|1+1+0|}{\sqrt{1+1+4}\cdot\sqrt{1+1}}=\frac{2}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3})。18.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）若數(shù)列({b_n})滿足(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(T_n)。解：（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，由題意得(\begin{cases}a_1+d=5\5a_1+\frac{5\times4}{2}d=35\end{cases})，即(\begin{cases}a_1+d=5\a_1+2d=7\end{cases})，解得(a_1=3)，(d=2)。故(a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1)。（2）由（1）得(b_n=2^{a_n}=2^{2n+1}=2\cdot4^n)，則數(shù)列({b_n})是首項為(b_1=2\cdot4^1=8)，公比為4的等比數(shù)列。故(T_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{8(1-4^n)}{1-4}=\frac{8(4^n-1)}{3}=\frac{2^{2n+3}-8}{3})。19.（本小題滿分12分）為了調(diào)查某地區(qū)高中生每天的睡眠時間，隨機抽取了該地區(qū)100名高中生，得到他們每天睡眠時間（單位：小時）的頻率分布直方圖（如圖所示）。（注：頻率分布直方圖中，組距為1，區(qū)間分別為[5,6)，[6,7)，[7,8)，[8,9)，[9,10]，對應(yīng)的頻率分別為0.05，0.20，0.35，0.30，0.10）（1）求這100名高中生每天睡眠時間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）若用分層抽樣的方法從睡眠時間在[5,6)和[9,10]的高中生中抽取5人，再從這5人中隨機選取2人，求這2人睡眠時間在不同區(qū)間的概率。解：（1）平均數(shù)：(\bar{x}=5.5\times0.05+6.5\times0.20+7.5\times0.35+8.5\times0.30+9.5\times0.10)(=0.275+1.3+2.625+2.55+0.95=7.7)（小時）。中位數(shù)：設(shè)中位數(shù)為(m)，因為前兩組頻率之和為(0.05+0.20=0.25<0.5)，前三組頻率之和為(0.25+0.35=0.6>0.5)，故(m\in[7,8))。由(0.25+(m-7)\times0.35=0.5)，解得(m=7+\frac{0.25}{0.35}\approx7.71)（小時）。（2）睡眠時間在[5,6)的人數(shù)為(100\times0.05=5)人，在[9,10]的人數(shù)為(100\times0.10=10)人。分層抽樣的抽樣比為(\frac{5}{5+10}=\frac{1}{3})，故從[5,6)中抽取(5\times\frac{1}{3}\approx1.67)（此處修正為整數(shù)，實際應(yīng)為1人和4人，因5人按比例分配：5×(5/15)=1，10×(5/15)=4），記[5,6)的1人為(A)，[9,10]的4人為(B_1,B_2,B_3,B_4)。從5人中選2人的基本事件共(\text{C}_5^2=10)種，其中2人在不同區(qū)間的事件有(1\times4=4)種，故所求概率(P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5})。20.（本小題滿分13分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標原點，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（1）解：由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，又(a^2=b^2+c^2)，故(b^2=a^2-c^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2)，即(a^2=4b^2)。將點((2,1))代入橢圓方程得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1)，將(a^2=4b^2)代入得(\frac{4}{4b^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{2}{b^2}=1)，解得(b^2=2)，則(a^2=8)。故橢圓(C)的標準方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）證明：聯(lián)立(\begin{cases}y=kx+m\\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\end{cases})，消去(y)得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)。設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由(k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4})，得(4y_1y_2=-x_1x_2)。因為(y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2)，代入得(4[k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2]=-x_1x_2)，整理得((4k^2+1)x_1x_2+4km(x_1+x_2)+4m^2=0)。將(x_1+x_2)和(x_1x_2)代入上式，化簡得(4m^2=8k^2+2)，即(m^2=2k^2+\frac{1}{2})。弦長(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{2(1+4k^2-m^2)}}{1+4k^2})，原點(O)到直線(l)的距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，則(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|AB|\cdotd=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{1+4k^2-m^2}\cdot|m|}{1+4k^2})。將(m^2=2k^2+\frac{1}{2})代入得(1+4k^2-m^2=2k^2+\frac{1}{2}=m^2)，故(S_{\triangleAOB}=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{m^2}\cdot|m|}{1+4k^2}=2\sqrt{2}\cdot\frac{m^2}{1+4k^2})。又(1+4k^2=2m^2)，所以(S_{\triangleAOB}=2\sqrt{2}\cdot\frac{m^2}{2m^2}=\sqrt{2})（定值）。21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})，(e)為自然對數(shù)的底數(shù)）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}>\ln(n+1))（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）解：(f'(x)=e^x-a)。當(a\leq0)時，(f'(x)=e^x-a>0)恒成立，故(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增；當(a>0)時，令(f'(x)=0)，得(x=\lna)。當(x<\lna)時，(f'(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減；當(x>\lna)時，(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增。（2）解：由（1）知，當(a\leq0)時，(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增，又(f(0)=e^0-0-1=0)，當(x<0)時，(f(x)<f(0)=0)，不滿足題意。當(a>0)時，(f(x))在(x=\lna)處取得最小值(f(\lna)=a-a\lna-1)。令(g(a)=a-a\lna-1)（(a>0)），則(g'(a)=1-(\lna+1)=-\lna)。當(a\in(0,1))時，(g'(a)>0)，(g(a))單調(diào)遞增；當(a\in(1,+\infty))時，(g'(a)<0)，(g(a))單調(diào)遞減。故(g(a)\leqg(1)=0)，當且僅當(a=1)時取等號。因此，若(f(x)\geq0)恒成立，則(a=1)。（3）證明：由（2）知，當(a=1)時，(e^x\geqx+1)，當且僅當(x=0)時取等號。令(x=\ln\frac{n+1}{n})（(n\in\mathbb{N}^*)），則(e^{\ln\frac{n+1}{n}}>\ln\frac{n+1}{n}+1)，即(\frac{n+1}{n}>\ln\frac{n+1}{n}+1)，整理得(\frac{1}{n}>\ln\frac{n+1}{n})。故(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1})。又(\sum_{k=1}^n\ln\frac{k+1}{k}=\ln(n+1))，且(\frac{1}{k}>\ln\frac{k+1}{k})，所以(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\righ