2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新實(shí)踐能力試卷一、基礎(chǔ)應(yīng)用題（本大題共5小題，每小題12分，共60分）1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用某科技公司研發(fā)的智能溫控系統(tǒng)的散熱效率(f(t))（單位：(\text{W/℃})）與工作時(shí)間(t)（單位：小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為(f(t)=t^3-6t^2+9t+10)，其中(t\in[0,5])。（1）求系統(tǒng)散熱效率最低的時(shí)刻及對(duì)應(yīng)效率值；（2）若該系統(tǒng)的散熱功率(P(t)=f(t)\cdot(10-t))，求工作期間功率的最大值。解析思路：（1）通過(guò)求導(dǎo)(f'(t)=3t^2-12t+9)，令導(dǎo)數(shù)為零得極值點(diǎn)(t=1)和(t=3)，比較區(qū)間端點(diǎn)及極值點(diǎn)函數(shù)值，可得(t=3)時(shí)散熱效率最低，(f(3)=10)。（2）化簡(jiǎn)(P(t)=-t^4+16t^3-51t^2+80t+100)，求導(dǎo)后分析單調(diào)性，得(t=2)時(shí)功率最大，(P(2)=168)。2.立體幾何與空間向量如圖，直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(D-AC_1-C)的余弦值。解析思路：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面(ADC_1)的法向量(\vec{n})，證明(\vec{A_1B}\cdot\vec{n}=0)即可。（2）分別求出平面(ADC_1)和平面(ACC_1)的法向量，利用向量夾角公式求得余弦值為(\frac{\sqrt{6}}{6})。3.概率與統(tǒng)計(jì)某工廠生產(chǎn)的電子元件壽命(X)（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布(N(1000,\sigma^2))，現(xiàn)隨機(jī)抽取100個(gè)元件進(jìn)行測(cè)試，得到樣本均值(\bar{x}=995)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差(s=50)。（1）在顯著性水平(\alpha=0.05)下，檢驗(yàn)這批元件的平均壽命是否顯著低于1000小時(shí)；（2）若元件壽命低于900小時(shí)為不合格品，估計(jì)該批產(chǎn)品的合格率。解析思路：（1）采用(t)檢驗(yàn)，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量(t=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=-1)，對(duì)比臨界值(t_{0.05}(99)\approx1.66)，接受原假設(shè)。（2）計(jì)算(P(X\geq900)=1-\Phi\left(\frac{900-1000}{50}\right)=1-\Phi(-2)=0.9772)，合格率約為97.72%。4.數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法已知數(shù)列({a_n})滿(mǎn)足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2})。（1）求({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(\sum_{k=1}^na_ka_{k+1}<2)。解析思路：（1）取倒數(shù)得(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2})，故(\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2})，即(a_n=\frac{2}{n+1})。（2）裂項(xiàng)相消得(\sum_{k=1}^na_ka_{k+1}=2\left(1-\frac{1}{n+2}\right)<2)，歸納法證明時(shí)注意從(n=k)到(n=k+1)的不等式放縮。5.解析幾何已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，右焦點(diǎn)為(F(2\sqrt{3},0))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)(F)的直線(l)與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，求直線(l)的斜率。解析思路：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(c=2\sqrt{3})，得(a=4)，(b=2)，方程為(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1)。（2）設(shè)直線(l:y=k(x-2\sqrt{3}))，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量關(guān)系求得(k=\pm\frac{\sqrt{5}}{2})。二、綜合創(chuàng)新題（本大題共2小題，每小題20分，共40分）6.函數(shù)與不等式綜合已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-\sinx)。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，證明：(f(x)\geq0)對(duì)(x\in[0,+\infty))恒成立；（2）若(f(x))在((0,\pi))上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解析思路：（1）求導(dǎo)(f'(x)=e^x-1-\cosx)，再求導(dǎo)得(f''(x)=e^x+\sinx\geq1>0)，故(f'(x))單調(diào)遞增，(f'(x)\geqf'(0)=0)，(f(x))單調(diào)遞增，(f(x)\geqf(0)=1)。（2）(f'(x)=e^x-a-\cosx)，分析(f'(x))在((0,\pi))的零點(diǎn)情況，得(a\in(1,e^\pi+1))。7.立體幾何與動(dòng)態(tài)問(wèn)題在棱長(zhǎng)為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)(P)在棱(CC_1)上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），平面(PBD)交棱(AA_1)于點(diǎn)(Q)。（1）證明：(A_1Q=CP)；（2）當(dāng)(CP=t)時(shí)，求三棱錐(P-BDQ)的體積(V(t))，并求(V(t))的最大值。解析思路：（1）建立坐標(biāo)系，設(shè)(CP=t)，求出平面(PBD)的方程，令(z=2)得(Q(2,0,2-t))，故(A_1Q=t)。（2）利用等體積法(V(t)=\frac{1}{3}S_{\triangleBDQ}\cdoth)，求得(V(t)=\frac{2}{3}t(2-t))，當(dāng)(t=1)時(shí)最大值為(\frac{2}{3})。三、開(kāi)放探究題（本大題共1小題，40分）8.數(shù)學(xué)建模與優(yōu)化背景：某社區(qū)計(jì)劃建造一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，要求廣場(chǎng)面積不小于1000m2，且四周修建寬度為2m的綠化帶。設(shè)廣場(chǎng)長(zhǎng)為(x)m，寬為(y)m，綠化帶造價(jià)為100元/m2，廣場(chǎng)地面硬化造價(jià)為200元/m2。問(wèn)題：（1）建立總造價(jià)(C)關(guān)于(x,y)的函數(shù)關(guān)系式；（2）在滿(mǎn)足面積要求的前提下，如何設(shè)計(jì)廣場(chǎng)尺寸使總造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少？（3）若綠化帶寬度可調(diào)整（范圍1~3m），重新討論造價(jià)最低的方案，并分析寬度對(duì)最優(yōu)尺寸的影響。解析思路：（1）總造價(jià)(C=200xy+100[(x+4)(y+4)-xy]=100xy+400x+400y+1600)，約束條件(xy\geq1000)。（2）利用基本不等式，當(dāng)(x=y=10\sqrt{10}\approx31.62)m時(shí)，造價(jià)最低，(C_{\text{min}}=100\times1000+400\times2\times10\sqrt{10}+1600\approx126278)元。（3）設(shè)綠化帶寬度為(d)，則(C=100xy+400d(x+y)+1600d^2)，最優(yōu)解滿(mǎn)