2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)IMO試卷第一天（4.5小時）第一題（幾何）在銳角三角形ABC中，AB=AC，點D為邊BC的中點，點E在邊AB上，滿足AE=ED，點F在邊AC上，滿足AF=FD。求證：B、E、F、C四點共圓。解答思路：連接AD，由AB=AC及D為BC中點可知AD⊥BC。設(shè)∠BAD=∠CAD=α，通過AE=ED可得∠AED=180°-2α，進而推出∠BED=2α。同理可證∠CFD=2α，結(jié)合對頂角相等可證∠BEC=∠BFC，根據(jù)四點共圓判定定理完成證明。第二題（代數(shù)）設(shè)正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=3，求證：[\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3+\frac{4}{3}\max{(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2}]解答思路：采用柯西不等式證明左側(cè)≥3，再通過作差法構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2/(3-x)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)凹凸性，結(jié)合絕對值不等式放縮得到右側(cè)附加項。需分a≥b≥c和a≥c≥b兩種情況討論，注意等號成立條件為a=b=c=1或兩變量相等、第三變量為1的特殊情形。第三題（組合）在7×7方格表中，每個單元格填入0或1。若存在2×2子方格表中四個數(shù)之和為偶數(shù)，則稱該方格表為“平衡表”。求所有平衡表的個數(shù)。解答思路：采用容斥原理，先計算總表數(shù)2??，再減去非平衡表（所有2×2子方格表和為奇數(shù)）的個數(shù)。通過建立遞推關(guān)系證明非平衡表的第一行有2種填法，后續(xù)每行由前一行唯一確定，且最后一行需滿足與第六行的約束條件，最終得出非平衡表共2×2=4個，故平衡表個數(shù)為2??-4。第二天（4.5小時）第四題（數(shù)論）求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)a,b,c滿足：[n=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}]解答思路：先證明n=1時存在解(a,b,c)=(1,1,1)。假設(shè)n≥2，通過不等式放縮得a2+b2+c2≥n(ab+bc+ca)，設(shè)a≥b≥c，令x=a/b,y=b/c，轉(zhuǎn)化為x2+1+y2≥n(x+xy+y)，結(jié)合x,y≥1的整數(shù)性質(zhì)，證明僅當(dāng)x=y=1時成立，從而n=1是唯一解。第五題（幾何）在圓Γ中，AB為直徑，點C,D在Γ上且C,D位于AB異側(cè)，過C作AB的垂線垂足為E，過D作AB的垂線垂足為F。若CE=DF，求證：AC+AD=BC+BD。解答思路：建立坐標(biāo)系，設(shè)AB為x軸，圓心為原點，設(shè)C(cosθ,sinθ),D(cosφ,-sinφ)，由CE=DF得sinθ=sinφ，故φ=π-θ。代入計算AC=2sin(θ/2+π/4)，AD=2sin(π/4-θ/2)，利用三角恒等式證明AC+AD=BC+BD=2√2cos(θ/2)。第六題（組合）對正整數(shù)n，定義f(n)為最小的正整數(shù)k，使得在任意k個整數(shù)中，總能找到2025個整數(shù)，其和為2025的倍數(shù)。求f(n)的值。解答思路：應(yīng)用抽屜原理和拉姆塞理論，先證明f(n)≤2024×2025+1。構(gòu)造反例：當(dāng)k=2024×2025時，可將數(shù)分為2025組，每組2024個數(shù)均為imod2025(i=1,2,...,2025)，此時任意2025個數(shù)的和≡1+2+...+2025=2025×2026/2≡1013mod2025≠0，故f(n)=2024×2025+1=4098625。附加題（創(chuàng)新題型）第七題（開放探究）設(shè)S是所有正整數(shù)的集合，對任意a,b∈S，定義運算ab=ab+2a+2b+2。（1）證明(S,)構(gòu)成群；（2）求S中所有滿足xy=yx的元素對(x,y)；（3）若H是S的子群且|H|=2025，證明H中存在元素x使得x*x=1（其中1為單位元）。解答思路：（1）通過構(gòu)造同構(gòu)映射f(x)=x+2，證明(S,*)與正有理數(shù)乘法群同構(gòu)；（2）利用交換律推出(x-y)(xy+2x+2y+4)=0，結(jié)合正整數(shù)條件得x=y；（3）根據(jù)拉格朗日定理，子群階數(shù)2025為奇數(shù)，元素階必為奇數(shù)，通過反證法證明存在二階元。評分標(biāo)準(zhǔn)說明每題7分，分5個得分點，完全正確得7分，關(guān)鍵步驟錯誤扣3-5分，計算錯誤扣1-2分幾何題需寫出完整輔助線作法，未標(biāo)注字母扣1分代數(shù)證明需明確等號成立條件，缺失扣1分?jǐn)?shù)論題必須給出所有解并證明不存在其他解，漏解或多解均扣3分組合題需包含構(gòu)造性證明和存在性證明兩部分，單方向證明最高得4分（注：實際IMO競賽僅6題，本試卷增加第七題為教學(xué)拓展用，正式考試不計入總分）本試卷嚴(yán)格遵循IMO命題規(guī)范，涵蓋幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四大模塊，