2025年下學期高中數(shù)學DNA計算技術觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）DNA計算技術的核心原理是利用DNA分子的哪種特性實現(xiàn)信息存儲與運算？A.雙螺旋結構的穩(wěn)定性B.堿基互補配對的特異性C.磷酸二酯鍵的可斷裂性D.脫氧核糖的化學惰性在DNA計算模型中，若用堿基序列ATCG表示二進制數(shù)00、01、10、11，則堿基鏈GCTA對應的二進制數(shù)是：A.1100B.1011C.0110D.0011高中數(shù)學必修模塊中新增的“算法初步”內(nèi)容，與DNA計算的共同點是：A.均依賴生物化學反應B.均需通過程序框圖描述流程C.均以二進制為唯一運算基礎D.均強調(diào)有限步驟內(nèi)解決問題某DNA計算實驗中，用限制性內(nèi)切酶切割含100個堿基對的DNA片段，若酶切位點為5'-GAATTC-3'，且該片段中共有3個酶切位點，則切割后產(chǎn)生的DNA片段數(shù)量為：A.3B.4C.5D.6已知DNA分子中腺嘌呤（A）占堿基總數(shù)的20%，則胞嘧啶（C）占比為：A.20%B.30%C.40%D.60%在古典概型中，某DNA分子隨機復制一次，產(chǎn)生的子代DNA中含親代鏈的概率是：A.0B.1/4C.1/2D.1DNA計算中的“并行運算”特性，對應數(shù)學中的哪種思想？A.分類討論B.數(shù)形結合C.整體代換D.枚舉法某算法流程圖中，輸入DNA序列長度n，輸出堿基種類數(shù)。若輸入n=100，輸出結果為4，則該算法的時間復雜度可能是：A.O(1)B.O(n)C.O(n2)D.O(logn)用DNA探針檢測目標序列時，探針與目標鏈的結合過程可視為數(shù)學中的：A.交集運算B.并集運算C.補集運算D.映射關系在空間幾何中，DNA雙螺旋結構可近似看作哪種旋轉(zhuǎn)體？A.圓柱B.圓錐C.球體D.螺旋面某DNA計算課題小組有5名成員，現(xiàn)需從中選3人分別負責“分子設計”“實驗操作”“數(shù)據(jù)分析”，不同的分工方案共有：A.10種B.20種C.60種D.125種函數(shù)f(x)=sin(πx/10)可模擬DNA分子在電泳中的遷移速率變化，其最小正周期為：A.5B.10C.20D.40二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若用堿基A、T、C、G分別表示數(shù)字0、1、2、3，則DNA序列“ATCG”對應的四進制數(shù)是________，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)是________。某DNA計算問題中，需對1000個堿基序列進行排序，若采用冒泡排序算法，最壞情況下的比較次數(shù)為________；若采用快速排序算法，平均時間復雜度為________。在概率統(tǒng)計中，某實驗重復n次，每次成功概率為p，當n=100，p=0.5時，成功次數(shù)的數(shù)學期望是________，方差是________。DNA分子的解旋過程中，堿基對之間的氫鍵斷裂所需能量E與溫度T的關系滿足E=kTln(1/p)，其中k為常數(shù)，p為斷裂概率。若p=0.5，T=300K，則E=________（用k表示）。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）已知DNA分子一條鏈的堿基序列為5'-ATGCGGCTTA-3'，請回答：（1）寫出其互補鏈的堿基序列；（2）計算該DNA片段中嘌呤堿基的比例；（3）若該鏈轉(zhuǎn)錄為mRNA，寫出mRNA的堿基序列（U代替T）。（12分）某DNA計算模型用長度為n的堿基序列表示n位二進制數(shù)，其中A=0，T=1，且規(guī)定序列中A的個數(shù)為偶數(shù)時表示正數(shù)，否則為負數(shù)。（1）若n=3，寫出所有表示正數(shù)的堿基序列；（2）當n=4時，求隨機生成的堿基序列表示負數(shù)的概率；（3）證明：對任意n≥2，該模型中正數(shù)與負數(shù)的數(shù)量差為2^(n-1)。（12分）如圖為DNA復制的程序框圖（部分），請根據(jù)算法知識回答：（1）補全框圖中①②處的內(nèi)容（填寫“條件結構”或“循環(huán)結構”）；（2）若初始DNA分子數(shù)為1，復制次數(shù)為k，寫出輸出DNA分子總數(shù)的函數(shù)表達式；（3）若復制過程中每輪出錯概率為0.01，求k=3時至少出現(xiàn)1次錯誤的概率（精確到0.001）。（12分）在空間幾何中，DNA雙螺旋可抽象為兩條關于z軸對稱的螺旋線，其參數(shù)方程為：(x_1=a\cos\theta,\quady_1=a\sin\theta,\quadz=b\theta)(x_2=a\cos(\theta+\pi),\quady_2=a\sin(\theta+\pi),\quadz=b\theta)其中θ∈[0,4π]，a=1nm，b=0.34nm。（1）求兩條螺旋線在θ=0處的距離；（2）計算z軸方向上一個周期（θ=2π）的螺距長度；（3）求該螺旋線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體體積。（12分）DNA計算中常用“退火”過程實現(xiàn)堿基互補配對，其溫度T與結合概率P的關系滿足(P=\frac{1}{1+e^{k(1/T-1/T_0)}})，其中k、T?為常數(shù)。（1）若T=T?，求P的值；（2）當T→+∞時，求P的極限；（3）若k=1000，T?=300K，求P=0.9時的溫度T（精確到1K）。（12分）某研究性學習小組設計DNA計算實驗解決“旅行商問題”：4個城市A、B、C、D，距離矩陣如下表（單位：km）：||A|B|C|D||---|----|----|----|----||A|0|2|5|3||B|2|0|4|1||C|5|4|0|6||D|3|1|6|0|（1）用樹狀圖列出所有可能的路徑（不重復訪問城市）；（2）計算最短路徑的總距離；（3）若用DNA序列長度表示路徑距離，已知1km對應2個堿基，寫出最短路徑的DNA序列（用A、T、C、G隨機排列）。四、附加題（本大題共2小題，共20分，不計入總分）（10分）證明：DNA計算中，用限制性內(nèi)切酶切割長度為N的隨機DNA序列，酶切位點出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為λ=N/L的泊松分布（L為酶切位點長度）。（10分）設計一個基于DNA計算的算法，解決“判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)”的問題，要求包含：（1）問題轉(zhuǎn)化為DNA