2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)AP課程試卷（微積分BC）第一部分：選擇題（共50題，每題2分，共100分）說(shuō)明：本部分為單選題，在Bluebook系統(tǒng)中作答，允許使用計(jì)算器一、函數(shù)與極限（1-10題）設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{\sin^2x}{x^2-4x+3}$，則$x=1$是$f(x)$的（）A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.無(wú)窮間斷點(diǎn)D.連續(xù)點(diǎn)若$\lim_{x\to0}\frac{\tankx}{x^2-2x}=3$，則常數(shù)$k=$（）A.-6B.-3C.3D.6函數(shù)$f(x)=e^{2x}\ln(1+x)$在$x=0$處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式前三項(xiàng)為（）A.$x+2x^2+\frac{7}{2}x^3$B.$x+3x^2+\frac{11}{2}x^3$C.$x+x^2+\frac{5}{6}x^3$D.$2x+3x^2+\frac{10}{3}x^3$設(shè)${a_n}$為無(wú)窮數(shù)列，若$\lim_{n\to\infty}a_n=L$且$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-L)$收斂，則下列結(jié)論正確的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂于$L$B.$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$發(fā)散C.$\lim_{n\to\infty}na_n=0$D.${a_n}$為單調(diào)數(shù)列曲線(xiàn)$r=2\cos\theta$在$\theta=\frac{\pi}{3}$處的切線(xiàn)斜率為（）A.$-\sqrt{3}$B.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\sqrt{3}$設(shè)$f(x)$為奇函數(shù)，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，則$\lim_{x\to0}\frac{f(x^2)}{1-\cosx}=$（）A.1B.2C.4D.8函數(shù)$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$在區(qū)間$[0,\sqrt{\pi}]$上的最大值為（）A.$\frac{1}{2}(1-\cos1)$B.$\int_0^{\sqrt{\pi}}\sin(t^2)dt$C.$\sin1$D.1若$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(x-2)^n}{n\cdot3^n}$的收斂區(qū)間為（）A.$[-1,5)$B.$(-1,5]$C.$[1,3)$D.$(1,3]$設(shè)$x=t^2-2t$，$y=\ln(t+1)$，則$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{t=1}=$（）A.$-\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{2}$下列級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nn}{n^2+1}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n3^n}{n!}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(n+1)}$二、導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用（11-20題）函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$在區(qū)間$[-2,4]$上的最小值為（）A.-22B.-15C.5D.10曲線(xiàn)$y=x^4-2x^3+1$的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3設(shè)$f(x)$在$[0,2]$上二階可導(dǎo)，$f(0)=f(2)=0$，且$\max_{x\in[0,2]}f(x)=3$，則存在$\xi\in(0,2)$使得$f''(\xi)\leq$（）A.-3B.-6C.-9D.-12一個(gè)物體沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度$v(t)=t^2-4t+3$（單位：m/s），則$t=0$到$t=4$內(nèi)的位移為（）A.$\frac{4}{3}$mB.$\frac{8}{3}$mC.4mD.$\frac{16}{3}$m設(shè)$f(x)=e^{-x}\sinx$，則$f^{(10)}(0)=$（）A.-1B.0C.1D.10函數(shù)$f(x)=\frac{x^2+3x+2}{x-1}$的垂直漸近線(xiàn)與水平漸近線(xiàn)分別為（）A.$x=1$，$y=x+4$B.$x=1$，無(wú)水平漸近線(xiàn)C.$x=-1$，$y=x+4$D.$x=-2$，無(wú)水平漸近線(xiàn)若函數(shù)$f(x)$滿(mǎn)足$f'(x)=f(x)+x$且$f(0)=1$，則$f(1)=$（）A.$2e-1$B.$e-2$C.$e+1$D.$2e+1$用牛頓法求方程$x^3-2x-5=0$在$x=2$附近的近似解，迭代一次后的值為（）A.2.0B.2.1C.2.2D.2.3設(shè)$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)，且$\lim_{h\to0}\frac{f(2h)-f(-h)}{h}=3$，則$f'(0)=$（）A.1B.2C.3D.6半徑為$r$的球內(nèi)接圓柱的體積最大值為（）A.$\frac{4\pir^3}{3\sqrt{3}}$B.$\frac{2\pir^3}{3}$C.$\frac{\pir^3}{2}$D.$\frac{4\pir^3}{9}$三、積分與應(yīng)用（21-30題）$\int_0^{\pi}x\sin2xdx=$（）A.$-\frac{\pi}{2}$B.$-\frac{\pi}{4}$C.$\frac{\pi}{4}$D.$\frac{\pi}{2}$曲線(xiàn)$y=\sqrt{x}$，$y=x-2$與$x$軸圍成的圖形面積為（）A.$\frac{10}{3}$B.$\frac{16}{3}$C.6D.$\frac{20}{3}$反常積分$\int_1^{\infty}\frac{1}{x(x+1)}dx=$（）A.$1-\ln2$B.$\ln2$C.1D.發(fā)散設(shè)$f(x)=\int_1^x\frac{\lnt}{t}dt$，則$f(x)$的極值點(diǎn)為（）A.$x=1$B.$x=e$C.$x=\frac{1}{e}$D.不存在曲線(xiàn)$y=\cosx$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的弧長(zhǎng)為（）A.$\ln(1+\sqrt{2})$B.$\sqrt{2}$C.$1+\ln(1+\sqrt{2})$D.$2\sqrt{2}$由曲線(xiàn)$y=x^2$，$y=0$，$x=1$繞$y$軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為（）A.$\frac{\pi}{5}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\pi$$\int\frac{x^3}{x^2+2x+2}dx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2-x+\ln(x^2+2x+2)+C$B.$\frac{1}{2}x^2-x+\arctan(x+1)+C$C.$\frac{1}{2}x^2-x+\ln(x^2+2x+2)+\arctan(x+1)+C$D.$x^2-2x+\ln(x^2+2x+2)+C$設(shè)$f(x)$為連續(xù)函數(shù)，且$\int_0^xf(t)dt=x\sinx$，則$f(\frac{\pi}{2})=$（）A.$\frac{\pi}{2}$B.1C.$1+\frac{\pi}{2}$D.0微分方程$y''-4y'+4y=e^{2x}$的通解為（）A.$y=(C_1+C_2x)e^{2x}+\frac{1}{2}x^2e^{2x}$B.$y=(C_1+C_2x)e^{2x}+x^2e^{2x}$C.$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}+\frac{1}{2}xe^{2x}$D.$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}+xe^{2x}$設(shè)$D$是由$x^2+y^2\leq4$，$y\geq0$圍成的區(qū)域，則$\iint_D(x^2+y)d\sigma=$（）A.$2\pi$B.$4\pi$C.$6\pi$D.$8\pi$四、無(wú)窮級(jí)數(shù)與向量（31-40題）冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(x-1)^n}{2^n}$的收斂半徑為（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.4若$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\frac{1}{1-x^2}$，則$a_5=$（）A.0B.1C.2D.3下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\sqrt{n^3+1}}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}$函數(shù)$f(x)=x^2$在$[-\pi,\pi]$上的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，系數(shù)$a_0=$（）A.$\frac{\pi^2}{3}$B.$\frac{2\pi^2}{3}$C.$\pi^2$D.$\frac{4\pi^2}{3}$向量$\mathbf{a}=(1,2,3)$，$\mathbf=(2,-1,1)$，則$\mathbf{a}\times\mathbf=$（）A.$(5,5,-5)$B.$(5,-5,5)$C.$(-5,5,5)$D.$(5,5,5)$直線(xiàn)$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{2}$與平面$2x+y-z+1=0$的夾角為（）A.$0$B.$\frac{\pi}{6}$C.$\frac{\pi}{4}$D.$\frac{\pi}{3}$曲面$z=x^2+y^2-2x+4y$在點(diǎn)$(1,-2,-5)$處的切平面方程為（）A.$z=-5$B.$z=2x-4y-5$C.$z=x-2y-5$D.$z=-2x+4y-5$設(shè)$\mathbf{r}(t)=t\mathbf{i}+t^2\mathbf{j}+t^3\mathbf{k}$，則$\fracz3jilz61osys{dt}|\mathbf{r}'(t)|\bigg|_{t=1}=$（）A.$\frac{14}{\sqrt{14}}$B.$\frac{7}{\sqrt{14}}$C.$\sqrt{14}$D.$2\sqrt{14}$若函數(shù)$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$，則其極值點(diǎn)為（）A.$(0,0)$B.$(1,1)$C.$(0,0)$和$(1,1)$D.不存在設(shè)$C$為從$(0,0)$到$(1,1)$的直線(xiàn)段，則曲線(xiàn)積分$\int_C(x+y)dx+(x-y)dy=$（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.1五、參數(shù)方程與極坐標(biāo)（41-50題）曲線(xiàn)$x=t^2$，$y=t^3-3t$的水平切線(xiàn)方程為（）A.$y=2$B.$y=-2$C.$y=2$和$y=-2$D.不存在極坐標(biāo)方程$r=1+\cos\theta$所表示的曲線(xiàn)圍成的面積為（）A.$\frac{3\pi}{2}$B.$2\pi$C.$\frac{5\pi}{2}$D.$3\pi$設(shè)參數(shù)方程$x=a\cos^3t$，$y=a\sin^3t$（$a>0$），則曲線(xiàn)在$t=\frac{\pi}{4}$處的法線(xiàn)方程為（）A.$x+y=\frac{\sqrt{2}}{2}a$B.$x-y=0$C.$x+y=\sqrt{2}a$D.$x-y=\sqrt{2}a$極坐標(biāo)下，曲線(xiàn)$r=\theta$（$\theta\in[0,2\pi]$）的弧長(zhǎng)為（）A.$\int_0^{2\pi}\sqrt{\theta^2+1}d\theta$B.$\int_0^{2\pi}\sqrt{\theta^2+\theta}d\theta$C.$\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\theta^2}d\theta$D.$\int_0^{2\pi}\theta\sqrt{1+\theta^2}d\theta$設(shè)$D$是由$r=2\cos\theta$和$r=1$圍成的公共區(qū)域，則$\iint_Drdrd\theta=$（）A.$\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$B.$\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}$D.$\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$曲線(xiàn)$r=3\sin2\theta$在第一象限內(nèi)所圍圖形的面積為（）A.$\frac{9\pi}{8}$B.$\frac{9\pi}{4}$C.$\frac{9\pi}{2}$D.$9\pi$設(shè)參數(shù)方程$x=\ln(1+t^2)$，$y=t-\arctant$，則$\frac{d^2y}{dx^2}=$（）A.$\frac{1+t^2}{4t}$B.$\frac{1+t^2}{2t}$C.$\frac{4t}{1+t^2}$D.$\frac{2t}{1+t^2}$極坐標(biāo)方程$r=\frac{2}{1-\cos\theta}$表示的曲線(xiàn)是（）A.橢圓B.雙曲線(xiàn)C.拋物線(xiàn)D.圓曲線(xiàn)$x=e^t\sint$，$y=e^t\cost$（$t\in[0,\pi]$）與$x$軸圍成的面積為（）A.$\frac{1}{2}(e^{\pi}+1)$B.$\frac{1}{2}(e^{\pi}-1)$C.$e^{\pi}+1$D.$e^{\pi}-1$設(shè)$L$為擺線(xiàn)$x=a(t-\sint)$，$y=a(1-\cost)$（$a>0$，$t\in[0,2\pi]$），則曲線(xiàn)積分$\int_Lydx=$（）A.$-3\pia^2$B.$-2\pia^2$C.$-\pia^2$D.$0$第二部分：解答題（共4題，每題15分，共60分）說(shuō)明：本部分在紙質(zhì)答題卡上手寫(xiě)作答，需寫(xiě)出詳細(xì)推理過(guò)程1.（15分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+