2025年下學期高中服務(wù)學習數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）某社區(qū)志愿者團隊分為環(huán)保宣傳、助老服務(wù)、課業(yè)輔導(dǎo)三個小組，現(xiàn)有高一學生20人，其中參加環(huán)保宣傳組的有12人，參加助老服務(wù)組的有8人，參加課業(yè)輔導(dǎo)組的有10人，同時參加環(huán)保宣傳和助老服務(wù)組的有5人，同時參加環(huán)保宣傳和課業(yè)輔導(dǎo)組的有3人，同時參加助老服務(wù)和課業(yè)輔導(dǎo)組的有2人，三個小組都參加的有1人。則三個小組都未參加的學生人數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3某社區(qū)圖書館為優(yōu)化藏書結(jié)構(gòu)，統(tǒng)計了近5年紙質(zhì)圖書借閱量（單位：百冊）與年份的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：|年份|2021|2022|2023|2024|2025||----|----|----|----|----|----||借閱量|35|42|49|56|63|若用線性回歸模型擬合借閱量y與年份x（其中x=1對應(yīng)2021年）的關(guān)系，其回歸方程為?=7.2x+a，則a的值為（）A.27.5B.27.8C.28.0D.28.2為豐富社區(qū)文化生活，志愿者需設(shè)計一個扇形活動區(qū)域，該區(qū)域周長為20米，設(shè)扇形半徑為r米，面積為S平方米。則S關(guān)于r的函數(shù)解析式及最大值分別為（）A.S=-r2+10r，25平方米B.S=-r2+10r，100平方米C.S=-r2+20r，50平方米D.S=-2r2+10r，12.5平方米某社區(qū)在重陽節(jié)組織助老活動，志愿者需將一批慰問品從社區(qū)服務(wù)中心運往老年公寓。已知兩地相距10千米，志愿者步行速度為4千米/小時，騎行共享單車速度為12千米/小時。若志愿者先步行t小時，再騎行共享單車到達老年公寓，全程總時間為1小時，則t的值為（）A.0.25B.0.5C.0.75D.1.0社區(qū)花園有一個三角形花壇，其三邊長度分別為5米、12米、13米?，F(xiàn)計劃在花壇外圍鋪設(shè)寬度為1米的石板小路，則小路的面積為（）A.18+π平方米B.20+π平方米C.24+π平方米D.28+π平方米某社區(qū)服務(wù)中心為居民提供免費體檢，統(tǒng)計顯示居民身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布N(165,25)。則隨機抽取一名居民，其身高在[155,175]范圍內(nèi)的概率約為（）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.0.9999志愿者團隊有6名男生和4名女生，現(xiàn)需從中選派3人參加社區(qū)防疫志愿服務(wù)。則至少有1名女生的選派方法共有（）A.80種B.84種C.96種D.100種某社區(qū)太陽能路燈的光照強度y（單位：lux）與時間t（單位：時，0≤t≤24）的關(guān)系滿足函數(shù)y=500sin(π/12t-π/3)+600。則一天中光照強度超過850lux的時長為（）A.4小時B.6小時C.8小時D.10小時社區(qū)計劃修建一個容積為8立方米的長方體蓄水池，已知池底和池壁的造價分別為120元/平方米和80元/平方米。設(shè)池底長為x米，寬為y米，則總造價最低時，x:y的值為（）A.1:1B.2:1C.3:2D.4:3某社區(qū)居民滿意度調(diào)查顯示，對垃圾分類服務(wù)滿意的居民占60%，對養(yǎng)老服務(wù)滿意的居民占75%，對兩項服務(wù)都滿意的居民占50%?，F(xiàn)隨機抽取一名居民，已知其對垃圾分類服務(wù)滿意，則該居民對養(yǎng)老服務(wù)也滿意的概率為（）A.1/3B.2/3C.5/6D.3/4社區(qū)廣場有一個半徑為5米的圓形舞臺，現(xiàn)需在舞臺邊緣安裝一圈LED燈帶。由于安裝誤差，燈帶長度可能比設(shè)計長度多1米或少1米，則燈帶長度的誤差導(dǎo)致舞臺面積最大變化量為（）A.5π平方米B.10π平方米C.15π平方米D.20π平方米某社區(qū)志愿者服務(wù)時長統(tǒng)計顯示，志愿者月服務(wù)時長構(gòu)成等差數(shù)列，其中前3個月總時長為45小時，前6個月總時長為120小時。則該志愿者一年的服務(wù)總時長為（）A.330小時B.360小時C.390小時D.420小時二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）社區(qū)服務(wù)中心用16米長的圍欄圍成一個矩形活動區(qū)域，中間用一道圍欄隔開分成兩個小矩形。則活動區(qū)域的最大面積為________平方米。某社區(qū)居民年齡分布如下表所示：|年齡組|0-18歲|19-35歲|36-60歲|60歲以上||----|----|----|----|----||人數(shù)|120|240|360|180|現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取60人進行健康調(diào)查，則應(yīng)從36-60歲年齡組中抽取________人。社區(qū)花園有一個底面半徑為2米、高為3米的圓錐形花架，現(xiàn)需在花架表面鋪設(shè)一層防水布，則所需防水布的面積為________平方米（結(jié)果保留π）。某社區(qū)志愿服務(wù)積分規(guī)則為：參與環(huán)保活動一次得3分，參與助老活動一次得5分，參與文化活動一次得2分。志愿者小明在一個月內(nèi)共參與10次活動，得分總和為36分，且參與環(huán)?；顒哟螖?shù)是文化活動的2倍。則小明參與助老活動的次數(shù)為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）某社區(qū)圖書館計劃購買一批新書，預(yù)算資金為5000元。已知文學類書籍平均單價為40元，科技類書籍平均單價為60元，且要求科技類書籍數(shù)量不少于文學類書籍的一半。（1）設(shè)購買文學類書籍x本，科技類書籍y本，寫出x，y滿足的約束條件；（2）若圖書館希望購買書籍總數(shù)最多，應(yīng)如何安排購買方案？（12分）社區(qū)為美化環(huán)境，在一塊矩形空地上種植花卉。已知矩形長為10米，寬為8米，計劃在中央修建一個菱形花壇，菱形的四個頂點分別在矩形的四條邊上（如圖所示）。設(shè)菱形的一條對角線長為a米，另一條對角線長為b米。（1）求證：a2/100+b2/64=1；（2）當菱形面積最大時，求a，b的值。（12分）某社區(qū)開展“節(jié)能降耗”活動，統(tǒng)計了居民家庭月用電量（單位：度）與月份的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：|月份|1|2|3|4|5|6||----|----|----|----|----|----|----||用電量|120|110|95|80|70|65|（1）繪制散點圖，判斷用電量y與月份x是否線性相關(guān)；（2）若線性相關(guān)，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（3）預(yù)測12月份的家庭用電量。（參考數(shù)據(jù)：Σx=21，Σy=540，Σx2=91，Σxy=1685，n=6）（12分）社區(qū)活動中心有一個半球形穹頂，半徑為5米?，F(xiàn)需在穹頂內(nèi)部安裝照明設(shè)備，要求照明覆蓋整個穹頂內(nèi)表面。（1）求穹頂內(nèi)表面的面積；（2）若每盞照明燈可覆蓋半徑為2米的圓形區(qū)域（不計高度影響），至少需要安裝多少盞照明燈？（3）若照明燈安裝在穹頂中心正下方3米處，求照明燈照射到穹頂邊緣的光線與豎直方向的夾角θ的正切值。（12分）某社區(qū)志愿者團隊有5名男生和4名女生，現(xiàn)從中選派4人參加以下四項不同的志愿服務(wù)：環(huán)保宣傳、助老服務(wù)、課業(yè)輔導(dǎo)、文化活動，每項服務(wù)1人。（1）共有多少種不同的選派方法？（2）若要求每項服務(wù)至少有1名男生和1名女生參加，有多少種不同的選派方法？（3）若甲同學不能參加環(huán)保宣傳服務(wù)，乙同學不能參加助老服務(wù)，有多少種不同的選派方法？（12分）社區(qū)計劃建造一個橫截面為拋物線形的過街天橋，已知拱高為4米，跨度為8米。以拋物線頂點為原點，對稱軸為y軸建立直角坐標系。（1）求拋物線的標準方程；（2）若天橋需安裝高2米的防護欄，求防護欄的長度；（3）為方便輪椅通行，計劃在距地面3米處搭建一條水平通道，求通道的寬度。四、實踐應(yīng)用題（本大題共1小題，共20分）社區(qū)服務(wù)中心計劃開展“智慧社區(qū)”建設(shè)，需設(shè)計一個居民滿意度評價系統(tǒng)。該系統(tǒng)包含環(huán)境、服務(wù)、設(shè)施三個評價維度，每個維度滿分100分，權(quán)重分別為0.3、0.5、0.2?，F(xiàn)有100位居民參與評價，數(shù)據(jù)如下：|環(huán)境得分|服務(wù)得分|設(shè)施得分||----|----|----||85|90|80||75|85|70||90|95|85||...|...|...|（共100組數(shù)據(jù)）（1）請設(shè)計一種數(shù)據(jù)收集方案，確保樣本具有代表性；（2）若已知環(huán)境得分X~N(80,25)，服務(wù)得分Y~N(85,16)，設(shè)施得分Z~N(75,9)，求綜合得分W=0.3X+0.5Y+0.2Z的數(shù)學期望與方差；（3）根據(jù)評價數(shù)據(jù)，社區(qū)計劃優(yōu)先改進得分較低的維度。若定義"改進指數(shù)"為該維度得分低于80分的居民比例，請設(shè)計一個計算改進指數(shù)的算法流程圖；（4）為直觀展示評價結(jié)果，設(shè)計一種數(shù)據(jù)可視化方案，要求包含三個維度的得分分布及綜合得分排名。五、數(shù)學建模題（本大題共1小題，共20分）社區(qū)養(yǎng)老服務(wù)中心需規(guī)劃老年食堂的用餐區(qū)域，已知該區(qū)域為矩形，長12米，寬8米，計劃設(shè)置以下設(shè)施：餐桌：圓形，直徑1.2米，每桌可坐4人過道：寬度不小于1米服務(wù)臺：長3米，寬2米的矩形（1）建立數(shù)學模型，確定餐桌的最優(yōu)擺