經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第四章函數(shù)的連續(xù)性目錄01函數(shù)的連續(xù)與間斷02初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)04經(jīng)濟(jì)分析中函數(shù)的連續(xù)性本章學(xué)習(xí)基本要求理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念；了解初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會利用函數(shù)的連續(xù)性求極限了解經(jīng)濟(jì)分析中函數(shù)的連續(xù)性014.1函數(shù)的連續(xù)和間斷一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)定義4.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0,

)內(nèi)有定義，如果（或）則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處是連續(xù)的。如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0處是間斷的，點(diǎn)x0稱為函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。連續(xù)的定義定義4.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0,

)內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處是連續(xù)的。即函數(shù)在x0點(diǎn)的極限值等于x0點(diǎn)的函數(shù)值，則連續(xù)。連續(xù)的定義左連續(xù)如果函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的左極限等于函數(shù)值，即則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)。右連續(xù)如果函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的右極限等于函數(shù)值，即則稱函數(shù)在點(diǎn)x0處右連續(xù)。左連續(xù)與右連續(xù)由連續(xù)的定義可知，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，必須滿足下列3個條件：（1）f(x0)存在，即y=f(x)在點(diǎn)x0處有定義；（2）存在；（3例題1討論函數(shù)，在x=1處的連續(xù)性。解函數(shù)，在x=1處沒有定義，所以，在x=1處不連續(xù)。例題2討論函數(shù)，在x=0處的連續(xù)性。解因?yàn)樗圆淮嬖谒院瘮?shù)在x=0處不連續(xù)。例題3討論函數(shù)，當(dāng)a，b取何值時，在x=2處的連續(xù)性。解f(2)=5要使函數(shù)在x=2處連續(xù)，必須有即4a+1=5，2b1=5解得a=1，b=3所以，當(dāng)a=1，b=3時函數(shù)在x=2處連續(xù)。二、函數(shù)在區(qū)間連續(xù)定義4.3如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)。定義4.4如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，且在a點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)則稱函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間連續(xù)024.2初等函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性定理4.1設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)均在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)

g(x)，f(x)

g(x)，也都在點(diǎn)x0處連續(xù)。二、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

定理4.2設(shè)函數(shù)u=

(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u0處連續(xù)且u0=

(x0)，則復(fù)合函數(shù)y=f[

(x)]也在點(diǎn)x0處連續(xù)。由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可知，因?yàn)?，所以即在滿足定理4.2條件下，求復(fù)合函數(shù)極限時，函數(shù)符號“f”和極限“l(fā)im”符號可以交換次序。在求極限時，上述條件可以放寬為u=

(x)在點(diǎn)x0處極限存在，即（a不一定等于

(x0)）例題1證明證三、初等函數(shù)的連續(xù)性由五類初等函數(shù)的圖形可知，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)處處連續(xù)。由函數(shù)連續(xù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得定理4.3

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值。定義區(qū)間是指除孤立點(diǎn)外的區(qū)間，如函數(shù)的定義域?yàn)閤>0且x=

2，這里x=

2是孤立點(diǎn)，(0，+

)是定義區(qū)間。根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義，在孤立點(diǎn)函數(shù)無所謂連續(xù)。所以函數(shù)在定義區(qū)間(0，+

)連續(xù)。根據(jù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的定義，如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)x0處的極限值等于函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，即，因此，如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則求函數(shù)f(x)在x

x0時的極限，只要求f(x)在x0處的函數(shù)值即可。由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，所以，如果f(x)是初等函數(shù)，且x0是f(x)定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則四、利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限

例題1求極限解：例題2求極限解：例題3求極限解：例題4求極限解：例題5求極限解：令t=ax1，則x=loga(t+1)034.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)有下列2個性質(zhì)定理4.4（最值定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在[a，b]上一定有最大值和最小值。幾何直觀上看閉區(qū)間上的一條連續(xù)曲線，至少有一個最高點(diǎn)和一個最低點(diǎn)。oxyab

1

2Mmy=f(x)定理4.5（介值定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)=A，f(b)=B（A

B），設(shè)C是介于A，B之間的任一個數(shù)，則至少存在一點(diǎn)

(a，b)，使得f(

)=C。幾何意義是，連續(xù)曲線y=

f(x)與水平直線y=C至少有一個交點(diǎn)。oxyabBAC

1

3

2y=f(x)推論1（零點(diǎn)定理）若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點(diǎn)

(a，b)，使得f(

)=0。oxab

yy=f(x)AB推論2閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。例題1例4-10證明三次方程x3

4x2+1=0，在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個實(shí)根。證因?yàn)楹瘮?shù)f(x)

=x3

4x2+1是初等函數(shù)，在