勾股定理的應(yīng)用湘教·數(shù)學(xué)八年級上冊5.2勾股定理及其逆定理情境導(dǎo)入

勾股定理（畢達哥拉斯定理）:變式：a2＝c2－b2,b2＝c2－a2如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2問題1：在數(shù)軸上分別畫出表示3，﹣2.5的點.

43210﹣1﹣2﹣3﹣4問題2：求下列直角三角形的各邊長.

1？21？23？3﹣2.51推進新課

我們已經(jīng)知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，如何在數(shù)軸上作出表示實數(shù)

和

的點？43210﹣1﹣2﹣3﹣4提示：可以構(gòu)造直角三角形作出邊長為無理數(shù)的邊，就能在數(shù)軸上畫出表示該無理數(shù)的點.11請你用同樣的方法作

，

，

，.11歸納小結(jié)利用勾股定理表示無理數(shù)的方法：（1）利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正數(shù)的直角三角形的斜邊.（2）以原點為圓心，以直角三角形的斜邊長為半徑畫弧找到與數(shù)軸的交點，即可在數(shù)軸上找到表示該無理數(shù)的點.利用勾股定理，還可以幫助我們解決一些實際問題.圖中是一位電工師傅準(zhǔn)備利用梯子在墻上安裝電燈的示意圖.假設(shè)梯子長4m，他將梯子靠在墻上，此時梯腳離墻腳的距離為1.5m.他爬上梯子后，發(fā)現(xiàn)高度不夠，于是將梯腳往墻腳移近了0.5m，那么，梯子頂端是否也上移0.5m？（已知≈3.71，≈3.87）抽象成數(shù)學(xué)問題解決實際問題實際問題：梯子頂端往上移動的距離.A'C'CAB

墻面地面梯子幾何問題：利用_________，求_________的長.勾股定理AB，A'B幾何畫板.gsp解：在Rt△ABC中，AC

=4m，BC

=1.5m，因此

A′A=A′B－AB≈3.87－3.71

=0.16(m).即梯子頂端

A

點大約向上移動了0.16m，而不是向上移動0.5m.A'C'CAB

在Rt△A'BC'

中，A'C′=4m，BC'=

1m，例3（古代數(shù)學(xué)問題）“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲醒耄鏊怀?引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何？”意思是：有一個池塘，其水面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦生長在池的中央，其出水部分為1尺.如果將蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，它的頂端恰好碰到池邊的水面.問水深與蘆葦長各為多少？幾何畫板.gspABB'1尺5尺C解：如圖，設(shè)水深

x尺，則

AC=x尺，因為池塘的水面是邊長為10尺的正方形，在Rt△ACB'中，根據(jù)勾股定理得，

52+x2=(x+1)2，故蘆葦長為13尺.解得

x=12.答：水池的水深12尺，蘆葦長為13尺.AB=AB'=(x+1)

尺.所以

B'C

=5尺.利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實際問題.數(shù)學(xué)問題直角三角形勾股定理實際問題轉(zhuǎn)化構(gòu)建利用決解歸納小結(jié)1.

一艘漁船以18海里/時的速度由西向東追趕魚群.在A處測得小島C在船的北偏東60°方向；40min后，漁船行至B處，此時測得小島C在船的北偏東30°方向，如圖所示.已知以小島C為中心，周圍10海里以內(nèi)有暗礁，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群是否有觸礁的危險?【課本P169練習(xí)第1題】解：如圖，作CD⊥AB

于點D.由題意可知∠BCD=30°，∠CAB=∠ACB=30°.所以AB=BC=×30=20（海里）.在Rt△CBD中，∠BCD=30°，所以BD=BC=10（海里）.所以漁船沒有觸礁的危險D2.AE

是位于公路邊的電線桿，高12m，為了使電線CDE

不影響汽車的正常行駛，電力部門在公路的另一邊豎立了一根高6m的水泥撐桿BD，用于撐起電線，如圖所示.已知兩根桿子之間的距離為8m，電線CD

與水平線AC

的夾角為60°.求電線CDE

的總長L（A，B，C

三點在同一直線上，電線桿、水泥桿的粗細忽略不計）.【課本P169練習(xí)第2題】解：如圖，過點D作DF⊥AE，垂足為F，則四邊形ABDF為長方形，∴DF=AB=8m，AF=BD=6m，EF=AE－AF=12-6=6(m).在Rt△EFD中，由勾股定理，得在Rt△BCD中，∠DBC=90°，BD=6m，∠BCD=60°，∴∠BDC=30°，∴BC=CD.F設(shè)BC=x，則CD=2x，由勾股定理，得BD2=CD2－BC2，即62=(2x)2－x2，∴3x2=36，∴x=(負值已舍去)，∴CD=2x=，∴L=DE+CD=(10+)m.即電線CDE的總長L為(10+)m.F3.如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是（）.A.3B.C.2D.1B4.如圖，池塘邊有兩點

A，B，點

C

是與

BA

方向成直角的AC

方向上一點，測得BC

=

60m，AC

=

20m.求A，B兩點間的距離（結(jié)果取整數(shù)）.5.有一個圓柱形油罐，要以

A點環(huán)繞油罐建梯子，正好建在

A點的正上方點

B處，問梯子最短需多少米（已知油罐的底面半徑是2m，高

AB是5m，π取3）？ABABABA'B'解：油罐的展開圖如圖，則

AB'

為梯子的最短距離.AA'

=2×3×2=12，A'B'

=5，根據(jù)勾股定理得

即梯子最短需13米.數(shù)學(xué)思想：