14.3（第2課時(shí)）

第十四章

全等三角形角的平分線的判定探究1：回顧：作角的平分線及性質(zhì)活動(dòng)一：復(fù)習(xí)作角的平分線及性質(zhì)1.如圖，△ABC中，（1）求作：射線BM，CN；使得BM，CN分別是∠ABC，∠ACB的平分線

（2）在（1）情況下，BM與CN相交于點(diǎn)P；求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，AC的距離相等活動(dòng)一：復(fù)習(xí)作角的平分線及性質(zhì)

（2）在（1）情況下，BM與CN相交于點(diǎn)P；求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，AC的距離相等證明:(1)過點(diǎn)P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,垂足分別為D,E,F.∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.

（3）連接AP，問射線AP是否也是∠BAC的平分線？為什么？解：是。Rt△ADP≌Rt△AFP∠DAP=∠FAPAP是∠BAC的平分線探究：角的平分線的判定

我們知道，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；反過來，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.所以在角的內(nèi)部，角的平分線(頂點(diǎn)除外)可以看成到角兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合活動(dòng)二：角的平分線判定

問題2：我們知道通過定義法“角平分線的定義”可以判定一個(gè)點(diǎn)是否在角的平分線上?，F(xiàn)在我們在角平分線性質(zhì)的基礎(chǔ)上來研究另一個(gè)判定方法?；顒?dòng)二：角的平分線判定例1.已知：如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，

垂足分別為D，E，且PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，

PE=PD，

PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.

∴∠AOC=∠BOC.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.活動(dòng)二：角的平分線判定角的平分線判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.∵PD⊥OA，PE⊥OB，

PD=PE，∴點(diǎn)

P在∠AOB的平分線上.應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.幾何語言：證明一條射線(或線段)是角平分線，有兩種方法①利用三角形全等證兩角相等；②利用角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上探究3：例題精煉

例1如圖,已知CE⊥AB于點(diǎn)E,BF⊥AC于點(diǎn)F,BF交CE于點(diǎn)D,且BD=CD.求證:點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.題型1：證明點(diǎn)在角平分線上證明∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.方法1：例1如圖,已知CE⊥AB于點(diǎn)E,BF⊥AC于點(diǎn)F,BF交CE于點(diǎn)D,且BD=CD.求證:點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.題型1：證明點(diǎn)在角平分線上方法2：（角平分線的定義）證明∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.在△DEB和△DFC中

∠DEB=∠DFC∠BDE=∠CDFBD=CD∴△DEB≌△DFC（AAS）∴DE=DF∵在Rt△ADE和Rt△ADF中，

DE=DF，

AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴∠DAE=∠DAF，∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線.

如圖,AB⊥CD,CE⊥AD,垂足分別為B,E,AB=CE,AB,CE相交于點(diǎn)F,連接DF.求證:FD平分∠BFE.題型1：證明點(diǎn)在角平分線上變式1：例2如圖，CP，BP是△ABC兩外角的平分線，PE⊥AC且與AC的延長線交于點(diǎn)E，PF⊥AB且與AB的延長線交于點(diǎn)F，試探究BC，CE，BF三條線段有什么關(guān)系？解：如圖，作PD⊥BC，垂足為D.∵CP平分∠BCE，PE⊥AC，∴PE＝PD，在Rt△PDC和Rt△PEC中，PD＝PE，

PC＝PC，∴Rt△PDC≌Rt△PEC(HL)，∴CD＝CE.同理可證BD＝BF.∴CD＋BD＝CE＋BF，即BC＝CE＋BF.題型2：證明線段之間的數(shù)量關(guān)系例3圖,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,連接EF,EF與AD相交于點(diǎn)G.AD與EF垂直嗎?證明你的結(jié)論解：如圖，AD是△ABC的角平分線,

DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，

DE＝DF，

AD＝AD

，∴Rt△ADEC≌Rt△ADC(HL)，∴AE＝AF.題型3：證明線段之間的位置關(guān)系在△AGE和△AGF中，AE＝AF，

∠DAE=∠DAFAD＝AD

，∴△AGE

≌△AGF(SAS)，∴∠AGE＝∠AGF=90°，∴AD⊥EF.課堂小結(jié)內(nèi)容角的平分線的判定角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上結(jié)論判斷一個(gè)點(diǎn)是否在角的平分線上作用三角形的角平分線相交于內(nèi)部一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等1.如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，在邊AC上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到邊BC和邊AB的距離相等過關(guān)檢測2.如圖，在△ABC中，CE